Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Системи одночасних рівнянь

Ідентифікація та оцінювання

Оцінювання системи одночасних рівнянь звичайним МНК дає зміщені і неспроможні оцінки з тієї причини, що ендогенні регресорів корелюють з помилками. Однак якщо записати систему в наведеній формі , в якій всі ендогенні змінні пояснюються тільки зумовленими змінними, то ця система може бути оцінена заможним чином звичайним МНК, оскільки зумовлені змінні не корелюють з помилкою.

В системі (4.1) зумовлені змінні представлені тільки екзогенними (лагов ендогенних змінних немає), тому її наведена форма має вигляд

де ц • ,, і 2, ..., і " - відповідні помилки.

Заможні оцінки коефіцієнтів приведеної форми в деяких випадках дозволяють отримати спроможні оцінки коефіцієнтів рівнянь структурної форми. Такі рівняння називаються ідентифікації документів .

Якщо ж якийсь рівняння структурної форми містить занадто багато коефіцієнтів у порівнянні з рівнянням наведеної форми, то воно може виявитися неідентифіковані (оцінки його коефіцієнтів не можуть бути отримані з оцінок коефіцієнтів приведеної форми).

Модель називається точно ідентифікованої, якщо всі її структурні коефіцієнти визначаються однозначно за коефіцієнтами приведеної форми. У цьому випадку число оцінюваних коефіцієнтів у структурній і наведеної формах однаково. Тут для оцінки коефіцієнтів структурної моделі застосовується непрямий МНК (КМНК), який полягає в тому, що МНК оцінюють наведену систему, а потім висловлюють оцінки коефіцієнтів структурної форми через оцінки коефіцієнтів приведеної форми.

Відповідність між коефіцієнтами приведеної та структурної форм моделі може бути також неєдиним. Рівняння виявляється сверхідентіфіціруемим, якщо число його наведених коефіцієнтів більше числа структурних. У цьому випадку на основі коефіцієнтів приведеної форми можна за допомогою КМНК отримати більше одного значення структурного коефіцієнта, і оскільки перевагу одного з варіантів цих значень призводить до втрати інформації, оцінки КМНК виявляються неефективними, і тут необхідно використовувати двохкроковий МНК (ДМНК). Оцінювання рівняння ДМНК полягає в наступному.

  • 1. Звичайним МНК оцінюється приведена форма моделі, і на її основі розраховують теоретичні значення ендогенних змінних, що стоять в правій частині оцінюваного рівняння структурної форми.
  • 2. Рівняння в структурній формі оцінюється звичайним МНК, але замість значень ендогенних змінних, що стоять в правій частині, використовуються їх теоретичні значення.

Якщо все рівняння системи сверхідентіфіціруеми, то для оцінки структурних коефіцієнтів кожного рівняння використовується ДМНК. Якщо ж в системі є і точно ідентифікуються рівняння, то структурні коефіцієнти по ним можна знайти і за допомогою КМНК. Для точно ідентифікованих рівнянь результати, отримані КМНК і ДМНК, збігаються.

(Точно) ідентифікованої називається модель, в якій кожне рівняння (точно) дозволяє ідентифікувати вас. Сверхідентіфіціруемой називається модель, в якій кожне рівняння можуть бути ідентифіковані хоча б одне рівняння сверхідентіфіціруемо. Модель називається неідентифіковані , якщо неідентифіковані хоча б одне її рівняння. У цьому випадку число наведених коефіцієнтів виявляється менше числа структурних, через що структурні коефіцієнти не можуть бути отримані з наведених.

Існують необхідні і достатні умови ідентифікованих рівнянь; вони перевіряються для кожного рівняння структурної моделі.

Необхідна умова ідентифікації (сверхідентіфікаціі) рівняння, або порядковий умова, полягає в тому, що число зумовлених змінних, відсутніх в рівнянні, плюс один має дорівнювати (більше) числа ендогенних змінних, присутніх в рівнянні. При невиконанні цієї умови рівняння вважається неідентифіковані (хоча в деяких випадках окремі його коефіцієнти можуть бути ідентифіковані). Слід зауважити, що дана умова еквівалентно тому, що для ідентифікації документів (сверхідентіфіціруемості) рівняння число його коефіцієнтів у наведеній формі має дорівнювати (більше) числа його коефіцієнтів в структурній формі.

Необхідна і достатня умова ідентифікованих вимагає обчислення рангу подматріци матриці коефіцієнтів приведеної форми. Однак якщо вважати цю підматрицю матрицею повного рангу (що, як правило, і має місце на практиці), то ця умова буде еквівалентно порядковому.

Як приклад розглянемо модель грошового і товарного ринків [1] :

(функція грошового ринку); (функція товарного ринку); (функція інвестицій),

де R - процентні ставки; Y - реальний ВВП; М - грошова маса;

1 - внутрішні інвестиції; G - реальні державні витрати.

Тут все три аналізовані змінні R, Y, I залежать один від одного. Тому це система одночасних рівнянь, і кожне з цих рівнянь не може оцінюватися окремо звичайним МНК, так як оцінки при цьому виходять зміщені і неспроможні.

В системі три ендогенні змінні R, Y, I і дві зумовлені змінні М, G. Визначені змінні представлені тільки екзогенними змінними, лагових ендогенних змінних немає.

Перевіримо виконання необхідної умови ідентифікованих.

номер

рівняння

Число зумовлених змінних, відсутніх в рівнянні , D

Число ендогенних змінних, присутніх в рівнянні , Н

Про + 1? Н

Ідентифікованість

1

1

2

точна

2

1

3

немає

3

2

2

понад

Таким чином, виявляємо точну Ідентифікованість першого рівняння, неідентифіковані другого і сверхідентіфіціруемость третього.

Той же результат отримаємо, поглянувши на наведену форму системи

По трьох коефіцієнтів рівняння наведеної форми (наприклад, для першого рівняння це Aj, Вп, В12) потрібно оцінити в першому рівнянні три параметра aj, Ь12, Ь14 (рівняння точно ідентифікованих); у другому - чотири параметри а 2 , b 2 i, Ь23, b 2j (4> 3, отже, рівняння неідентифіковані); в третьому - два параметра а3, Ь31 (2 <3, отже, рівняння сверхідентіфіціруемо).

Таким чином, система в цілому неідентифіковані, так як в ній є неідентифіковані рівняння. Однак параметри першого і третього рівнянь можуть бути оцінені КМНК / ДМНК і ДМНК відповідно.

Застосуємо КМНК до першого рівняння. Оцінимо звичайним МНК параметри кожного рівняння наведеної вище системи.

Для цього нам потрібні значення R t, У " I t , М" G t, де t = 1, 2, ..., п. Скористаємося умовними даними з наступної таблиці [2] .

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

до,

6

5

5

6

5

5

4

5

6

5

5

4

4

5

5

Y x

175

179

185

179

183

188

197

181

158

173

176

194

194

178

185

I,

14

15

15

15

14

15

17

14

12

14

15

16

15

15

15

Μ,

10

9

10

11

11

12

8

10

11

9

9

8

8

9

9

G,

99

93

102

95

106

104

96

103

94

94

93

101

107

92

101

t

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

R,

5

5

7

4

5

5

6

5

4

6

5

5

5

4

5

у,

186

186

160

180

202

196

196

187

198

180

177

179

171

191

179

/,

15

15

12

15

16

17

17

16

17

14

15

16

13

16

14

Μ,

8

9

10

10

10

10

10

11

10

10

9

12

11

12

9

Gt

100

101

96

92

111

99

99

98

98

104

93

88

98

99

98

Оцінимо коефіцієнти рівнянь приведеної форми звичайним МНК:

Тепер ми повинні отримати оцінки коефіцієнтів першого рівняння. Воно точно ідентифікованих, тому рішення повинне бути єдиним. Тут є кілька еквівалентних способів вирішення.

Перший спосіб. Зауважимо, що в першому рівнянні наведеної форми присутні змінні М і G, тоді як в структурній формі - У і М. Отже, потрібно позбутися від змінної G в наведеному рівнянні з допомогою змінної У. Висловимо змінну G з другого рівняння наведеної форми і підставимо в перше рівняння. отримаємо вирази

Другий спосіб. Замість кожної ендогенної змінної з правої частини першого структурного рівняння підставимо її вираження в наведеній формі; потім прирівняємо праві частини приведеного і структурного рівнянь:

Далі потрібно в правій частині розкрити дужки, згрупувати коефіцієнти при змінних М і G вільні члени, а потім прирівняти відповідні коефіцієнти правої і лівої частин. Вийде система з трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими. Відповідь буде той же:

Третій спосіб. Скористатися ДМНК. результат:

Таким чином, ми ідентифікували перше рівняння

Спробуємо тепер ідентифікувати друге рівняння (ми заздалегідь знаємо, що це не вийде). Скористаємося другим з перерахованих вище способів:

Далі потрібно в правій частині розкрити дужки, згрупувати коефіцієнти при змінних М і С і вільні члени,

Зауважимо, що неправомірно вважати цей коефіцієнт дорівнює нулю, що не протестувавши його значимість, а потім прирівняти відповідні коефіцієнти правої і лівої частин. Вийде система з трьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими а 2 , b 21 , b 23 , видання 25 :

За основною теоремою лінійної алгебри ця система сумісна (ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, тобто трьом), а так як в ній чотири невідомих і тільки три рівняння, то вона має безліч рішень. Ми не можемо з цього незліченної безлічі рішень віддати перевагу якесь одне рішення всім іншим. Тому друге рівняння вважається неідентифіковані.

Якщо ми спробуємо ідентифікувати третє рівняння (сверхідентіфіціруемое) КМНК, тобто висловити його коефіцієнти через коефіцієнти наведеної форми, то отримаємо вираз

Після угруповання отримаємо систему з трьох лінійних рівнянь з двома невідомими а3, b31:

За основною теоремою лінійної алгебри ця система несумісна (ранг основної матриці менше рангу розширеній матриці): b31 = B31 / ¾ = -0,9 і, в той же час, Ь зг = Ц 2 = -1,0- Так що для параметра Ь31 ми маємо дві оцінки, для кожної з яких буде також своє значення параметра а 3 (відповідно 19,0 і 19,6). Це і є сверхідентіфіціруемость. Тому тут застосовується не КМНК, а ДМНК, що полягає в тому, що всі ендогенні змінні, які стоять в правій частині сверхідентіфіціруемого структурного рівняння, замінюються їх теоретичними значеннями, отриманими з відповідних рівнянь приведеної форми; потім структурний рівняння оцінюється звичайним МНК.

У нашому випадку необхідні теоретичні значення змінної R. Вони знаходяться для кожного t = 1, 2 , п за формулою

Отримаємо наступні значення:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

k

5,01

4,92

4,98

5,2

5,09

5,26

4,74

4,97

5,21

4,91

4,92

4,69

4,63

4,93

4,84

t

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

k

4,7

4,84

5,04

5,08

4,89

5,01

5,01

5,17

5,02

4,96

4,92

5,42

5,17

5,31

4,87

Потім звичайним МНК оцінюються параметри рівняння

отримаємо вираз

Пропонуємо читачеві як вправа оцінити перше рівняння ДМНК і переконатися, що в цьому випадку він дає ті ж оцінки, що і КМНК.

У тому випадку, коли помилки в різних (ідентифікованих) рівняннях корелюють між собою, існує можливість підвищити ефективність оцінювання, взявши до уваги додаткову інформацію про цю кореляції. Трикроковий МНК (ТМНК) повторює перші два кроки ДМНК, потім на основі залишків оцінюється ковариационная матриця і система переоцінюється заново узагальненим МНК.

Продовжимо розгляд прикладу. Ми оцінили перше і третє рівняння системи в припущенні про те, що помилки різних рівнянь не корелюють один з одним. Якщо ж тепер припустити, що кореляція має місце, то має сенс використовувати ТМНК. Читачеві пропонується оцінити систему з першого і третього рівнянь з використанням в якості інструментів змінних М і G в комп'ютерному пакеті (наприклад, в EViews або Gauss ) і переконатися в тому, що в даному прикладі оцінки, отримані ДМНК і ТМНК, майже однакові, а стандартні помилки в останньому випадку менше (тобто оцінки ефективніше).

Тестування на екзогенні

Як зазначалося вище, для оцінювання систем одночасних рівнянь застосовується ДМНК, тому що кореляція регресорів з помилками робить оцінки звичайного МНК неспроможними. Однак якщо кореляція деяких змінних з помилкою викликає сумнів, то має сенс провести тестування на екзогенні, оскільки трактування екзогенних змінних як ендогенних хоча і не призводить до втрати спроможності оцінок, але знижує їх ефективність (збільшує дисперсію, роблячи оцінки більш колеблемостью щодо їх математичного очікування) .

Тест Хаусман а - By на екзогенні влаштований таким чином. Якщо в розглянутому рівнянні є кілька змінних, екзогенних яких підлягає перевірці, то спочатку для кожної такої змінної будується інструмент. Як інструмент беруться теоретичні значення даної змінної з регресії її на зумовлені змінні (тобто з наведеної форми). Далі будується регресія пояснюється змінної вихідного рівняння на всі змінні цього рівняння і побудовані інструменти. Нульова гіпотеза полягає в тому, що всі коефіцієнти при інструментах дорівнюють нулю, альтернативна - що хоча б один з них значимо різниться від нуля. Для перевірки нульової гіпотези застосовується F-критерій Фішера. Якщо ж тестується значимість тільки одного коефіцієнта, то застосування F-критерію еквівалентно використанню t-критерію Стьюдента.

Перевіримо, чи є екзогенними змінні Y і R відповідно в першому і третьому рівняннях приклади з 4.2.1.

Розглянемо перше рівняння. У правій частині присутня одна ендогенна змінна Y і одна екзогенна змінна М. Додамо до цього рівняння інструмент Ϋ (теоретичні значення, розраховані за другим рівнянням наведеної форми) і оцінимо отримане рівняння (в дужках наведені значення p-value ):

Для перевірки екзогенні змінні У тестується гіпотеза про незначущості інструменту У. Оскільки p-value перевищує 10% -вий рівень значущості [3] , то нульова гіпотеза про екзогенні Y не відкидається. Слід зазначити, що це, однак, ще не означає, що Y - екзогенна змінна для даного рівняння. Це означає лише, що використовуються дані не суперечать гіпотезі про екзогенні змінні Y в рамках даної моделі.

Читачеві пропонується протестувати на екзогенні змінні R в третьому рівнянні, а також спробувати оцінити регресію Y на R, I, G і відповідні інструменти і переконатися в тому, що повна коллінеарність регресорів не дозволить цього зробити.

Рівняння, що здаються непов'язаними

Система може складатися з рівнянь, що здаються непов'язаними, наприклад з рівнянь, що описують попит на різні види продукції в залежності від їх цін. Якщо продукти конкуруючі (взаємозамінні) або доповнюють, то попит на них буде залежати від цін на інші продукти. Якщо ж продукти не конкурують і не доповнюють один одного, але, тим не менш, купуються в межах однієї економіки, то попит на них може відчувати загальні економічні шоки, відображені в корелюють помилках. Так що рівняння будуть здаватися абсолютно непов'язаними (наприклад, містити непересічні набори змінних), але зв'язок буде незримо присутній в корелюють помилках.

Оцінювати такі рівняння можна і окремо, але при цьому буде втрата в ефективності, викликана тим, що інформація про кореляцію помилок не враховується. Щоб отримати ефективні оцінки, потрібно об'єднати рівняння системи в одне і оцінювати його узагальненим МНК. Оцінювання є двокрокового процедуру. На першому кроці рівняння оцінюються окремо звичайним МНК, і залишки з цих регресій використовуються для оцінювання ковариационной матриці помилок. Далі на другому кроці застосовується узагальнений МНК для оцінювання об'єднаного рівняння. У лівій частині цього рівняння варто пояснюється змінна, послідовно приймає значення всіх пояснювальних змінних. У правій частині стоять всі регресорів, які теж послідовно приймають всі свої значення, якщо вони присутні в рівнянні, відповідному пояснюється змінної даного спостереження, і нуль в іншому випадку. Дана процедура дозволяє отримати заможні і асимптотично ефективні оцінки.

Описаний метод дає ідентичні зі звичайним МНК оцінки в двох випадках: коли кореляція між помилками дорівнює нулю і коли у всіх рівняннях використовуються одні й ті ж пояснюючі змінні.

Припустимо, що досліджується модель такого вигляду:

Дані два рівняння, що представляють собою обмежену версію приклади з 4.2.1, здаються непов'язаними. Однак їх помилки можуть корелювати між собою. Рівняння містять тільки існуючі (екзогенні) змінні в правій частині [4] , тому звичайний МНК дасть спроможні оцінки. Розрахуємо їх, використовуючи дані з 4.2.1 (в дужках наводяться стандартні помилки коефіцієнтів):

Якщо кореляція помилок також має місце, то ці оцінки стають неефективними.

Оцінимо цю ж систему в комп'ютерному пакеті EViews 6 з використанням St / R-методу [5] (в дужках наводяться стандартні помилки коефіцієнтів):

Як бачимо, оцінки коефіцієнтів змінилися, причому стандартні помилки знизилися. Таким чином, облік додаткової інформації про кореляцію помилок допомагає підвищити точність оцінювання.

  • [1] Завдання взята з кн .: Практикум з економетрики (+ CD): навч. посібник / І. І. Єлісєєва, С. В. Куришева, Η. М. Гордєєнко [и др.]; під ред. І. І. Єлісєєвої. 2-е изд., Перераб. і доп. М .: Фінанси і статистика, 2007..
  • [2] Дані згенеровані за допомогою надбудови "Пакет аналізу" MS Excel (див. В головному меню Сервіс => Аналіз даних => Генерація випадкових чисел).
  • [3] В даному випадку p-value = 0,1046 означає, що якщо нульова гіпотеза (про екзогенні) вірна, то абсолютні значення t-статистики, великі або рівні абсолютним значенням фактичної t-статистики (тут воно дорівнює 1,68), будуть виходити (для різних вибірок) з ймовірністю 0,1046 = 10,46%.
  • [4] Тут ми вважаємо, що змінна I екзогенних і не залежить від R (приклад умовний).
  • [5] SUR - Seemingly Unrelated Regression.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук