Чисельні методи розрахунку

Сучасний рівень розвитку комп'ютерних технологій визначив специфіку методів розрахунку будівельних конструкцій на міцність, жорсткість і стійкість. Якщо кілька десятиліть тому переважали аналітичні методи визначення ПДВ елементів споруд, а також експериментальні дослідження, то зараз при бурхливому розвитку електронно-обчислювальних машин (ЕОМ) в будівельній механіці починають превалювати чисельні методи розрахунку будівельних конструкцій.

Чисельні методи по визначенню є наближеними. Замість того щоб розшукувати складні функції, що задовольняють диференціальним рівнянням, що описує досліджуване явище, і крайовим умовам, вводять набір відомих простих (дуже часто - кусочно-безперервних) базисних функцій, за допомогою яких знаходять похідні, що входять в диференціальні рівняння або виразу механічної енергії досліджуваного об'єкта . В результаті безперервна функція одного або декількох аргументів представляється її значеннями в деяких точках (вузлах), а операції аналізу безперервних функцій замінюються алгебраїчними діями зі значеннями функцій в обраній сітці вузлів. Таким чином, чисельні методи призводять рішення фізико-математичних задач до найпростіших обчислювальних процедур, які виконуються, як правило, за допомогою ЕОМ.

Метод кінцевих різниць

Метод кінцевих різниць (МКР) є наближеним методом розв'язання крайових задач для диференціальних рівнянь. Його ще називають методом сіток. Істота методу наступне. На дану область (вісь стрижня, серединну поверхню оболонки або об'ємне тіло) наносимо сітку вузлів (відповідно одновимірну, двовимірну або тривимірну). Похідні, які входять в диференціальні рівняння, що описують деформування елементів будівельних конструкцій, і крайові умови наближено замінюємо відповідними різницевими співвідношеннями за формулами чисельного диференціювання та, отже, висловлюємо через невідомі значення шуканої функції в вузлах сітки. В результаті зводимо задачу до системи алгебраїчних рівнянь, в якій невідомими величинами є значення шуканих функцій у вузлах раніше створеної сітки. Вирішивши цю систему і, при необхідності, проінтерполіровав вузлові значення шуканих функцій в проміжках між вузлами сітки, в результаті отримаємо наближене чисельне рішення поставленого завдання.

Суттєва перевага методу скінченних різниць по відношенню до інших чисельних методів - це несильний залежність використовуваного алгоритму від виду диференціальних рівнянь і крайових умов задачі. Недолік же полягає в тому, що доводиться вирішувати системи алгебраїчних рівнянь високих порядків. Цей недолік пом'якшується тим, що матриці систем рівнянь - неповністю заповнені (стрічкові). Метод кінцевих різниць також важко використовувати при вирішенні завдань про сполученні конструкцій різної розмірності (наприклад, оболонок і об'ємних тіл), багатозв'язних (з вирізами), при змішаних граничних умовах і т.д.

Варіаційно-різницевий метод

Варіаційно-різницевий метод (ВРМ) базується на варіаційних принципах механіки і вільний від ряду недоліків, властивих МКР. В даному випадку деформування будівельної конструкції описується деяким функціоналом, найчастіше це вираз потенційної енергії системи - функціонал Лагранжа, який в положенні рівноваги системи є стаціонарним. Умова стаціонарності функціоналу відповідає диференціальних рівнянь, якими описується поведінка досліджуваної системи, однак порядок похідних, що входять в функціонал, нижче порядку похідних в диференціальних рівняннях, що дає можливість спростити алгоритмізацію процесу рішення задачі. Крім того, ВРМ дозволяє спростити запис граничних умов. Так, при використанні функціоналу Лагранжа потрібно задовольняти тільки кинематическим крайовим умовам, так як статичні умови вже містяться в варіаційних рівняннях. Ці умови називають природними.

При реалізації ВРМ варіаційна задача замінюється кінцево різницевим аналогом па заздалегідь обраної сітці вузлів, тобто похідні від безперервних функцій, що входять у вираз, наприклад, потенційної енергії даної системи, визначаються чисельно в призначених вузлах за допомогою кінцево-різницевих співвідношень. Крім того, зважаючи на необхідність обчислення певного інтеграла, що входить у вираз функціоналу енергії, в областях даної системи між вузлами вводять кусочно-безперервні так звані функції заповнення. Від характеру цих функцій залежить ступінь кінцево-різницевої апроксимації. В результаті процедура ВРМ зводиться до добре обумовленої симетричній системі алгебраїчних рівнянь (при використанні функціоналу Лагранжа) стрічкової структури.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >