Оцінка параметрів рівняння тренду

При використанні поліномів різних ступенів оцінка параметрів рівняння тренду проводиться методом найменших квадратів (МНК) точно так же, як оцінки параметрів рівняння регресії на основі просторових даних. В якості залежної змінної розглядаються рівні динамічного ряду, а в якості незалежної змінної - фактор часу t, який зазвичай виражається поруч натуральних чисел 1, 2, ..., п.

Оцінка параметрів нелінійних функцій проводиться МНК після лінеаризації, тобто приведення їх до лінійного вигляду. Розглянемо застосування МНК для деяких нелінійних функцій, які викладалися докладно в розділі, присвяченому регресії.

Для оцінки параметрів показовою кривою у = ab 1 або експоненти у = е а + и (або у = ае и ) шляхом логарифмування функції приводяться до лінійного вигляду lny = ln a + t ln b або експоненти: lny = a + bt. Далі будується система нормальних рівнянь

(5.21)

приклад 5.1

Число зареєстрованих ДТП (на 100 000 чоловік населення) по Новгородської області за 2000-2008 рр. характеризується даними:

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

105,7

105,3

156

158,1

160,1

178

191,5

274,6

287,3

Виходячи з графіка була обрана показова крива / Для побудови системи нормальних рівнянь були розраховані допоміжні величини

Система нормальних рівнянь склала

Вирішуючи її, отримаємо значення

Відповідно маємо експоненту або показову криву

За період з 2000 по 2008 р число дорожньо-транспортних пригод зростала в середньому щорічно на 13,5%. Експонента досить добре описує тенденцію вихідного часового ряду: коефіцієнт детермінації склав 0,9202. Отже, даний тренд пояснює 92% коливання рівнів ряду і лише 8% її пов'язані з випадковими чинниками.

Деяку специфіку має оцінка параметрів кривих з насиченням: модифікаційною експоненти, логістичної кривої, кривої Гомперца, гіперболи виду За цих функцій повинна бути спочатку визначена асимптота. Якщо вона може бути задана дослідником на основі аналізу часового ряду, то інші параметри можуть бути оцінені по МНК. У цих випадках дані функції приводяться до лінійного вигляду. Розглянемо оцінку параметрів цих кривих на окремих прикладах, починаючи з модифікованої експоненти.

приклад 5.2

Рівень механізації праці (у%) характеризується динамічним рядом (табл. 5.2)

Таблиця 5.2. Розрахунок параметрів модифікованої експоненти у = з ab ' t

роки

У

У = з-у

1пУ

t

ІПУ

t2

У.

2001

82

18

2,890

1

2,890

1

82,4

2002

85

15

2,708

2

5,416

4

85,6

2003

89

11

2,399

3

7,197

9

88,2

2004

91

9

2,197

4

8,788

16

90,3

2005

92

8

2,079

5

10,395

25

92,0

2006

93

7

1,946

6

11,676

36

93,5

2007

94

6

1,792

7

12,544

49

94,6

2008

96

4

1,386

8

11,088

64

95,6

Σ

722

-

17,397

36

69,994

204

722,2

Так як рівень механізації праці не може перевищувати 100%, то є об'єктивно задана верхня асимптота з = 100. Для оцінки параметрів а і b наведемо розглянуту функцію до лінійного вигляду ; позначимо (з-у) через Y і прологарифмируем:

Далі застосуємо МНК і отримаємо систему нормальних рівнянь

Для нашого прикладу, виходячи з даних підсумкового рядка табл. 3, маємо систему рівнянь

Вирішивши її, отримаємо ln а = 3,06311; ln b = -0,19744. Відповідно потенціюючи, отримаємо: тобто рівняння .

Якщо перейти від Y до вихідних рівнями ряду, рівняння модифікованої експоненти складе , де параметр показує середній коефіцієнт зниження рівня використання ручної праці за 1998-2005 рр. Розрахункові значення у, тобто можуть бути знайдені шляхом підстановки в рівняння 0,8208 'відповідних значень t. Або на основі рівняння In 7 = 3,06311 - 0,19744 г при комп'ютерній обробці визначається In У і далі 100 - е 1пу. Так, при t = 8 In Y = = 1,48363 і 100 - e1'48363 = 100 - 4,40892 = 95,59108 = 95,6 (див. Останню графу таблиці). З огляду на деякий зсув оцінок (так як МНК застосовується до логарифмам) Ху, Ф Ху ,, хоча в прикладі ці величини досить близькі один одному.

Якщо асимптота з не задана, то оцінка параметрів модифікованої експоненти ускладнюється. У цих випадках можуть використовуватися різні методи оцінювання: метод трьох сум, метод трьох точок [1] , за допомогою регресії [2] , метод Бріанта [3] . Розглянемо застосування методу регресії для оцінки параметрів модифікованої експоненти виду у = с - ab c.

приклад 5.3

У таблиці представлені дані про витрати підприємства на рекламу за 10 міс. року.

Таблиця 5.3. Дані про витрати підприємства на рекламу за 10 міс. року (в тис. руб.)

t

У

Z

lnz

t-1

З

1

121

516,3118

2

196

75

4,317488

1

516,8105

3

256

60

4,094345

2

516,3499

4

305

49

3,89182

3

516,2838

5

345

40

3,688879

4

516,4648

6

377

32

3,465736

5

516,1502

7

403

26

3,258097

6

515,9256

8

425

22

3,091042

7

516,6434

9

442

17

2,833213

8

516,3721

10

456

14

2,639057

9

516,3558

Знайдемо на нашу ряду ланцюгові абсолютні пріростиг і представимо їх через параметри нашої функції, Tez = c-ab ' - з + ab' ~ l = ab ' 1 (1 - b). Відомо, що для модифікованої експоненти логарифм абсолютних приростів лінійно залежить від фактора часу t. Отже, можна записати, що lnz = Ιηα + (f - 1) lnb + ln (l - b). Позначимо Ιηα + ln (l - b) через d. Тоді lnz = d + (t- 1) lnb, тобто лінійне в логарифмах рівняння. Застосовуючи МНК, отримаємо оцінки параметрів d, lnb, а відповідно і параметра Ь. У розглянутому прикладі на підставі граф табл. 5.3 lnz і (t - 1) було знайдено рівняння регресії: lnz = 4,519641 - 0,20882 (t - 1). Виходячи з нього отримуємо lnb = -0,20882; b = 0,811538. 4,519641 = In a + In (1 - b) = In [α (1 - b)]. Тоді α (1 - b) = e4,519641, звідки параметра = 91,80264 / (1-0,811538) = 487,1145.

Далі можна знайти оцінку параметра з як середнє значення з величин з = у + ab ', знайдених для кожного місяця (див. Останню графу табл. 5.3). Гранична величина витрат на рекламу складе 516,4 тис. Руб. Шукане рівняння тренда набуде вигляду

Розглянутий метод можна застосовувати, якщо абсолютні прирости - величини позитивні. Якщо ж деякі прирости виявляться менше нуля, то потрібно проводити згладжування рівнів часового ряду методом ковзної середньої.

Для логістичної кривої Перла - Ріда аналогічно параметри а і b можуть бути знайдені МНК, якщо асимптота з задана. Тоді дана функція перетворюється в лінійну з логарифмів позначимо через Y і прологарифмируем, тобто ). Далі параметри а і b визначаються МНК, як і в прикладі з табл. 5.3.

Для логістичної кривої виду параметри а і b можуть бути оцінені МНК, якщо асимптота з задана, так як в цьому випадку функція лінеарізуема: ; позначимо через Y величину і прологарифмируем: Далі, застосовуючи МНК, оцінюємо параметри а і b.

При практичних розрахунках значення верхньої асимптоти логістичної кривої може бути визначено виходячи із суті розвитку явища, різного роду обмежень для його зростання (нормативи споживання, законодавчі акти), а також графічно.

Якщо верхня асимптота не задана, то для оцінки параметрів можуть використовуватися різні методи: Фішера, Юла, Родса, Нейра і ін. Порівняльна оцінка і огляд цих методів викладені в роботі E. М. Четиркін [4] .

Покажемо на прикладі розрахунок параметрів логістичної кривої за методом Фішера.

приклад 5.4

Виробництво продукції характеризується даними, представленими в табл. 5.4.

Таблиця 5.4. Розрахунок параметрів логістичної кривої

t

1

12

-

32,583

3,484

12,2

2

28

0,788

13,393

2,595

26,2

3

58

0,661

5,948

1,783

54,3

4

105

0,572

2,838

1,043

104,2

5

182

0,453

1,214

0,194

176,8

6

260

0,282

0,55

-0,598

256,4

7

320

0,163

0,259

-1,349

321,0

8

360

0,086

0,119

-2,125

361,7

9

380

-

0,061

-2,805

383,5

Σ

1705

-

-

2,222

1696,3

Метод Фішера заснований на визначенні похідної для логістичної кривої . Диференціюючи цю функцію по t, отримаємо рівняння

Позначимо темп приросту логістичної кривої через . Тоді , тобто для z, маємо лінійну функцію з параметрами а і . Щоб знайти рішення, необхідно оцінити z ,. Припускаючи, що інтервали між рівнями ряду динаміки рівні, Фішер запропонував наближено оцінювати у вигляді рівняння , де п - 1. Для нашого прикладу значення z, представлені в графі 3 табл. 5.4. Далі застосовуємо МНК до рівняння: , тобто будуємо регресію z (ОТУ (, беручи дані від t = 2 до f = 8. Рівняння регресії запишеться у вигляді Виходячи з нього знаходимо параметри а і з для логістичної кривої. Параметр а = 0,806. Дане рівняння статистично значимо: F-критерій дорівнює 689 , 6; R 2 = 0,996. Відповідно для нього значущі і параметри: f-критерій для параметра а дорівнює 47,2 і для параметра - дорівнює -26,2. Так як , то і тобто верхня асимптота виробництва продукції становить 403 од.

Після того, як знайдені параметри а і с, знаходимо параметр b . Для цього функцію представимо як Позначимо через Y вираз в лівій частині рівності, тобто .-Тоді маємо рівняння Прологаріфміруем його: . У цьому рівнянні вільним членом є In Ь. Його можна визначити з першого рівняння системи нормальних рівнянь, а саме Для нашого прикладу маємо рівняння . Відповідно Таким чином, логістична крива запишеться у вигляді

Теоретичні значення даної функції представлені в графі 6 табл. 5.4 (знайдено шляхом підстановки відповідних значень t). Вони досить близько підходять до вихідних даних: коефіцієнт кореляції між ними дорівнює 0,999; з огляду на те, що в розрахунках використовувалися логарифми. Якщо припустити, що граничне значення обсягу виробництва продукції дорівнює 400 од., Тобто застосувати МНК до рівняння , то отримаємо і b = = 67,5; параметр а при комп'ютерній обробці визначається як -а = -0,8. Відповідно рівняння тренду запишеться у вигляді . Результати двох рівнянь досить близькі.

Параметри кривої Гомперца також можуть бути оцінені МНК, якщо асимптота з задана, так як в цьому випадку дана функція зводиться до лінійного вигляду Прологаріфміровав її, отримаємо рівняння .

Вдруге прологаріфміровав, отримаємо рівняння , Позначивши через у *, lgb через В і Ig (lga) через А, запишемо криву Гомперца в лінійному вигляді , для оцінки параметрів якої застосуємо МНК.

При практичному застосуванні кривої Гомперца можуть виникнути деякі складності по динамічному ряду з зростаючій тенденцією. В цьому випадку задається верхня асимптота з і логарифми При повторному логарифмування в розрахунках використовуються лише позитивні значення Продемонструємо можливість оцінки параметрів кривої Гомперца з верхньої асимптотой на прикладі динаміки по підприємству товарних запасів на початок кожного місяця (тис. Дол.).

Таблиця 5.5. Розрахунок параметрів кривої Гомперца

t

y

1

50

0,2

-0,69897

0,69897

-0,15554

44,75

2

80

0,32

-0,49485

0,49485

-0,30553

76,87

3

114

0,456

-0,34104

0,341035

-0,4672

111,38

4

144

0,576

-0,23958

0,239578

-0,62055

143,63

5

170

0,68

-0,16749

0,167491

-0,77601

170,98

6

190

0,76

-0,11919

0,119186

-0,92377

192,68

7

207

0,828

-0,08197

0,08197

-1,08635

209,12

8

219

0,876

-0,0575

0,057496

-1,24036

221,20

9

228

0,912

-0,04001

0,040005

-1,39788

229,88

10

234

0,936

-0,02872

0,028724

-1,54175

236,03

11

242

0,968

-0,01412

0,014125

-1,85002

240,33

12

244

0,976

-0,01055

0,01055

-1,97674

243,33

Виходячи з економічних міркувань про недоцільність надмірного збільшення запасів висунута гіпотеза, що верхня асимптота не перевищить 250 тис. Дол., Тобто в прикладі з = 250.

Використовуючи дані передостанній графи табл. 5.5 і застосовуючи МНК, отримаємо рівняння , в якому параметри виражені в логарифмах

. Далі переходимо до шуканим параметрам ;; b. Потенціюючи, визначимо параметр . Аналогічно визначимо і для оцінки парамеграа потенціюючи величину . Відповідно отримаємо, що , і крива Гомперца набуде вигляду

Розрахункові (теоретичні) значення для цієї кривої наведені в останній графі табл. 5.5. У розглянутому прикладі верхня асимптота може бути визначена методом регресії аналогічно, як і для модифікованої експоненти. З цією метою необхідно перетворити криву Гомперца. Прологаріфміруем рівняння

і отримаємо модифіковану експоненту , де Далі знайдемо абсолютні прирости і висловимо їх через параметри модифікованої експоненти

Знову прологаріфміровав цей вислів, прийдемо до вираження Висловивши в ньому lnА + через d, отримаємо вираз тобто лінійне в логарифмах рівняння, в якому параметри d і b можуть бути оцінені МНК. У нашому прикладі рівняння набирає вигляду

Звідси

Параметр . Відповідно і параметр

Знаючи параметри аіЬ, знайдемо для кожного рядка таблиці параметр С як . Далі оцінимо середнє значення С і на його основі визначимо верхню асимптоту Для нашого прикладу параметр , що практично співпало з висунутої раніше гіпотезою. Крива Гомперца в цьому варіанті розрахунків набуде вигляду Деяку специфіку має також оцінка параметрів гіперболи виду . Якщо асимптота а задана (наприклад, виходячи з графіка часового ряду), то розглянута функція досить легко перетворюється в лінійний вид, що дозволяє по МНК оцінити параметри b та с. Перетворення гіперболи в лінійну функцію зводиться до наступного. Позначимо через У; тобто . Тоді маємо рівняння , Замінимо на z, отримаємо звідки . Далі традиційно знайдемо оцінку параметрів b і с. Якщо асимптота а не задана заздалегідь, то розглянута гіпербола може бути зведена до лінійної регресії, що дозволяє оцінити її параметри по МНК.

З рівняння випливає, що або . У цій рівності ty являє собою при розрахунках ряд значень , які позначимо через У. Тоді маємо . Далі позначимо через А і отримаємо лінійну множинну регресії: , в якій параметри А, а, з можуть бути знайдені за МНК. Далі можна оцінити параметр b як . Якщо в першому варіанті розрахунків асимптота а була задана правильно, то обидва методи дають однакові оцінки параметрів. Однак другий підхід кращий, бо його результати не залежать від суб'єктивізму дослідника. Разом з тим слід зазначити, що ускладнення формули гіперболи не завжди призводить до кращих результатів, ніж опис тенденції за допомогою рівносторонній гіперболи параметри якої можна оцінити по МНК.

  • [1] Четиркін E. М. Статистичні методи прогнозування. М .: Статистика. 1975. С. 114-122.
  • [2] Там же. С. 125-130.
  • [3] Льюїс К. Д. Указ. соч. С. 107-109.
  • [4] Четиркін E. М. Указ. соч. С. 126-133.
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >