Основні рівняння моментної теорії тонких оболонок

Виріжемо з оболонки постійної товщини h нормальними перетинами криволінійний чотирикутний елемент (рис. 7.16), сторони якого обмежені координатними лініями і, v і і + du, v + dv, що розташовуються на серединній поверхні оболонки. Серединна поверхня знаходиться на рівній відстані від зовнішньої і внутрішньої поверхонь оболонки. На сторони вирізаного фрагмента оболонки діють внутрішні зусилля і моменти: , - нормальні зусилля, - дотичні зусилля, , - поперечні сили; , - згинальні моменти, - крутний момент. Розмірність зусиль - Н / м, тобто ньютон на метр довжини відповідної координатної лінії; розмірність изгибающих і крутять моментів - Н • м / м, тобто Н • м на метр довжини відповідної координатної лінії.

Беручи до уваги розмірність зусиль і моментів, для складання рівнянь рівноваги значення зусиль і моментів, показані на рис. 7.16, необхідно помножити на відповідні довжини сторін, де прикладені ці зусилля і моменти.

Будемо вважати, що криволінійна координатна мережа і, v ортогональна (F = 0) і сполучена (М = 0), тобто координатні лінії являють собою лінії головних кривизн.

Криволінійний чотирикутний елемент CCiDlD, вирізаний з серединної поверхні оболонки

Мал. 7.1 в. Криволінійний чотирикутний елемент CC i D l D, вирізаний з серединної поверхні оболонки

Позначимо через X , Y, Z інтенсивність зовнішньої розподіленої поверхневого навантаження (Н / м2 поверхні).

Складемо рівняння рівноваги щодо рухомих ортогональних осей координат (див. Рис. 7.16): , і отримаємо відповідно

(7.1)

Останні шість рівняння рівноваги вважається тотожністю, так як прийнято

Позначимо переміщення довільної точки серединної поверхні оболонки в напрямку дотичних до координатним лініях і, v і в напрямку нормалі до поверхні через відповідно.

Позначимо через відносні деформації в напрямку координатних ліній і, v, а через - зрушення, тобто зміна кута між координатними лініями.

Введемо додатково три параметри, що характеризують ізгібную деформацію серединної поверхні оболонки:

де - параметри зміни кривизни координатних ліній і, v відповідно; - кручення елемента оболонки.

Параметри зі штрихами - це параметри для деформованої оболонки.

Геометричні рівняння теорії оболонок пов'язують між собою переміщення і деформації серединної поверхні оболонки. При виведенні геометричних рівнянь вважають, що нормальний до серединної поверхні прямолінійний елемент оболонки залишається прямолінійним і перпендикулярним до деформованої поверхні і після деформації. Для системи координат в лініях кривизн вони матимуть вигляд

(7.2)

де

В останніх двох виразах маємо, що - кут, на який повертається вектор в сторону вектора η в площині ( ); - кут, на який повертається вектор в сторону вектора n в площині ( ).

Фізичні рівняння (закон Гука в теорії оболонок) мають вигляд

(7.3)

Таким чином, при розрахунку оболонок товщиною h, заданих в лініях кривизни, вводяться такі двовимірні, що залежать від двох змінних і, v, величини:

- Внутрішні силові фактори;

- Компоненти тангенціальною і згинальної деформацій;

- Компоненти зсуву.

Всього вводиться 17 величин, для яких отримані наступні розрахункові рівняння моментної теорії оболонок:

  • • п'ять рівнянь рівноваги (7.1) нескінченно малого елемента оболонки, які пов'язують між собою внутрішні силові фактори;
  • • шість співвідношень (7.2) між деформаціями і переміщеннями;
  • • шість формул (7.3), що зв'язують між собою внутрішні силові фактори і деформації серединної поверхні оболонки.

Разом маємо 17 розрахункових рівнянь для визначення 17 двовимірних параметрів.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >