Математичні основи для зворотних обчислень

Математичним підставою для зворотних обчислень є операція диференціювання функцій, де передбачається, що загальне збільшення функції (результуючого показника) розкладається на складові. Величина кожного з них визначається як добуток відповідних частин похідною на приріст змінної, по якій обчислена дана похідна.

Нехай задана функція . Тоді якщо функція диференційована, її приріст можна виразити таким чином:

де - приріст функції; - приріст першої змінної (фактора); - приріст другою змінною величиною (фактора); - нескінченно мала величина вищого порядку, ніж .

Вплив кожної з змінних на зміну функції z визначається наступним чином:

і

Для постановки задачі зворотних обчислень потрібно:

  • • доповнити прямі залежності цільової установкою, вказавши бажаний тренд зміни кожного з аргументів прямої функції;
  • • вказати пріоритетність в шляхах досягнення цілей, що відображаються за допомогою задаються коефіцієнтів.

Детально методи вирішення такого роду завдань представлені в роботі [28], тут же зробимо деяке їх узагальнення, зв'язавши з теорією факторного аналізу. Згідно з даною теорією визначити частину приросту функції за рахунок будь-якого з аргументів можна за формулами з роботи [5, с. 98-99]. Наприклад, для мультиплікативних моделей ці формули мають вигляд

Тоді, якщо вважати, що бажані прирости аргументів функції повинні бути пропорційними величині коефіцієнтів їх пріоритетності, то дана вимога можна записати у вигляді

, Або .

Це дозволяє розрахувати ті прирости аргументів, які забезпечать заданий будь-ким приріст функції за допомогою системи рівнянь, що має вигляд

де - шукані прирости аргументів, залежні від і коефіцієнтів пріоритетності α, β.

Тут вираження і вказують на приріст від відповідного коефіцієнта пріоритетності. Обов'язковою умовою виступає обмеження . Очевидно, що можна інтерпретувати як управлінський вплив на відповідні структурні підрозділи підприємства.

Ця ж інформація може бути представлена графічно, де вказується те, що прирости для х і z залежать не тільки від заданого приросту Δ у, але і від коефіцієнтів α і β.

Методи зворотних обчислень

Припустимо, для прямих розрахунків застосовується формула, що відображає залежність рентабельності (Р) від прибутку (П) і собівартості продукції (С):

Тоді якщо у особи, що формує рішення, з'явилося бажання підвищити рентабельність за рахунок підвищення прибутку і зниження собівартості, то така цільова установка у формулі відобразиться таким чином:

Однак це ще не все. Якщо відомі пропорції, якій частині приросту рентабельності бажано домогтися за рахунок підвищення прибутку, який - за рахунок зниження собівартості, то пропорції цих частин вказуються за допомогою коефіцієнтів пріоритетності. Наприклад, якщо 0,8 приросту рентабельності слід домогтися за рахунок збільшення прибутку, а 0,2 - за рахунок зниження собівартості, то тоді формула набуває вигляду

де α, β - коефіцієнти пріоритетності цілей (рис. 2.2).

підвищення рентабельності

Мал. 2.2. Підвищення рентабельності

Цільові установки особи, що формує рішення, можуть бути і іншими. У цьому ж прикладі можна значення Р підвищити за рахунок уже підвищення П і С одночасно. Причому пріоритетність в досягненні підцілей може змінюватися, а може і ні. Тоді отримаємо наступне аналітичне вираз:

Необхідно зауважити, що коректний розрахунок абсолютних величин приростів далеко не завжди можливий, тому в уже згаданих роботах [17, 28, 30] розроблено кілька методів, що забезпечують обробку більшості можливих варіантів прямих залежностей. Перерахуємо їх:

  • 1) рішення задач за допомогою індивідуальних коефіцієнтів приросту аргументів;
  • 2) рішення задач за допомогою єдиного коефіцієнта приросту аргументів;
  • 3) рішення задач без коефіцієнтів приросту аргументів;
  • 4) рішення задач без вказівки пріоритетності цілей.

Зробимо деякі зауваження.

У найпростіших випадках, при наявності адитивної функції і при позитивному знаку бажаного приросту функції, а також приростів аргументів, завдання вирішується просто. Для визначення невідомих приростів аргументів достатньо задається приріст функції розподілити пропорційно коефіцієнтам пріоритетності цілей. Припустимо, відома наступна цільова установка, задана адитивної функцією виду - коефіцієнти пріоритетності цілей. Відомий також задається приріст функції, рівний Δ А, який слід отримати в результаті збільшення обох аргументів.

Для вирішення завдання можна записати наступне:

звідки отримаємо

Приклад 1. Нехай

тоді

Перевіримо результат:

Однак виникає питання: як визначити прирости для функцій, якщо, по-перше, функції не є адитивними, а по-друге, прирости аргументів мають різні знаки? Перевіримо, що вийде, якщо є такий цільова установка: . Нехай дано ті ж значення, що і в прикладі 1. Якщо піти тим же шляхом, то отримаємо

Чи не буде правильної відповіді ні при кратних (дроби), ні при мультиплікативних (твори), ні при статечних і інші функції. Потрібні зворотні обчислення, методи яких викладаються нижче.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >