Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Наслідки виконання передумов Гаусса - Маркова

Теорема Гаусса - Маркова говорить, що при виконанні передумов (2.2) - (2.5) оцінка параметрів множинної регресії, отримана при застосуванні методу найменших квадратів,, є найбільш ефективною, т. Е. Має найменшу дисперсією в класі лінійних незміщених оцінок (Best Linear Unbiased Estimator - BLUE).

Доведемо Незміщеність МНК-оцінок.

Знайдемо математичне сподівання оцінок параметрів множинної лінійної регресії. Використовуємо формулу (2.9), розклавши величину У на невипадково і випадкову складові:

Розкриємо дужки всередині виразу під знаком математичного очікування. Математичне сподівання суми змінних дорівнює сумі математичних очікувань кожної змінної:

У першому доданку твір матриць дає одиничну матрицю /, у другому доданку вираз можна винести за дужки як невипадково величину, а математичне очікування випадкових залишків дорівнює нулю (умова 1). Таким чином, маємо вираз

(2.15)

де I - одинична матриця.

Незміщеність МНК-оцінок доведена. Відзначимо, що з виразу (2.15) випливає, що

(2.16)

Так як оцінки параметрів рівняння множинної регресії можуть варіювати, можна оцінити їх дисперсію і ковариацию, узагальнивши отримані дані в ковариационной матриці оцінок параметрів рівняння регресії :

(2.17)

Зауважимо, що в матриці (2.17) нумерація рядків і стовпців починається з нуля. Нульові рядок і стовпець введені для обліку вільного члена рівняння регресії і дотримання нумерації коефіцієнтів регресії.

Коваріація двох оцінок параметрів і розраховується за формулою

(2.18)

З формули (2.18) випливає, що ковариация оцінки параметра з самою собою дорівнює її дисперсії:

У матричної формі ковариационную матрицю оцінок параметрів рівняння регресії можна записати у вигляді

(2.19)

Перетворимо вираз (2.19) з урахуванням виразу (2.16):

В отриманому виразі випадковим є тільки твір , математичне очікування інших множників як детермінованих величин одно їм самим. Таким чином, маємо вираз

(2.20)

У вираженні (2.20) співмножники, що стоять до математичного очікування, можна представити у вигляді

де .

Математичне сподівання є ковариационную матрицю випадкових залишків виду

або

(2.21)

В силу умови Гаусса - Маркова про рівність математичного очікування випадкових залишків нулю (умова 1), а також сталість дисперсії випадкових залишків (умова 2), отримуємо вирази

Згідно з умовою Гаусса - Маркова про незалежність випадкових залишків (умова 3) елементи матриці (2.21), які не стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, тобто матриця є скалярною:

де - одинична матриця порядку п.

Повернувшись до розгляду ковариационной матриці оцінок параметрів рівняння регресії, отримаємо вираз

(2.22)

На головній діагоналі матриці знаходяться дисперсії параметрів рівняння множинної регресії. Їх величини використовуються для оцінки значущості зазначених параметрів. Відзначимо, що в натуральному вираженні (2.22) дисперсія випадкових залишків невідома і має бути оцінена за наявними у дослідника даними. Можна показати, що несмещенная оцінка дисперсії випадкових залишків , яка позначається як , дорівнює

(2.23)

де п - кількість спостережень; т - кількість параметрів в рівнянні регресії без урахування вільного члена.

Таким чином, ковариационная матриця оцінок параметрів рівняння множинної регресії матиме вигляд

(2.24)

а дисперсія оцінки параметра; ( При при ), що є діагональним елементом матриці , може бути оцінена за формулою

(2.25)

де - елемент матриці .

Можна показати, що оцінки параметрів рівняння множинної регресії а і їх дисперсії при виконанні умови про розподіл залишків по нормальному закону (умова 5) є незалежними .

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук