Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

,3. Моделі тенденції розвитку

Загальна характеристика моделей тенденції

Закономірність зміни рівнів динамічного ряду в часі може бути представлена ​​у вигляді моделі тенденції. При її побудові рівні динамічного ряду розглядаються як функція часу t і випадкової компоненти ξ. Тоді модель рівня динамічного ряду можна представити у вигляді

(5.4)

де - фактичний рівень динамічного ряду в період часу Г; - Середній рівень динамічного ряду за весь період часу; - Теоретичний рівень динамічного ряду, обумовлений тенденцією розвитку, тобто тренд ряду.

У цій моделі характеризує ефект тенденції, а - випадкову складову ξ. З огляду на те, що , дану модель рівня часового ряду можна представити у вигляді

(5.5)

де - модель тенденції, коли рівні ряду розглядаються як функція часу t: .

Абсолютно ясно, що практична значущість моделі тенденції буде тим вище, чим менше будуть залишкові коливання (випадкова складова ).

Побудова моделі тенденції (рівняння тренда) включає в себе наступні етапи роботи:

  • - Вибір математичної функції, яка описує тенденцію;
  • - Оцінку параметрів моделі;
  • - Перевірку адекватності обраної функції і оцінку точності моделі;
  • - Розрахунок точкового та інтервального прогнозів.

В даний час комп'ютерні програми аналізу часових рядів містять досить широкий набір математичних функцій для побудови рівняння тренда. Все різноманіття їх можна звести в три групи:

  • - Функції з монотонним характером зростання (зменшення) і відсутністю меж зростання (зниження);
  • - Криві з насиченням, тобто встановлюється нижня або верхня межа зміни рівнів ряду;
  • - S-образні криві, тобто криві з насиченням, що мають точку перегину.

В першу групу функцій входять поліноми до го ступеня

(5.6)

При к = 1 отримуємо лінійний тренд: y t = a який часто записують як у с = а И.

За змістом лінійний тренд означає, що рівні динамічного ряду змінюються з однаковою швидкістю, тобто з рівним абсолютним приростом (параметр <Ь "), В цьому можна переконатися, підставляючи в рівняння лінійного тренду порядкові значення t (1, 2, 3, ..., к): теоретичні рівні ряду у (змінюватимуться на величину параметра Ь, тобто в арифметичній прогресії.

Наприклад, рівняння тренда для індексів споживчих цін за 12 міс. року склало: у ( = 99,9 + l, 9t, де f = 1, 2, 12. З рівняння очевидно, що щомісяця ціни зростали в середньому на 1,9 процентних пункту.

При к = 2 отримуємо параболу другого ступеня

(5.7)

Ця функція рекомендується для моделювання тенденції, якщо часовий ряд характеризується постійним абсолютним прискоренням, тобто постійними є другі різниці (прирости абсолютних приростів). У цьому випадку швидкість ряду змінюється лінійно:

t

0

1

2

3

4

5

Як бачимо, параметр а означає початковий рівень ряду динаміки при t = 0. Параметр b х являє собою середній абсолютний приріст за весь період часу, якщо t позначено так, що Σι = 0 (при позначенні t у вигляді ряду натуральних чисел, що найбільш поширене при комп'ютерній обробці, параметр b г такої інтерпретації не має). Параметр Ь 2 характеризує половину абсолютного прискорення динамічного ряду.

Наприклад, динаміка чисельності дітей у віці 7 років характеризується по району за останні 15 років рівнянням тренда

де у - тис. осіб;

Отже, щорічно чисельність дітей скорочується в середньому з прискоренням в 3,2 тис. Осіб.

При к = 3 маємо параболу третього ступеня

(5.8)

Цей вид тренда передбачає, що з тимчасового ряду стабільні треті різниці , тобто прирости друге приростів , а абсолютні прискорення мають лінійну тенденцію:

t

0

1

2

3

4

5

Поліноми високих ступенів вимагають досить довгих динамічних рядів, щоб параметри тренда були статистично надійними: на кожен параметр при 1 повинно припадати не менше 6-7 тимчасових одиниць. Отже, парабола вже третього ступеня повинна містити не менше 20 років (якщо рівні ряду представлені по роках), що передбачає досить стабільну економіку.

Найчастіше віддають перевагу функціям з меншим числом параметрів. Серед них широке застосування знаходить показова функція

(5.9)

або рівносильна їй експонента

(5.10)

які характеризуються стабільним коефіцієнтом (темпом) зростання:

t

1

2

3

4

5

y = ab '

ab

ab 2

ab 3

ab 4

ab 5

коефіцієнт зростання

-

b

b

b

b

Наприклад, за ряд років динаміка прибутку характеризується рівнянням виду y t = 13,5 1,5 ', • де t = 1,2, Отже, щорічно прибуток зростає в середньому на 50% (коефіцієнт зростання 1,5). Даний тренд у вигляді експоненти прийме вираз у = е2'603 + 0'405 ', де е2,603 = 13,5 і е0'405 = 1,5. Зростання по експоненті означає геометричну прогресію рівнів динамічного ряду, що в економіці можливо порівняно невеликий період часу (обмежені ресурси, змінюються умови ринку).

Якщо стабільними виявляються коефіцієнти випередження темпів зростання, то динамічний ряд може бути описаний логарифмічною параболою

(5.11)

Свою назву ця функція отримала з огляду на те, що прологаріфміровав її, отримаємо параболу другого ступеня

Для цієї функції темпи зростання змінюються в одне і те ж число раз (с2):

t

Коефіцієнт зростання до {

Коефіцієнт випередження (fe, /

1

2

3

4

5

Наприклад, дебіторська заборгованість за ряд років характеризується рівнянням y t = 1,47 1,30Γ • l, 05f. Отже, має місце прискорене збільшення дебіторської заборгованості з коефіцієнтом випередження темпів зростання 1,052, тобто 1,1025. Іншими словами, темпи зростання щороку зростали в середньому в 1,1025 рази.

При моделюванні тенденції використовуються і інші функції, які приводяться до лінійного вигляду. Так, при уповільненому зростанні рівнів ряду може використовуватися напівлогарифмічний крива

(5.12)

У 1990-і рр. по цій функції розвивалося в країні споживання картоплі.

Припускаючи різну міру пропорційності змін рівнів у часі, може бути використана статечна функція

(5.13)

При b > 0 вона характеризує безперервне зростання рівнів з падаючими темпами зростання, а при b <0 - їх прискорене зниження. Величина t b означає базисний коефіцієнт зростання:

t

y = at b

Базисний коефіцієнт зростання

1

а

1

2

a2 b

2b

3

a3 b

3b

4

а4 ь

4b

5

а5 ь

5b

Тому статечна функція практично повідомляє про величину середнього коефіцієнта зростання

(5.14)

Наприклад, забезпеченість міського населення республіки Комі житлом (м2 загальної площі на людину) за 1990-1999 рр. характеризувалася рівнянням виду у, = 15,876t0,08, де t = 1, 2,10. Отже, за весь період забезпеченість населення житлом виросла в 1,202 рази ( ΙΟ 0,08 ) , тобто щорічно вона зростала в середньому на 2,07% (К = ^ 1,202 1,027>)

До кривим з насиченням можна віднести гіперболи виду

(5.15)

(5.16)

Рівнобічна гіпербола при b> 0 означає, що рівні ряду знижуються в часі і асимптотично наближаються до параметру а.

Наприклад, індекси споживчих цін (грудень до грудня попереднього року) за 1998-2003 рр. по Росії змінювалися по гіперболі виду

Рівняння характеризує падаючу тенденцію індексу споживчих цін (ІСЦ), при якій ІСЦ не може бути менше 95,6%. Тренд описує 99% варіації ІСЦ і лише 1% її пов'язаний з дією випадкових факторів.

Якщо b <0, то рівняння тренда характеризує тенденцію до зростання рівнів ряду з асимптотической кордоном рівній параметру "а". Так, чисельність чоловіків старше працездатного віку в Санкт-Петербурзі за 1979-1995 рр. характеризувалася підвищується тенденцією: , з якої випливає, що чисельність чоловіків цієї вікової категорії за даний період не перевищувала 296,9 тис. осіб. Цей максимум витримувався і для 1996 і 1997 рр., А в 1998 році він перевищив цю величину, склавши 303,1 тис. Осіб.

Гіпербола при b> 0 і з> 0 завжди характеризує падаючу тенденцію з нижньої асимптотой, рівній параметру а. При b <0 дана крива означає зростання рівнів ряду, який відбувається до певної межі, описуваного параметром а. Вже згадана гіпербола передбачає більш плавне уповільнення зміни рівнів, ніж рівнобічна гіпербола /

Серед гіпербол нерідко використовується так звана зворотна функція . Свою назву вона отримала в зв'язку з тим, що при зведенні її до лінійного вигляду використовуються зворотні значення у, тобто . Слід зазначити, що якщо має економічний сенс, то параметри даної функції інтерпретуються аналогічно лінійному тренду. Наприклад, припустимо, що динаміка трудомісткості продукції у характеризується рівнянням . Воно означає зниження трудомісткості і зростання продуктивності праці на 2 од. В інших випадках параметри оберненої функції економічно інтерпретуються.

При b> 0 ряд характеризується знижується тенденцією, а при b <0 - підвищується.

Серед кривих з насиченням може використовуватися модифікована експонента

(5.17)

де с - асимптота (верхня для функції у = з ab ' і нижня для функції у = з ab'). Так, при вивченні тенденції зростання рівня механізації праці доцільно враховувати обмеження зростання (показник рівня механізації праці не може бути більше 100%). Якщо вивчається динаміка дитячої смертності, то можна встановити нижню асимптоту, тобто мінімальне значення дитячої смертності виходячи з досягнутих умов життя.

Модифікована експонента характеризується постійним відношенням послідовних в часі приростів. Величина цього відношення дорівнює параметру b :

t

0

1

2

3

4

Так, модифікована експонента зростання рівня механізації праці у с = 100 12,7 • 0,895 'означає, що щорічно швидкість ряду знижується в 0,895 раз або на 10,5%. Верхня межа рівня механізації праці 100%.

Величина (100-у) характеризує рівень використання ручної праці. Тому в рівнянні інтерпретується і параметр а: а = 12,7% означає початковий рівень ручної праці. Відповідно 87,3% складе початковий рівень механізованого праці.

Модифікована експонента служить базовою кривою для інших кривих з насиченням, а саме S-образних кривих: логістичною кривою і кривою Гомперца. Тенденція розвитку явища в S-образних кривих охоплює три етапи: спочатку досить повільне зростання, який потім прискорюється, далі змінюється зменшенням зростання і наближенням рівня ряду до граничного значення, тобто до рівня насичення.

Якщо в модифікованої експоненті замість / ввести зворотний величину •, то отримаємо логістичну криву виду

(5.18)

яку називають кривою Перла - Ріда. У ній верхня асимптота складе величину (рис. 5.10).

Точка перегину у цій кривій дорівнює . Значення у в точці перегину одно . При практичних розрахунках дослідник може не мати в повному вигляді S-подібну криву. Тоді точка перегину знаходиться за межами спостережуваних величин рівнів ряду. У цьому випадку верхня асимптота є теоретичним максимумом і орієнтуватися на нього в подальшому прогнозі досить проблематично.

Однак частіше сьогодні застосовується логістична крива виду

(5.19)

де с - верхня асимптота; b і а - параметри функції; е - основа натурального логарифма.

Логістична крива Перла - Ріда

Мал. 5.10. Логістична крива Перла - Ріда

Механізм розвитку виробництва нових товарів описується іноді цієї кривої.

Г. Тінтнер [1] застосував цю функцію для опису тенденції зростання чисельності населення Швеції за 100 років по десятирічним інтервалах з 1850 по 1950 р .:

Відповідно до цієї кривої верхня асимптота зростання чисельності населення Швеції склала 10 328 806 чоловік (за даними статистики в 2005 р населення Швеції становила 9,0 млн осіб).

Максимальне значення показника з відповідає на графіку відрізку кривої, паралельного осі абсцис. Мінімальне значення функції, рівне нулю при t, яка прагне , зазвичай відсутня при використанні моделі тенденції в прогнозних розрахунках.

До класу S-образних кривих відноситься також крива Гомперца

(5.20)

Вона знайшла застосування в страхових розрахунках і екстраполяції чисельності населення.

Верхня асимптота відповідає значенню параметра с, а нижня дорівнює нулю, якщо ln α <0 (рис. 5.11, 5.12).

Якщо ln α> 0, то крива має нижню асимптоту, рівну величині параметра с (рис. 5.13, 5.14).

Крива Гомперца заснована на модифікованій експоненті. Прологаріфміровав рівняння кривої Гомперца, отримаємо після заміни змінних рівняння модифікованої експоненти

Крива Гомперца при ln α <0;  b <1

Мал. 5.11. Крива Гомперца при ln α <0; b <1

Крива Гомперца при lnα <0;  b> 1

Мал. 5.12. Крива Гомперца при ln α <0; b > 1

Параметр з 'буде характеризувати рівень насичення. Точкою перегину даної кривої буде точка

зі значенням функції, де е - основа натурального логарифма.

Крива Гомперца при ln α> 0;  b <1

Мал. 5.13. Крива Гомперца при ln α> 0; b <1

Крива Гомперца при ln α> 0;  b> 1

Мал. 5.14. Крива Гомперца при ln α> 0; b > 1

Наприклад, витрати на будівництво автомобільних доріг описані в роботі К. Д. Льюїс [2] у вигляді кривої Гомперца y t = 4644,5 0,09614350,931761. Рівняння тренду показує граничне значення витрат 4644,5 ден. од. Точка перегину становить 12 років; їй відповідають витрати в 1708,6 ден. од. Далі приріст витрат поступово падає.

  • [1] Тінтнер Г. Введення в економетрію: пров. з нім. M .: Статистика. 1965. С. 291.
  • [2] Льюїс К. Д. Методи прогнозування економічних показників: пров. з англ. М .: Фінанси і статистика. 1986. С. 111-112.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук