Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Автокорреляция рівнів динамічного ряду і характеристика його структури

При наявності тенденції в ряді динаміки рівні низки характеризуються автокореляцією, тобто кожний наступний рівень ряду залежить від попереднього. Наприклад, ціна на товар сьогодні, як правило, залежить від ціни вчорашнього дня. Кореляційний зв'язок між послідовними значеннями рівнів динамічного ряду називається автокореляцією рівнів динамічного ряду .

Для вимірювання автокорреляции рівнів динамічного ряду використовується коефіцієнт автокореляції рівнів

(5.1)

де у, - фактичні рівні динамічного ряду; у с _ Т - рівні того ж динамічного ряду, але зрушені на τ кроків у часі; τ - величина лага (зсуву в часі), що приймає значення 1,2, 3, .... і визначає порядок коефіцієнта автокореляції.

При τ = 1 розраховується коефіцієнт автокореляції першого порядку, тобто вимірюється кореляція поточних значень рівнів динамічного ряду уг з попередніми рівнями уг_г.

При τ = 2 вивчається залежність поточних рівнів ряду у, з рівнями цього ж ряду, зсунутими на 2 тимчасових кроку у , _2, тобто розраховується коефіцієнт автокореляції другого порядку, а при х = 3 - відповідно третього порядку, при X = до - коефіцієнт автокореляції к-го порядку. Чим довше динамічний ряд, тим вище може бути порядок коефіцієнта автокореляції рівнів.

Коефіцієнт автокореляції рівнів ряду практично розраховується за формулою лінійного коефіцієнта кореляції. Тому його величина змінюється в межах від -1 до +1. Чим ближче його величина , тим сильніше залежність поточних рівнів динамічного ряду від попередніх.

Якщо ряд характеризується чітко вираженою тенденцією, то для нього коефіцієнт автокореляції першого порядку наближається до +1. Так, для розглянутого раніше ряду динаміки заробітної плати працівника коефіцієнт автокореляції рівнів першого порядку склав 0,9987, демонструючи тісний зв'язок наступних рівнів ряду від попередніх.

Оскільки в прикладі розраховується коефіцієнт автокореляції першого порядку, тобто коли τ = 1, формула його розрахунку набуває вигляду

(5.2)

де у, - рівні ряду в момент часу f; yf_j - ті ж рівні ряду, але зрушені на рік, т.е.уровні ряду в момент часу (t - 1) (попередній рік).

Так як обидва ряди (у, ІУМ) для розрахунку коефіцієнта автокореляції повинні бути однакової довжини, то перше значення по ряду уг в розрахунках не бере. За нашим прикладом необхідні суми для підрахунку окремих елементів формули коефіцієнта автокореляції рівнів склали

Відповідно коефіцієнт автокореляції рівнів складе

Методика розрахунку коефіцієнтів автокореляції вищих порядків та ж, але при цьому число корелюється пар зменшується. У нашому прикладі їх вісім (ct = 2 по t = 9). Якщо ж збільшимо лаг до 2 років, тобто τ = 2, то залишиться сім корелюється пар (з t = 3 по ί = 9), при τ = 3 буде шість корелюється пар (з t = 4 по t = 9). З огляду на зменшення числа спостережень при розрахунку коефіцієнта автокореляції рівнів, збільшення величини лага не безмежно: прийнято вважати, що максимальна величина лага повинна бути не більше ніж п / 4 (n - довжина динамічного ряду). Для нашого прикладу при л = = 9 максимальна величина лага складе 2 роки (τ = 2).

Для розрахунку коефіцієнта автокореляції другого порядку складемо таблицю.

Таблиця 5.1. Розрахунок коефіцієнта автокореляції рівнів другого порядку (для ряду динаміки заробітної плати працівника)

t

y t

y t - 2

y t y t - 2

y t 2

y 2 t-2

1

2,2

-

-

-

-

2

3,2

-

-

-

-

3

4,4

2,2

9,68

19,36

4,84

4

5,5

3,2

17,6

30,25

10,24

5

6,7

4,4

29,48

44,89

19,36

6

8,6

5,5

47,3

73,96

30,25

7

10,6

6,7

71,02

112,36

44,89

8

13,6

8,6

116,96

184,96

73,96

9

17,3

10,6

183,38

299,29

112,36

2

66,70 *

41,2

475,42

765,07

295,9

* Підраховано без перших двох рядків

Так як тепер в розрахунку бере участь сім корелюється пар і , то перші два рядки табл. 5.1 не беруться до уваги. Коефіцієнти автокореляції різних порядків прийнято позначати де вказує на номер порядку коефіцієнта автокореляції. Формула розрахунку коефіцієнта автокореляції другого порядку наступна:

де

Відповідно коефіцієнт автокореляції дорівнює

У розглянутому прикладі рівні динамічного ряду мають тенденцію до зростання, і коефіцієнти автокореляції наближаються до +1. Аналогічна картина буде спостерігатися і при тенденції до зменшення рівнів динамічного ряду. Наприклад, лісовідновлення в Росії за 1995-2002 рр. характеризується тенденцією до зниження. Рівні ряду (в тис. Га) склали:

1995

1996

1 997

1 998

+1999

2000

2001

2002

1454

1110

1092

1019

964

973

960

887

Коефіцієнти автокореляції першого і другого порядків виявилися рівними η = 0,812 і г2 = 0,885, що підтверджує наявність тенденції у низці динаміки. При цьому г,> 0 і г2> 0, хоча ряд і має тенденцію до зниження. Чим тенденція по ряду динаміки більш чітка, тим ближче г, і г2 до +1.

Для стаціонарного динамічного ряду з невеликими коливаннями рівнів, рр досить близький до нуля і може приймати невелику від'ємне значення. Так, припустимо, що рівні ряду взяли наступні значення (послідовно в часі):

Коефіцієнт автокореляції першого порядку склав -0,209, а коефіцієнт автокореляції другого порядку склав 0,056.

Серію коефіцієнтів автокореляції рівнів ряду з послідовним збільшенням величини лага прийнято називати автокорреляционной функцією (АКФ).

Для стаціонарного часового ряду із збільшенням величини лага взаємозв'язок у с і y, _t слабшає і АКФ характеризується монотонним убуванням, що графічно має представляти загасаючу криву (рис. 5.7).

По стаціонарному ряду АКФ оцінюється виходячи з формули коефіцієнта автокореляції

(5.3)

де n - довжина часового ряду ; τ -Тимчасові зрушення; - Середня арифметична з вихідного ряду .

У нашому прикладі АКФ для стаціонарного ряду склала: г, = -0,209; г 2 = 0,056; Г3 = -0,114; г4 - -0,356; г5 = 0,057; г6 = -0,074; г7 = -0,003. Однак при обмеженій довжині динамічного ряду поведінку АКФ у вигляді рис. 5.7 не завжди дотримується.

АКФ дає уявлення про внутрішню структуру динамічного ряду. За допомогою АКФ можна визначити наявність або відсутність в ряду динаміки періодичних коливань і відповідно величину періоду коливань: вона дорівнює тій величині лага τ, при якій коефіцієнт автокореляції рівнів найбільший.

Припустимо, що обсяг продажів товару за 18 міс. характеризують наступним чином (рис. 5.8).

Графік показує наявність тенденції, а також періодичних коливань. Це підтверджує і АКФ:

коррелограмм АКФ

Мал. 5.7. коррелограмм АКФ

Динаміка обсягу продажів

Мал. 5.8 . Динаміка обсягу продажів

Досить високе значення коефіцієнта автокореляції першого порядку (Г] = 0,863) означає наявність тенденції в ряді динаміки. Разом з тим максимальне значення коефіцієнта автокореляції спостерігається при лагу 3 і кратному йому лагу 6, тобто для ряду характерна регулярна коливання рівнів через 3 міс .: підйом протягом 3 міс. змінюється спадом в наступний місяць. Іншими словами, хвилеподібна зміна обсягу продажів повторюється через 3 міс., Що і демонструє АКФ. Для динамічного ряду з монотонною тенденцією до зростання (або зменшення) рівнів АКФ має значення, близькі до +1, які повільно знижуються зі зростанням величини лага. Наприклад, за 60 кварталів динаміка обсягу продажів характеризувалася рівнянням тренда

де у - обсяг продажів в тис. руб .;

Коефіцієнт детермінації для нього склав 0,973, характеризуючи гарна якість опису тенденції ряду: відхилення фактичних рівнів ряду від теоретичних, обумовлених тенденцією, складають всього 2,7%. АКФ для даного ряду виявилася такою: rj = 0,991; г2 = 0,984; Г3 = 0,980; г4 = = 0,979; г5 = 0,973; г6 = 0,968; г7 = 0,963; г8 = 0,965; г9 = 0,963; Гю = 0,962; ги = 0,959; г12 = 0,957; Г13 = 0,952; Г14 = 0,955; Г15 = 0,943.

Якщо ряд характеризується зміною тенденцій, то АКФ прийме значення, стрімко зменшуються зі зростанням величини лага, супроводжувані іноді зміною знака коефіцієнта автокореляції. Так, наприклад динамічний ряд описується параболою другого порядку (рис. 5.9).

АКФ виявляється такою:

лаг

r

коррелограмм

-1

0

+ 1

1

0,887

ххххххххх

2

0,535

ххххх

3

0,192

xx

4

-0,104

x

5

-0,350

хххх

Тренд у вигляді параболи другого ступеня

Мал. 5.9. Тренд у вигляді параболи другого ступеня

Схожа ситуація має місце, наприклад, при аналізі динаміки числа поранених в ДТП (на 100 тис. Чоловік населення) за 1999-2008 рр. по Тюменській області. Тенденція описується параболою виду = 80,537 + 45,756t- 3,5053г2. Коефіцієнти автокореляції рівнів зі збільшенням величини лага склали: 0,831; 0,588; 0,179; -0,544.

Іншими словами, знання АКФ може допомогти при підборі моделі розглянутого динамічного ряду.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук