Прогнозування економічних процесів, піддаються сезонним коливанням

Багато фінансово-економічні показники поряд зі стійкою тенденцією до зростання або зменшення схильні до сезонних коливань. Під сезонними коливаннями розуміють регулярні, періодичні настання внутрішньорічних підйомів і спадів виробництва, ділової активності, вантажообігу, товарообігу і т.д., пов'язані зі зміною пір року, а під сезонністю - обмеженість річного періоду під впливом цього ж чинника. Сезонність, як правило, негативно впливає на економічні показники, тому необхідно вміти вимірювати і аналізувати сезонність, з тим щоб при управлінні і прогнозуванні таких процесів враховувати фактор сезонності і, наскільки его можливо, знижувати її негативні впливи.

Часовий ряд, в якому спостерігаються і тренд, і сезонні коливання будемо називати тренд - сезонних тимчасових поруч. Між компонентами тренд-сезонного часового ряду може мати місце залежність аддитивная Y = U • S + Е, або мультипликативная Y = U • S + Е, тут U - тренд; S - сезонна компонента; Е - випадкова компонента.

Прийнято вважати, що адитивна співвідношення між компонентами тренд-сезонного тимчасового ряду має місце в тому випадку, коли з плином часу сезонна компонента суттєво не змінюється. Якщо ж сезонна складова з року в рік зростає або знижується, то використовують мультиплікативне співвідношення.

Прикладом тренд-сезонного часового ряду може служити ряд, складений з послідовних значень ціни акції, що росте протягом ряду років, по якій щорічно виплачуються (наприклад, на початку року) дивіденди. Так як вартість акції з року в рік зростає, ми маємо висхідний довгостроковий тренд. Однак на початку року вартість акції нижче, ніж в кінці попереднього року, так як її вартість до кінця року включає в себе накопичені за рік дивіденди. Їх отримає власник цінним папером, після чого дивіденди вже нс входять у вартість акції, і ціна її зменшується.

Для короткострокового прогнозування таких процесів можна використовувати адаптивні моделі, що враховують наявність сезонної компоненти, зокрема модель Хольта - Уінтерс. Розглянемо алгоритм застосування даного методу на прикладі прогнозування ціни акції. Часовий ряд, що характеризує вартість акції за 16 кварталів (чотири роки) наведено в табл. 13.6. Нас цікавлять прогнозні значення цін на ці акції в 1 -4 кварталах наступного п'ятого року.

Таблиця 13.6

Ціна акції за 16 кварталів (чотири роки)

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y (t)

304

320

334

347

323

342

365

375

342

365

11

12

13

14

15

378

399

363

388

419

Будемо вважати, що залежність між компонентами тренд-сезонного тимчасового ряду мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта - Уінтерс з лінійним зростанням має наступний вигляд:

(13.27)

де k - період попередження; - Розрахункове значення економічного показника для ί-го періоду; a (t), b (t) і F (t) коефіцієнти моделі, вони адаптуються, уточнюються в міру переходу від членів ряду з номером t - 1 до подальшого з номером t ; F (t + k - L) - значення коефіцієнта сезонності того періоду, для якого розраховується економічний показник; L - період сезонності (для квартальних даних L = 4, місячних - L = 12).

Таким чином, якщо розраховується значення економічного показника, наприклад за другий квартал, то F (t + k - 2) буде коефіцієнтом сезонності другого кварталу попереднього року.

Коригування коефіцієнтів моделі проводиться за допомогою наступних формул:

(13.28)

(13.29)

(13.30)

Параметри адаптації , і підбирають шляхом перебору з таким розрахунком, щоб розрахункові значення найкращим чином відповідали фактичним, тобто щоб забезпечити задовільну адекватність і точність моделі.

З формул (13.28) - (13.30) видно, що для розрахунку а (1) і b (1) необхідно оцінити значення цих коефіцієнтів для попереднього періоду часу (тобто для t = 1 - 1 = 0). Значення a (0) і b (0) мають сенс цих же коефіцієнтів для четвертого кварталу року, що передує першому році, для якого є дані в табл. 13.6.

Для оцінки початкових значень a (0) і b (0)-параметрів лінійної моделі візьмемо перші вісім значень Y (t ) з табл. 13.6 і методом найменших квадратів за формулами (13.12) визначимо їх значення. Вони будуть рівні: а (0) = 300,05 і b ( 0) = 8,60 і, відповідно лінійне рівняння (13.27) буде мати вигляд УДГ) = 300,05 + 8,60. З використанням цього рівняння знаходимо розрахункові значення Y "(t) і зіставляємо їх з фактичними значеннями (табл. 13.7). Таке зіставлення дозволяє оцінити наближені значення коефіцієнтів сезонності 1-4 кварталів F (-3), F (- 2), F (-1) і F ( 0) для року, що передує першому році, за який наявні дані в табл. 13.6. Ці значення необхідні для розрахунку коефіцієнтів сезонності першого року F (1), F (2), F (3), F (4) та інших параметрів моделі Хольта - Уінтерс за формулами (13.28) - (13.30).

Таблиця 13.7

Зіставлення фактичних даних Y (t ) і розрахованих по лінійної моделі значень Yp (t )

t

1

2

3

4

5

6

7

8

304

320

334

347

323

342

365

375

308,65

317,25

325,85

334,45

343,05

351,65

360,25

368,85

Коефіцієнт сезонності є відношення фактичного значення економічного показника до його розрахункового значення, обчисленого за лінійної моделі. Тому в якості оцінки коефіцієнта сезонності першого кварталу F ( - 3) може служити відношення фактичних і розрахункових значень першого кварталу першого року, рівне і таке ж відношення для першого кварталу другого року (тобто за п'ятий квартал t = 5) . Для більш точної оцінки цього коефіцієнта сезонності можна використовувати середнє арифметичне значення цих двох величин

Аналогічно знаходимо оцінки коефіцієнта сезонності для другого, третього і четвертого кварталів:

Оцінивши значення a (0), b (0), а також F ( - 3), F (-2), F (-1) і F (0), можна перейти до побудови адаптивної мультиплікативної моделі Хольта - Уінтерс за допомогою формул (13.27) - (13.30).

Шляхом перебору можливих значень параметрів згладжування, було встановлено, що до кращих відносяться ; , .

Розрахуємо значення і для .

З рівняння 3.1, вважаючи t = 0, k = 1, знаходимо Y p (1):

Аналогічно розрахуємо значення і : для

для

для

для

Звернемо увагу на те, що тут і надалі використовуються коефіцієнти сезонності F (t - L), скориговані в попередньому році (L = 4):

Продовжуємо аналогічні розрахунки для t = 6, 7, 8, ..., 16 (табл. 13.8). Максимальне значення t, для якого можна розрахувати коефіцієнти моделі, дорівнює кількості наявних даних по економічному показнику Y (t). У нашому прикладі дані наведені за чотири роки, тобто за 16 кварталів. Максимальне значення t = 16.

Таблиця 13.8

Модель Хольта - Уінтерс

t

Абсолютна похибка m

Відносна погрішність, %

0

300,05

8,60

0,9633

1

304,0

310,73

9,22

0,9723

297,32

6,68

2,20

2

320,0

320,87

9,50

0,9946

316,96

3,04

0,95

3

334,0

329,58

9,26

1,0157

336,68

-2,68

0,80

4

347,0

338,54

9,17

1,0258

348,02

-1,02

0,29

5

323,0

343,06

7,77

0,9538

338,08

-15,08

4,67

6

342,0

348,74

7,14

0,9862

348,94

-6,94

2,03

7

365,0

356,92

7,45

1,0199

361,47

3.53

0,97

8

375,0

364,73

7,56

1,0272

373,77

1,23

0,33

9

342,0

368,17

6,32

0,9389

355,09

-13,09

3,83

10

365,0

373,18

5,93

0,9813

369,32

-4,32

1,18

11

378,0

376,56

5,17

1,0103

386,65

-8,65

2,29

12

399,0

383,74

5,77

1,0347

392,11

6,89

1,73

13

363,0

388,64

5,51

0,9360

365,71

-2,71

0,75

14

388,0

394,52

5,62

0,9826

386,78

1,22

0,31

15

419,0

404,52

6,93

1,0256

404,26

14,74

3,52

16

418,0

409,21

6,26

1,0268

425,73

-7,73

1,85

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >