Основи лінійної теорії тонких оболонок

Відомості з диференціальної геометрії поверхонь

Нижче наводяться формули з диференціальної геометрії просторових кривих і поверхонь, які необхідно знати для розуміння цього і наступних підрозділів гл. 7 підручника.

Способи завдання кривої. Існує сім основних способів завдання кривих.

1. Параметричні рівняння просторової кривої

де t - змінний параметр.

2. Векторне рівняння просторової кривої

3. Будь-яка крива визначається своїми кривизною k (s ) і кручення k (s) однозначно з точністю до її руху в просторі:

і

4. Завдання плоскої кривої в полярних координатах

Полярна система координат на площині задається точкою О (полюс) і спрямованої прямий Ох (полярна вісь); φ - полярний кут; r (φ) - полярний радіус.

  • 5. Лінія перетину двох поверхонь і являє собою криву, точки якої задовольняють кожному з двох рівнянь.
  • 6. Рідше просторові, частіше плоскі криві можуть бути задані в явній формі :

z = z (х, у) - явне рівняння просторової кривої; у = у (х) - явне рівняння плоскої кривої.

7. Криву можна задати і в неявній формі;

F (x, y, z) = 0 - неявне рівняння просторової кривої;

F (x , у) = 0 - неявне рівняння плоскої кривої.

Дотична і головна нормаль. Дотичну в даній точці кривої M (t) можна розглядати як пряму, що проходить через цю точку у напрямку вектора , тому радіус-вектор точки на дотичній прямій має вигляд

Рівняння дотичної прямої до просторової кривої можна записати також у формі

де Χ, Υ, Ζ - поточні координати.

Головна нормаль кривої задається вектором

де штрихами показані похідні по параметру t , квадратними дужками позначено векторний добуток векторів.

Довжина дуги кривої. Вираз для обчислення довжини дуги кривої можна представити у вигляді

Способи завдання гладких поверхонь. Поверхня може бути задана трьома параметричними рівняннями

в неявній - - або явною - - формі. У багатьох випадках поверхню зручно задавати векторних рівнянням

Якщо покласти і = const або V = const, то рівняння поверхні будуть являти собою рівняння кривих двох сімейств. Лінія і = const називається v -Лінії, а лінія v = const - u -Лінії. Лінії і, v називаються криволінійними координатними лініями на поверхні.

Дотична площину до поверхні. Нехай поверхня задана неявним рівнянням виду F (x, у, z) = 0. У цьому випадку рівняння дотичної площини до поверхні буде мати вигляд

де X, Y. Z - поточні координати.

Позначаючи через X, Y, Z поточні координати для дотичній площині до поверхні , можна записати рівняння цієї площини у вигляді

де нижні індекси означають приватне диференціювання по відповідному параметру.

Нормаль до поверхні. Нормаль до поверхні називається перпендикуляр до дотичної площини в точці дотику. Рівняння нормалі легко скласти як рівняння прямої, що проходить через дану точку М (х, у, z) в заданому напрямку:

де X , Y, Z - поточні координати.

Нехай поверхня задана своїм радіус-вектором ,

тоді векторний добуток

вказує напрямок нормалі до поверхні в даній точці, а одиничний вектор нормалі η до поверхні визначається за формулою

де E, F, G - коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні.

Формули для обчислення коефіцієнтів основних квадратичних форм поверхні. Диференціал довжини дуги ds гладкої кривої на гладкій поверхні виражається формулою

де А, В - коефіцієнти Ламі в теорії поверхонь.

Коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні в розгорнутому вигляді приймають вид

Коефіцієнти другої квадратичної форми поверхні в розгорнутому вигляді приймають вид

У всіх формулах поодинокі нижні літерні індекси означають першу приватну похідну по відповідному параметру, нижні подвійні однакові літерні індекси - другу приватну похідну по відповідному параметру, нижні подвійні різні літерні індекси - другу приватну змішану похідну. Три вектора, укладені в круглі дужки, означають мішаний добуток векторів.

Довжини кривих і кути між кривими на поверхні. Якщо шукається кут χ між криволінійними координатними лініями і, ν, то використовується формула

Якщо координатні лінії і , v перетинаються під прямим кутом, то F = 0. Якщо М = 0, то говорять, що координатні лінії і, v - пов'язані.

Довжина криволінійної координатної лінії і , що належить поверхні :

Довжина криволінійної координатної лінії v, що належить поверхні :

Площа фрагмента поверхні. Для обчислення площі всієї поверхні або її фрагмента застосовується формула

Кривизни ліній на поверхні і кривизни поверхні. Існує два взаємно ортогональних напрямки на поверхні, званих головними напрямками, в яких кривизни мають екстремальні значення і . Ці кривизни називають головними кривизнами. Якщо F = М = 0, то криволінійні координатні лінії і, v збігаються з головними напрямками і називатимуться лініями головних кривизн.

Кривизни криволінійних координатних ліній і, v на поверхні :

Гауссова (повна) кривизна поверхні:

Знак гаусом кривизни визначається виразом Гауссова кривизна позитивна в еліптичних точках, негативна в гіперболічних точках і дорівнює нулю в параболічних точках і точках уплощенія.

Середня кривизна поверхні:

Головні кривизни , поверхні є коріння квадратичного рівняння

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >