Інтерполяція і апроксимація експериментальних даних

Інтерполяція і апроксимація, емпіричні функції. Функціональну залежність, оформлену у вигляді таблиці, часто необхідно представити в аналітичній формі. Підбір наближеною емпіричною функції, представленої аналітично і проходить через всі таблично задані точки, наближено відображає поведінку вихідної функції. За допомогою отриманої аналітичної формули можна знайти значення цієї функції в тих точках (усередині даного інтервалу), де вона не задана таблично, такий процес називається інтерполяцією.

Процес апроксимації полягає в побудові наближеної (апроксимуючої) функції, що проходить через всі точки вихідних даних і найближче до заданої неперервної функції. Підбір емпіричної функції здійснюється вибором з усіх функцій на основі обчислених параметрів, що входять в ці функції, найбільш близько описують функціональну залежність між досліджуваними величинами.

Емпіричні функції залежно від характеру експериментальних даних можуть бути наступні:

  • • лінійна (y = ах + b) - застосовується в тих випадках, коли експериментальні дані змінюються відносно постійно;
  • • поліноміальна (у = а 0 + а 1 х + а 2 х + ... + а n х) - описує поперемінно зростаючі і спадні експериментальні дані;
  • • логарифмічна (у = a ln (х) + b, де а і b - константи) - описує експериментальні дані, коли вони спочатку стрімко зростають або убувають, а потім поступово стабілізуються;
  • • статечна (у = bх a, де a і b - константи) - застосовується, коли швидкість зміни експериментальних даних постійно збільшується або зменшується;
  • • Експоненціальна = ах, де а і b - константи) - використовується для опису експериментальних даних, швидкість зростання або зменшення яких безупинно зростає.

Висновок аналітичної функції по її табличним даними. Для підбору інтерполюючої формули в MS Excel 2010 необхідно виконати наступні дії:

  • • побудувати за наявними експериментальними даними графік залежності функції від аргументу;
  • • вивести контекстне меню за допомогою миші на лінії графіка;
  • • зі списку команд контекстного меню вибрати команду Додати лінію тренда;
  • • у діалоговому вікні Формат лінії тренду на вкладці Параметри лінії тренду визначити характер зміни функції на графіку і вибрати вид апроксимуючої функції. Далі встановити прапорці в полях Показувати рівняння на діаграмі і Помістити на діаграму величину достовірності апроксимації (R ^ 2).

Чим вище величина достовірності апроксимації - К ^ 2, тим точніше апроксимуюча функція описує вихідну залежність експериментальних даних.

Після виконання послідовності операцій на діаграмі будуть відображені лінія тренда (графічне відображення інтерполюючої функції), а також інтерполююча функція в аналітичному вигляді, зі значенням величини достовірності апроксимації R ^ 2.

Процес підбору інтерполяційної функції розглянемо на наступному прикладі.

Приклад 9.10. Є відомості про величинах страхових виплат по роках, представлені на рис. 9.27.

Величини страхових виплат для прикладу 9.10

Мал. 9.27. Величини страхових виплат для прикладу 9.10

Потрібно підібрати інтерполяційну функцію і визначити характер зміни величин страхових виплат.

Рішення

Виконаємо такі дії.

  • • За табличними даними побудуємо графік.
  • • Виведемо діалогове вікно Формат лінії тренду за допомогою контекстного меню лінії графіка.
  • • Виходячи з характеру зміни експериментальних даних, в параметрах лінії тренду виберемо значення "Поліноміальна" зі ступенем 2. Встановимо прапорці в полях Показувати рівняння на діаграмі і Помістити на діаграму величину достовірності апроксимації (R ^ 2).

Після натискання кнопки Закрити на діаграмі з'являться лінія тренда, апроксимуюча функція і величина достовірності апроксимації - R ^ 2 (рис. 9.28).

Підбір лінії тренду по страхових виплатах

Мал. 9.28. Підбір лінії тренду по страхових виплатах

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >