Безмоментна теорія оболонок

Безмоментна теорія оболонок є спрощеним варіантом загальної теорії, в якому нехтують впливом згинаючих і крутних моментів, а також поперечних сил на напружено-деформований стан.

Для того щоб існувало безмоментного напружений стан, необхідні наступні умови.

  • 1. Оболонка повинна мати форму плавно змінюється безперервної поверхні з постійною або плавно мінливою товщиною h. Різка зміна зазначених величин створює різницю в деформаціях і викликає вигин. У місцях різкої зміни геометрії оболонки (стрибка) величини переміщень, яких визначали за безмоментной теорії, терплять розрив.
  • 2. Навантаження на оболонку повинна бути плавною і безперервної. Безмоментна оболонка не може працювати на зосереджену силу, перпендикулярну її поверхні.
  • 3. Закріплення країв оболонки має бути таким, щоб її край міг вільно переміщатися по нормалі. Кути повороту і нормальні переміщення на краях оболонки не повинні бути обмежені.
  • 4. Сили, прикладені до краю оболонки, повинні лежати в дотичній площині.

Найбільш вигідним для роботи оболонки є безмоментного стан. До нього і прагнуть, надаючи оболонці відповідну форму і закріплюючи її належним чином. Безмоментна теорія - це апарат, який в одних випадках дає суворе опис, в інших - досить гарне наближений опис напружено-деформованого стану оболонок. У ряді випадків безмоментна теорія незастосовна зовсім.

Рівняння безмоментной теорії отримаємо як окремий випадок рівнянь рівноваги (7.1) загальною моментной теорії за умови рівності нулю моментів М і , М г , Н:

(7.4)

Розрахунок оболонок обертання по безмоментной теорії

Розглянемо оболонку обертання з довільним меридіаном (рис. 7.17), який, обертаючись навколо осі обертання, формує серединну поверхню оболонки обертання.

Перетин оболонки уздовж меридіана

Мал. 7.17. Перетин оболонки уздовж меридіана

Приймемо за параметр і кут між нормаллю до меридіану і віссю обертання Oz , за параметр v - центральний кут обертання точки С навколо осі Oz, відлічуваний від осі Ох в сторону осі Оу. Прийнята система криволінійних координат і, v буде координатної системою в лініях головних кривизн .

Згідно рис. 7.17 маємо: , , тобто

Далі: ; тому . Крім того, з рис. 7.17 очевидно, що . тоді

Підставляємо значення в рівняння рівноваги безмоментной теорії (7.4):

(7.5)

Далі будемо розглядати осесиметричних завдання, яка можлива при Y = 0. У цьому випадку в рівняннях зникнуть члени, що містять похідні по v, так як внутрішні зусилля будуть залежати тільки від параметра і. У цьому випадку система (7.5) спроститься і набуде вигляду

(7.6)

З останнього рівняння знаходимо значення нормального зусилля:

(7.7)

підставивши яке в перше рівняння системи (7.6), отримуємо

Інтегруючи результат підстановки, знаходимо

(7.8)

де постійна інтегрування С знаходиться з граничних умов. Після обчислення знаходимо за формулою (7.7).

Приклад 7.1. Розрахуємо по безмоментной теорії сферичну оболонку радіусом R, зображену на рис. 7.18. Оболонка навантажена зовнішнім тиском р.

До прикладу 7.1

Мал. 7.18. До прикладу 7.1

Всі умови існування безмомснтного напруженого стану в цьому випадку виконуються, тому будемо використовувати формули (7.7) і (7.8), в які необхідно підставити X = О, Z = (див. Рис. 7.17), :

Для визначення константи С можна використовувати наступне міркування: в вершині конуса, тобто при , не може бути нескінченно великого значення нормальної сили , а щоб виконати цю умову, необхідно покласти З = 0. Таким чином, отримуємо . За формулою (7.7) визначаємо . Отже, будь-який фрагмент оболонки, межі якого збігаються з координатними лініями (меридіанами і паралелями), буде стиснутий в обох напрямках нормальними силами -pR / 2 [Н / м]. Дотичне зусилля в осесиметричної задачі для оболонок обертання дорівнює нулю (S = 0).

Розрахунок осесиметричних тонких оболонок обертання по моментной теорії

Для осесиметричної оболонки обертання маємо

Крім того, раніше було визначено

Підставляємо виписані значення в рівняння рівноваги (7.1):

(7.9)

Випишемо геометричні співвідношення (7.2) з урахуванням осесиметричних оболонки:

(7.10)

Введемо допоміжні функції

Функції χ, ψ убутку запропоновані швейцарським ученим Е. Мейсснер в 1913 р Зусилля і моменти можуть бути виражені через введені функції:

де - значення нормальних сил, певні по безмоментной теорії розрахунку; - циліндрична жорсткість оболонки на вигин; h = const - товщина оболонки.

Якщо підставити значення нормальних сил у рівняння рівноваги (7.9), то перші два рівняння звернуться в тотожність, а третє набуде вигляду

(7.11)

де позначено

L (...) - диференційний оператор Мейсснера.

За допомогою геометричних рівнянь (7.10), виражених через введені функції ψ, χ, і висловивши деформації через - через , використовуючи формули закону Гука в теорії оболонок, Мейсснер отримав друге рівняння

(7.12)

Таким чином, завдання розрахунку довільних осесиметричних оболонок обертання постійної товщини полягає у визначенні функцій Мейсснера ψ, χ з системи двох звичайних диференціальних рівнянь четвертого порядку (7.11), (7.12). Потім визначаються внутрішні зусилля і моменти.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >