Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Тести на наявність автокореляції залишків першого порядку

Перевірка моделі на автокоррелірованность залишків зазвичай проводиться за допомогою критерію Дарбіна - Уотсона. Передбачається, що при наявності автокореляції залишків правильне співвідношення

(5.24)

де - коефіцієнт автокореляції залишків; - Незалежні випадкові величини. Якщо , то відсутній автокорреляция залишків і оцінка параметрів МНК є найкращою лінійної несмещенной оцінкою (НЛНО). Якщо , то оцінка параметрів МНК є зміщеною і висновки, враховуючи модель не коректні. Таким чином, при тестуванні на автокореляції залишків висувається нульова гіпотеза Н 0 : р = 0 проти альтернативної гіпотези .

Статистика Дарбіна - Уотсона визначається співвідношенням

(5.25)

Критерій Дарбіна - Уотсона і коефіцієнт автокореляції залишків пов'язані між собою співвідношенням

(5.26)

Переконатися в цьому можна, якщо перетворимо формулу коефіцієнта автокореляції залишків і розкриємо чисельник формули критерію Дарбіна - Уотсона.

Параметри рівняння тренда зазвичай оценіваютсяМНК і відповідно до передумовами МНК і .

Оскільки ряд зрушать по відношенню до ряду на один часовий інтервал, то варіації в цих рядах мало відрізняються один від одного і можна припустити, що . Тоді коефіцієнт автокореляції залишків можна представити в наступному вигляді:

(5.27)

Дана формула є наближеною, бо якщо і сильно розрізняються між собою, то і .

Для нашого прикладу маємо співвідношення

Відповідно коефіцієнт автокореляції залишків виявиться рівним

що трохи нижче знайденого раніше значення (0,627824), але також демонструє помітний зв'язок сусідніх величин залишків, тобто їх автокореляції.

Далі перетворимо формулу критерію Дарбіна - Уотсона

Розділимо кожний доданок чисельника на і припустимо, що :

При більшій кількості спостережень значно менше . Тому наближено можна вважати, що . З цього співвідношення очевидно, що при повній позитивної автокореляції залишків критерій DW = 0, а при повній негативній автокорреляции критерій . Якщо ж автокорреляция в залишках відсутня, тобто , То . Іншими словами критерій Дарбіна - Уотсона змінюється в межах:

Дарбін і Уотсон розробили порогові значення показника DW, що дозволяють прийняти або відкинути гіпотезу про відсутність автокореляції в залишках.

При заданому числі спостережень п (довжина динамічного ряду) і т параметрів при г в рівнянні тренду (або т пояснюють змінних в рівнянні регресії) встановлені при 5% -му рівні значущості верхня і нижня межі критерію.

Фактичне значення критерію порівнюється з табличними значеннями. Якщо , то можливі наступні варіанти:

  • 1) при (нижньої межі) нульова гіпотеза про відсутність автокореляції відкидається і робиться висновок про наявність позитивної автокореляції в залишках;
  • 2) при (верхньої межі) нульова гіпотеза про відсутність автокореляції не відкидається, тобто робиться висновок про відсутність кореляційної зв'язку наступних залишків з попередніми;
  • 3) при не можна ні відкинути, ні прийняти нульову гіпотезу про відсутність автокореляції в залишках, т.е.значеніе потрапило в область невизначеності і необхідні подальші дослідження, наприклад по більшій кількості спостережень.

Якщо фактичне значення , що означає негативну автокореляції, то з граничними табличними значеннями порівнюється величина

При цьому можливі наступні варіанти:

  • 1) при відкидається нульова гіпотеза про відсутність автокореляції і робиться висновок про наявність негативної автокореляції в залишках;
  • 2) при нульова гіпотеза про відсутність автокореляції в залишках приймається;
  • 3) при не можна зробити певного висновку про наявність чи відсутність автокореляції в залишках за наявними даними.

За величиною критерію Дарбіна - Уотсона можна визначити величину коефіцієнта автокореляції залишків виходячи зі співвідношення: . Звідси і відповідно . Тому якщо , то , а при маємо .

Таким чином, якщо фактичне значення критерію Дарбіна - Уотсона не надто відрізняється від 2, то можна зробити висновок про відсутність автокореляції в залишках. Використання критерію Дарбіна - Уотсона можна показати графічно (рис. 5.15).

Схема застосування критерію Дарбіна - Уотсона

Мал. 5.15. Схема застосування критерію Дарбіна - Уотсона

Звернемося до розглянутого раніше прикладу і знайдемо критерій Дарбіна - Уотсона, використовуючи формулу (5.25):

У прикладі ;

При і . Фактичне значення критерію менше його нижньої межі, що підтверджує висновок про наявність в залишках автокорреляции і означає поганий вибір моделі тенденції.

За тимчасовим рядах економічних даних автокорреляция залишків найчастіше буває позитивною, тобто зберігається знак залишку при переході до наступного періоду часу (за позитивними залишками слідують в основному позитивні, а за негативними - негативні). В цьому випадку альтернативна гіпотеза припускає, що . Разом з тим може мати місце і негативна автокорреляция, коли позитивні і негативні залишки чергуються.

Припустимо, що динаміка простроченої заборгованості за 12 міс. року характеризувалася на підприємстві рівнянням тренда при ;

. Критерій Дарбіна - Уотсона склав 2,226. Потрібно оцінити автокореляції в залишках.

Так як фактичне значення , то мова йде про оцінку негативною автокорреляции в залишках. Наближено що означає слабку автокореляції в залишках. Переконаємося в цьому через порівняння фактичного значення 4 - DW з табличними значеннями при 5% -му рівні значущості . При п = 12іт = 1

і . Так як (верхньої межі), то автокорреляция в залишках відсутня і лінійний тренд досить добре описує вихідний динамічний ряд. Відповідь на це питання можна дати і графічно. З цією метою необхідно нанести на числову вісь в інтервалі [0; 4] табличні значення критерію DW, а саме D ~ W, = = 0,97; D - W u = 1,33; 4 - DW U = 2,67; 4 - DW, = 3,03, і подивитися, в який інтервал потрапляє фактичне значення критерію DW = 2,226 (рис. 5.16).

Інтервали для критерію Дарбіна - Уотсона

Мал. 5.16 . Інтервали для критерію Дарбіна - Уотсона

Фактичне значення DW = 2,226 потрапляє в проміжок від DW u до 4 DW U. Отже, можна прийняти нульову гіпотезу про відсутність автокореляції в залишках.

Критерій Дарбіна - Уотсона використовується і для оцінки автокорреляции по регресійний моделям, побудованим по часових рядах. Однак його не можна використовувати, якщо в моделі серед пояснюють змінних містяться лагові значення результативної ознаки. Наприклад, інвестиції в основний капітал в поточному періоді розглядаються не тільки як функція різних економічних змінних (прибутку, процентної ставки), а й досягнутого в попередній період розміру інвестицій.

Критерій Дарбіна - Уотсона є найбільш поширеним в сучасній економетрики. Разом з тим для перевірки некоррелированности помилок можуть використовуватися асимптотические тести. Одним з них є тест Бреуша - Годфрі (Breusch - Godfrey ). Було висунуто гіпотеза про незалежність випадкових величин Е " розділених До періодами часу і очищених від впливу проміжних значень залишків. Іншими словами, модель залежності залишків має вигляд

де - залишки по лінійної регресійної моделі, побудованої за часових рядах ; V, - незалежні випадкові величини. У модель залишків (Б,) можуть бути включені також , і вона набуде вигляду

Як бачимо, в цьому критерії розглядається автокорреляция залишків к-го порядку на відміну від автокореляції першого порядку, що оцінюється критерієм Дарбіна - Уотсона. У тесті Бреуша - Годфрі перевіряється нульова гіпотеза Ну. . Якщо ця гіпотеза вірна, то при великій кількості спостережень (п) статистика критерію (де - коефіцієнт детермінації за моделлю регресії для залишків) має розподіл, близький до розподілу хі-квадрат з До ступенями свободи. Нульова гіпотеза відкидається, якщо обчислене значення riR 2 перевищує критичне (табличне) значення при заданому рівні значущості а, тобто якщо маємо співвідношення

При К = 1 тест Бреуша - Годфрі оцінює автокореляції залишків першого порядку і тому можна порівняти з критерієм Дарбіна - Уотсона. Висновки за цими критеріями практично не розходяться. Так, в роботі М. Вербік [1] наводиться приклад вивчення попиту на морозиво в залежності від сімейного доходу, ціни і температури повітря за даними за 34 тижні. Фактичне значення статистики Дарбіна-Уотсона по моделі регресії склало 1,0212, що менше нижнього критичного значення і означає наявність в залишках автокорреляции першого порядку. Цей же висновок підтверджує і тест Бреуша - Годфрі. При R 2 = 0,149 для моделі по залишкам статистика Бреуша - Годфрі складе 5,066, значення якої перевищує 5% -ве критичне значення 3,84 з розподілу χ2 з одним ступенем свободи. З огляду на, що даний часовий ряд не дуже великий, Вербік в розрахунках використовує величину (п - 1) R 2, але висновки від цього не змінюються.

Незважаючи на те, що критерій Бреуша - Годфрі є асимптотическим, а критерій Дарбіна - Уотсона точним і тому більш широко використовуваним, в ряді випадків доцільно застосування критерію Бреуша - Годфрі. Так, його можна використовувати і в моделях регресії з лаговой значеннями результативної ознаки серед пояснюють змінних. Цей критерій враховує наявність в залишках автокорреляции не тільки першого порядку. Тому його називають також тестом серій.

Іншим асимптотическим тестом для оцінки наявності в залишках автокорреляции може виступати Z-статистика. Вважаємо, що справжнє значення коефіцієнта автокореляції р невідомо і дослідник має справу з вибірковими оцінками рв, які при великому обсязі вибірки п мають асимптотично нормальний розподіл , де → позначає "асимптотично розподілено як" з математичним очікуванням для р, рівним нулю, і дисперсією . Тоді Z-статистика складе

Ζ наближено має стандартний нормальний розподіл. Якщо нульова гіпотеза Н0 вірна і , то Z-статистика виявиться рівною , що і використовується в якості критичної величини. Нульова гіпотеза відхиляється на 5% -му рівні значущості, якщо фактичне значення і робиться висновок про наявність в залишках автокорреляции першого порядку. За розглянутому раніше прикладу з роботи Вербік маємо при і , що більше 1,96 і підтверджує зроблений раніше висновок про наявність в залишках автокорреляции першого порядку.

Розглянуті асимптотические тести припускають довгі ряди динаміки, а критерій Дарбіна - Уотсона заснований на теорії малих вибірок. Тому він і отримав найбільш широке застосування. Крім викладених тестів для оцінки в залишках автокорреляции можуть застосовуватися і інші тести. Так, в комп'ютерному пакеті "Econometric Views" наводиться не тільки тест Бреуша - Годфрі, а й Q-тест Льюінга - Боксу, який заснований на вивченні приватної автокореляційної функції. Її дослідження важливо в авторегресійних моделях, які розглядаються в інших розділах підручника.

  • [1] Вербік М. Путівник по сучасній економетрики. М: Наукова книга. 2008. С. 174-179.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук