Включення в модель регресії фактора часу

Модель регресії за двома часових рядах з включенням в неї як окремої незалежної змінної фактора часу t має вигляд

( 6 . 8 )

де

Включаючи в регресію фактор часу t, усуваємо лінійну тенденцію з рівнів часових рядів. Це пояснюється специфікою множинноїрегресії: коефіцієнти регресії показують ізольоване вплив на результат відповідного фактора при незмінному рівні інших факторів. У розглянутому двухфакторную рівнянні регресії (6.8) коефіцієнт регресії b характеризує "чисте" вплив змінної X на результату в умовах постійної тенденції, тобто при її усунення.

Математично доведено, що якщо тимчасові ряди характеризуються лінійною тенденцією, то включення в модель чинника часу t рівносильно побудові моделі регресії за відхиленнями від трендів з подальшим переходом від неї до вихідних рівнями тимчасового ряду залежною змінною у. Це пов'язано з тим, що рівняння регресії може бути побудовано двома шляхами:

  • - Застосовуючи метод найменших квадратів, отримуємо оцінки параметрів (саме так будується дана модель при комп'ютерній обробці);
  • - Послідовно включаємо в модель лінійну тенденцію ряду у і лінійну регресію залишкових величин - залишкові величини від лінійних тенденцій.

З метою з'ясування проблеми розглянемо другий підхід побудови лінійної моделі регресії з включенням фактора часу t. Алгоритм побудови моделі наступний.

1. Будується лінійне рівняння тренду для ряду

2. Будується лінійне рівняння тренду для ряду

3. Знаходяться залишкові величини і

4. Будується регресія за відхиленнями від трендів

5. Визначається модель для ряду

або

Звідки маємо рівняння

(6.9)

Дане рівняння відповідає рівнянню регресії (6.8):

де

( 6 . 10 )

(6.11)

Розглянутий підхід до побудови моделі регресії дозволяє зрозуміти, що рівняння регресії з включенням фактора часу t враховує лінійні тенденції для часових рядів і . Крім того, будуючи регресію за відхиленнями від лінійних трендів, ми отримуємо залишки ті ж, що і в регресії з включенням лінійного фактора часу t. Тому при наявності в рядах лінійних тенденцій доцільно будувати модель регресії по вихідним рівнями рядів динаміки, включаючи в неї фактор часу t. В цьому випадку модель регресії за відхиленнями від трендів не інформативна. Тим більше треба врахувати, що регресія за відхиленнями від лінійних трендів є складовою частиною регресії з включенням фактора часу t (крок 4 при другому підході).

У регресії параметр b показує, на скільки одиниць змінюється в середньому у при зміні X на одну одиницю в умовах постійної тенденції; параметр з показує середній абсолютний приросту в умовах незмінного рівня пояснює змінної X.

приклад 6.3

По промисловому підприємству є дані за 3 роки в поквартальному розрізі про рівень продуктивності праці (у - в тис. Руб. На одного працівника) і частці активної частини основних фондів ( X - в%):

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y

5

6

6

7

8

10

11

11

13

12

13

15

x

9,9

18,9

19,8

27,9

22,2

29,7

38,7

36

46

37,8

45

54

Модель регресії з включенням в неї фактора часу t виявилася такою:

t-критерій

В цілому рівняння регресії значимо, як і його параметри (табличне значення F-критерію при і числі ступенів свободи 2 і 9 дорівнює 4,26, а табличне значення t-критерію Стьюдента при і дорівнює 2,26). Ці ж результати отримаємо, застосовуючи метод послідовного включення в модель регресії лінійної тенденції ряду у t і лінійної регресії відхилень від трендів.

Так, в розглянутому прикладі рівняння лінійного тренду для ряду склало

де

Рівняння добре описує тенденцію: коефіцієнт автокореляції в залишках дорівнює 0,0083. Лінійне рівняння тренду для ряду склало

Для кожного ряду були розраховані відхилення від трендів Отримано рівняння регресії по відхилення трендів

Далі, з використанням формул (6.10), (6.11), були отримані оцінки параметрів регресії (збігається з величиною коефіцієнта регресії за рівнянням

Дані оцінки збігаються з тим, що було отримано раніше за моделлю з включенням в неї фактора часу як пояснює змінної.

Залишкові величини за моделлю для відхилень від трендів збігаються із залишками для регресії з включенням фактора часу. Автокорреляция в залишках невелика:

У моделі параметр b показує, що зростання частки активної частини основних фондів на 1% -ний пункт в умовах постійної тенденції сприяє зростанню рівня продуктивності праці на 0,104 тис. Руб. Параметр з характеризує середньоквартальний приріст продуктивності праці незалежно від зміни частки активної частини основних фондів, тобто обумовлений впливом інших факторів, що не враховуються в регресії.

У прикладі розглянуто два динамічних ряду. Принцип введення в модель фактора часу зберігається і при вивченні трьох і більше пов'язаних рядів динаміки. Так, якщо будується регресія , то включення в неї фактора часу t призводить найчастіше до моделі виду

( 6 . 12 )

У ній параметри показують ізольоване вплив кожної пояснює змінної на результат у, а параметр с - середній абсолютний приросту в умовах незмінності значень змінних

Час в якості незалежної змінної часто вводиться у вигляді лінійного члена навіть якщо інші змінні піддаються логарифмуванню чи іншого перетворення. Наприклад, виробнича функція з включенням фактора часу часто записується як

(6.13)

де Р - обсяг продукції; До основний капітал; L -Зайнято; е - основа натурального логарифма; t - фактор часу, взятий як ряд натуральних чисел

Лінеарізуем дану залежність, прологаріфміровав виробничу функцію:

(6.14)

Тут фактор часу t введений в модель лінійно. Вже згадана виробнича функція нелінійна щодо оцінюваних параметрів. У ній параметри і є коефіцієнтами еластичності, показуючи, на скільки відсотків підвищується обсяг продукції при збільшенні відповідного фактора і L) на 1% в умовах постійної тенденції.

Параметр з зазвичай інтерпретується як автономний зростання обсягу продукції в умовах незмінності факторів виробництва К і L. Так, якщо , то і, отже, щорічно (якщо t - роки) обсяг продукції зростає в середньому при незмінних рівнях витрат капіталу і праці в 1,01765 рази, або на 1,765%.

Якщо тенденція в рядах динаміки характеризується поліномом другого і більш високих ступенів, то в модель регресії вводяться t і , а іноді t в більш високого ступеня.

В цьому випадку розглядається регресія виду

(6.15)

при двох тимчасових рядах

або

(6.16)

при р тимчасових рядах.

Вводячи в модель регресії фактор часу у вигляді ,

припускаємо, що коефіцієнти при змінних залишаються в часі незмінними і характеризують силу зв'язку результату у з відповідною пояснює змінної X.

Якщо передбачається, що в регресії коефіцієнти при незалежної змінної схильні до зміни в часі, то в модель можна ввести перетворені змінні tx (де t - час). Оцінка параметрів моделі дається МНК.

Модель регресії з включенням в неї фактора часу як незалежної змінної не завжди ефективна зважаючи на можливу мультіколлінеарності факторів. Якщо тимчасові ряди, використовувані в регресії, характеризуються чіткою тенденцією ( ), то кореляція ί і Xj може перевищувати кореляцію з у, і параметри регресії при пояснюють змінних X виявляються ненадійними й економічно не інтерпретуються.

Час може бути враховано в регресії і через використання лагових змінних, тобто запізнілих змінних, зсунутих на певний інтервал часу. Наприклад, попит на нерухомість в значній мірі визначається доходом не поточного, а попередніх періодів. Питання, пов'язані з побудовою моделей регресії з лаговой змінними, розглядаються в гл. 7.

Розглянуті шляхи обліку тенденції при побудові моделі регресії по часових рядах не завжди дають бажані результати. Регресія за відхиленнями від тренда часто має низький показник детермінації. Регресія з включенням фактора часу нерідко зводиться лише до моделі тенденції зважаючи статистичної незначущості коефіцієнтів регресії при пояснюють змінних. Але навіть при статістаческой значущості моделі регресії і її параметрів може залишитися ав- токоррелірованность помилок. Одним з методів її усунення є узагальнений метод найменших квадратів.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >