Моделі і технології чисельного рішення задач

Моделювання та дослідження функцій

Існують різні способи завдання функцій: аналітично, у вигляді графіка і таблично. При експериментальних вимірах, в банківській діяльності, бухгалтерської звітності і т.д. часто використовується табличний спосіб завдання функцій. У табличному поданні одна з змінних завжди є незалежною, а інші змінні є значеннями функцій в точках незалежної змінної.

Використання формули для опису залежності між аргументами і значеннями функції називається аналітичним способом завдання функції, наприклад у = х 2.

Побудова графічної моделі функції. Графічний спосіб представлення функцій дозволяє наочно оцінити характер досліджуваного явища, виявити динаміку змін і тенденції розвитку і т.д.

Приклад 9.6. Розглянемо графічну модель функції, побудувавши відповідний графік для аналітично заданої функції у = 3 x 3 + 2x 2 - х + 1 на відрізку [-2; 2].

Рішення

Створимо заголовки для діапазонів: аргументів і значень функції в точках аргументу.

Побудуємо область значень аргументу від -2 до 2 з кроком 0,4.

Створимо діапазон значення функції у для кожної з цих точок.

Виділимо області аргументів і їх значень разом з заголовками і на стрічці інструментів виберемо вкладку Вставка.

Виберемо в групі Діаграми тип Графік і побудуємо відповідний графік (рис. 9.22).

Обчислення границі функції. Для знаходження границі функції, наприклад в точці х = 2, потрібно виконати наступну послідовність дій:

  • • в стовпці, в різних рядках, ввести достатньо близькі значення до точки 2, ліворуч і праворуч;
  • • обчислити значення функції в цих точках (рис. 9.23);
  • • знайти різницю отриманих значень функції. Отримані значення функції для околиць точки 2

рівні, що підтверджується їх різницею, яка дорівнює 0,00. Це означає, що межа функції в точці 2 існує і дорівнює -1,00.

Графічна модель функції у = 3х3 + х2 - х + 1

Мал. 9.22. Графічна модель функції у = 3 х 3 + х 2 - х + 1

Знаходження границі функції

Мал. 9.23. Знаходження границі функції

Обчислення коренів функції однієї змінної. Коренем функції у = f (x) називається точка, в якій функція приймає значення нуль. Скористаємося технологією знаходження коренів функції на відрізку за допомогою електронної таблиці.

Приклад 9.7. Задана функція у = х 2 - х + 0,1, потрібно знайти корені рівняння на відрізку [-2; 2].

Рішення

Функція представлена поліномом другого ступеня і має не більше двох коренів. Побудувавши область аргументів і значень функції в т окулярах аргументів, можна визначити діапазони аргументів, в яких функція змінює знак, тобто перетинає вісь абсцис. З отриманої області очевидно, що функція два рази перетинає вісь абсцис, значить, всі корені рівняння містяться на шуканому відрізку. Скопіюємо в окрему область значення (нари, аргумент і значення функції) - (0; 0,1) і (0,8; -0,06). Попередньо налаштувавши параметри відносної похибки обчислень (0,00001), викличемо інструмент "Підбір параметра". Черзі для кожної пари виконаємо наступні дії:

  • • у полі Встановити в осередку вкажемо адресу комірки, де знаходиться значення аргументу;
  • • у полі Значення впишемо число 0;
  • • у полі Змінюючи значення комірки вкажемо посилання на комірку, в якій знаходиться значення функції (рис. 9.24).

Рішенням є х = 0,11, при якому у = 0.

Застосування інструмента

Мал. 9.24. Застосування інструмента "Підбір параметра" для знаходження коренів рівняння

Обчислення похідної функції. Для обчислення похідної в заданій точці чисельними наближеними методами можуть бути використані формули кінцевих різниць. Відповідне вираз знаходження похідної має вигляд

Використання досить малих значеннях збільшень х дає прийнятну точність при обчисленні похідної. Згаданою принципом скористаємося для обчислення похідної в електронній таблиці.

Приклад 9.8. Нехай дана функція у = 2х 2 + х, потрібно знайти похідну в точці х = 2 (аналітичне рішення дає результат 9).

Рішення

Побудуємо область наближень в точці х = 2.

Обчислимо значення функції в цих точках.

Застосуємо формулу обчислення похідної, як показано на рис. 9.25.

Обчислення похідної

Мал. 9.25. Обчислення похідної

Знаходження локальних екстремумів. Якщо задана безперервна на відрізку [а; b] функція F (x), яка має на цьому відрізку локальний екстремум, то його можна знайти, застосувавши інструмент "Пошук рішення". Вирішимо приклад знаходження екстремуму функції.

Приклад 9.9. Знайти екстремум функції F (x) = 2х 2 + 3 х - 1 на відрізку [-2; 2].

Рішення

Виконаємо такі дії.

  • • Введемо в осередок будь-яке число, що належить даному відрізку.
  • • Обчислимо значення заданої функції в цій точці.
  • • Викличемо інструмент "Пошук рішення", в поле Оптимізувати цільову функцію вкажемо адресу комірки з формулою і встановимо перемикач на мінімальне значення.
  • • У полі Змінюючи осередки змінних вкажемо посилання на аргумент функції.
  • • У полі Згідно з обмеженнями додамо обмеження аргументу: більше або дорівнює -2 і менше або дорівнює 2 (рис. 9.26).

Рішенням є значення у = -2,125 при х = -0,75.

Пошук екстремуму за допомогою інструменту

Мал. 9.26. Пошук екстремуму за допомогою інструменту "Пошук рішення"

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >