Оцінка параметрів моделей з розподіленими лагами

Модель з кінцевим числом лагів при правильній її специфікації може бути оцінена звичайним МНК. У цьому випадку в рівнянні

змінні розглядаються як пояснюючі змінні звичайної множинноїрегресії.

Разом з тим застосування МНК до моделей з кінцевим числом лагів може бути реально утруднено через наступних причин:

  • 1) при наявності тенденції змінні тісно пов'язані між собою, що викликає мультиколінеарності факторів, яка може привести до не- інтерпретується знакам у коефіцієнтів регресії і до зниження їх точності;
  • 2) можлива автокорреляция залишків, так як МНК застосовується до часових рядах з тенденцією.

Тому нерідко для оцінки параметрів моделі з розподіленим кінцевим числом лагів використовуються спеціальні методи перетворення, як і для моделі з нескінченним числом лагів. Розроблено різні методи оцінювання параметрів моделей з розподіленими лагами, які враховують характер розподілу коефіцієнтів регресії при лагових пояснюють змінних. Іншими словами, методи оцінювання параметрів моделі з розподіленими лагами засновані на вивченні структури лага. Так, припускаючи поліноміальний розподіл лагових коефіцієнтів, використовують метод Алмон , а при гіпотезі геометричній прогресії для лагових коефіцієнтів застосовується перетворення Ліжко .

Полиномиально розподілені лаги Алмон

У 1965 р Ш. Алмон запропонувала спосіб оцінки параметрів моделі з розподіленими лагами на основі гіпотези про те, що лагові коефіцієнти регресії аппроксимируются полиномом відповідного ступеня від величини лага. Це означає, що в моделі параметр bj розглядається як функція:

При цьому апріорі висувається припущення про ступінь полінома. Як правило, використовується многочлен невисокого ступеня

Припустимо, що має розподіл у вигляді параболи другого ступеня, тобто . Тоді кожен з коефіцієнтів можна представити у вигляді

Підставами ці співвідношення для b j, в модель з розподіленими лагами

Перегруппіруем доданки з однаковими значеннями з:

Будемо розглядати складові в дужках при як нові змінні z , тобто модель з розподіленими лагами набуде вигляду

де визначаються як

Оцінка параметрів при перетворених змінних ζ дається традиційним МНК. При цьому випадкові відхилення задовольняють передумов МНК. Далі на основі параметрів переходимо до оцінки параметрів , використовуючи вирази коефіцієнтів через коефіцієнти полінома:

У загальному вигляді при ступеня полінома т модель регресії з розподіленими лагами набуде вигляду

Як бачимо, в даній моделі змінні представляють собою лінійну комбінацію змінних і k лагових змінних, ваги при яких підкоряються поліноміальний розподілу (рис. 7.1).

У матричному вигляді можна записати, що b = Нс, де

- Матриця ваг при лагових коефіцієнтах ; с - вектор коефіцієнтів при змінних 2.

Тоді модель в цілому набуває вигляду

Розподіл лагових змінних

Мал. 7.1. Розподіл лагових змінних

Стандартна помилка коефіцієнтів регресії при лагових змінних визначиться як

Далі через t-критерій Стьюдента оцінюється значимість коефіцієнтів .

Якість моделі оцінюється через коефіцієнт детермінації для рівняння регресії від перетворених змінних Z, тобто по моделі

Таким чином, застосування методу Алмон включає в себе наступні етапи роботи:

  • 1) визначення максимальної величини лага до;
  • 2) визначення ступеня полінома гл, що описує розподіл коефіцієнтів регресії в залежності від величини лага;
  • 3) розрахунок перетворених змінних ;
  • 4) розрахунок параметрів лінійної регресії у від перетворених змінних z, тобто оцінка ;
  • 5) перехід до вихідних параметрів моделі з розподіленими лагами.

Теоретично досить складно визначити максимальну величину лага к. В основному для цієї мети використовується експериментальний шлях: будується рівняння з великою кількістю послідовних лагів і з поступовим його зменшенням вивчається значимість коефіцієнтів регресії при лагових пояснюють змінних. Зупиняються на варіанті, для якого всі коефіцієнти регресії статистично значущі.

Визначення ступеня полінома т також пов'язано з рядом труднощів. Формально можна вивчати графічно структуру лага (рис. 7.2).

Якщо з ростом величини лага; коефіцієнти описуються кривими, представленими на рис. 7.2 , а - г, то в розрахунках можуть бути використані поліноми другого, третього чи четвертого ступеня. Малюнок 7.2, д передбачає лінійну залежність від величини лага, а рис. 7.2, е показує перевернуту V-образну структуру лага (наприклад, при вивченні капітальних вкладень Де Лью в 1962 році запропонував подібну структуру лага). Однак з огляду на, що оцінки b, по МНК часто ускладнені, дослідник, як правило, не має подібними графіками. Тому ступінь полінома задається дослідником, виходячи з відповідних теоретичних міркувань і результатів попередніх досліджень.

Мал. 7.2. Можливі розподілу лагових коефіцієнтів регресії

приклад 7.1

За даними за 32 кварталу про обсяг продукції (у - в млн руб.) І інвестиціях в основний капітал -у млн руб.) Будується модель з розподіленими лагами

Таблиця 7.1. Обсяг продукції та інвестиції в основний капітал

кварталу

y t

x t

x t-1

x t-2

x t-3

x t-4

z 0

z 1

z 2

1

5,2

0,87

-

-

-

-

-

-

-

2

5,6

0,9

0,87

-

-

-

-

-

-

3

6,5

1,05

0,9

0,87

-

-

-

-

-

4

6,4

1,04

1,05

0,9

0,87

5

6,5

1,05

1,04

1,05

0,9

0,87

4,91

9,32

27,26

6

7,0

1,08

1,05

1,04

1,05

0,9

5,12

9,88

29,06

7

7,4

1,12

1,08

1,05

1,04

1,05

5,34

1,05

31,44

8

7,8

1,16

1,12

1,08

1,05

1,04

5,45

10,59

31,53

9

8,1

1,17

1,16

1,12

1,08

1,05

5,58

10,84

32,16

10

8,0

1,14

1,17

1,16

1,12

1,08

5,67

11,17

33,17

11

8,5

1,17

1,14

1,17

1,16

1,12

5,76

11,44

34,18

12

8,6

1,2

1,17

1,14

1,17

1,16

5,84

11,6

34,82

13

8,8

1,2

1,2

1,17

1,14

1,17

5,88

11,64

34,86

14

8,9

1,24

1,2

1,2

1,17

1,14

5,95

11,67

34,77

15

8,9

1,22

1,24

1,2

1,2

1,17

6,03

11,92

35,56

16

9,3

1,26

1,22

1,24

1,2

1,2

6,12

12,1

36,18

17

9,4

1,23

1,26

1,22

1,24

1,2

6,15

12,22

36,5

18

9,3

1,23

1,23

1,26

1,22

1,24

6,18

12,37

37,09

19

9,6

1,26

1,23

1,23

1,26

1,22

6,2

12,35

37,01

20

9,7

1,28

1,26

1,23

1,23

1,26

6,26

12,45

37,41

21

9,7

1,3

1,28

1,26

1,23

1,23

6,3

12,41

37,07

22

9,8

1,32

1,3

1,28

1,26

1,23

6,39

12,56

37,44

23

10,0

1,32

1,32

1,3

1,28

1,26

6,48

12,8

38,2

24

10,2

1,33

1,32

1,32

1,3

1,28

6,55

12,98

38,78

25

10,3

1,33

1,33

1,32

1,32

1,3

6,6

13,13

39,29

26

10,4

1,35

1,33

1,33

1,32

1,32

6,65

13,23

39,65

27

10,5

1,35

1,35

1,33

1,33

1,32

6,68

13,28

39,76

28

10,6

1,36

1,35

1,35

1,33

1,33

6,72

13,36

40

29

10,5

1,32

1,36

1,35

1,35

1,33

6,71

13,43

40,19

30

10,6

1,35

1,32

1,36

1,35

1,35

6,73

13,49

40,51

31

10,7

1,38

1,35

1,32

1,36

1,35

6,76

13,47

40,47

32

11

1,4

1,38

1,35

1,32

1,36

6,81

13,48

40,42

Припускаючи квадратичную залежність від величини лага , маємо співвідношення

Відповідно модель з розподіленими лагами набуде вигляду

Розрахунок перетворених змінних представлений в табл. 7.1, де

Застосовуючи до даних про звичайний МНК, отримаємо наступне рівняння:

Всі параметри рівняння статистично значущі ( при вказує на хорошу якість моделі.

Далі знайдемо коефіцієнти регресії вихідної моделі, тобто , Використовуючи вирази через коефіцієнти :

Модель регресії з розподіленими лагами набуде вигляду

Стандартні помилки коефіцієнтів регресії за моделлю наступні:

Для вільного члена а стандартна помилка склала 0,313. Відповідно по t-критерієм Стьюдента всі параметри виявилися статистично значущими:

Модель показує, що зростання інвестицій в поточному періоді на 100 тис. Руб. сприяє зростанню обсягу продукції в тому ж періоді в середньому на 377 тис. руб., а через квартал - на 578 тис. руб. В цілому ж через рік приріст обсягу продукції за рахунок зростання інвестицій на 100 тис. Руб. очікується в розмірі 1,138 млн руб. (3,771 + 2,011 + 1,264 + 1,529 + + 2,808 = 11,383).

Визначивши відносні коефіцієнти регресії β; •, побачимо, що половина впливу фактора на результат реалізується з лагом в один квартал:

На графіку (рис. 7.3) розглядаються коефіцієнти регресії є параболу другого ступеня.

Якщо до вихідних даних нашого прикладу застосувати традиційний МНК, то результати виявляться наступними:

Хоча коефіцієнт детермінації тут навіть трохи вище, але коефіцієнти регресії при лагових змінних і виявляються статистично незначущими:

коефіцієнти регресії

Мал. 7.3. коефіцієнти регресії

Крім того, застосовуючи метод Алмон, отримуємо стандартні помилки коефіцієнтів регресії менше, ніж при традиційному МНК:

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >