Метод Ліжко

Для моделі з нескінченним числом лагових значень пояснює змінної

(7.1)

оцінка параметрів є неможливою без будь-якого припущення щодо поведінки коефіцієнтів при лагових змінних. Одним з припущень є припущення про те, що після деякої довжини лага (наприклад, до ) коефіцієнти розподіленого лага почнуть спадати геометрично з однаковим темпом ). Тоді рівняння (7.1) може бути записано у вигляді

(7.2)

У рівнянні (7.2) перші до коефіцієнтів розподіленого лага є вільними (приймають будь-які значення), а решта лагові коефіцієнти зменшуються в геометричній прогресії.

Якщо в рівнянні (7.2) припустити, що спадання Лаго- вих коефіцієнтів в геометричній прогресії відбувається відразу ж, а не через інтервал часу до, то отримаємо таку модель:

(7.3)

Коефіцієнти даної моделі узгоджуються з коефіцієнтами рівняння (7.1), а саме

(7.4)

Це означає, що оцінивши три параметра рівняння (7.3), тобто можна перейти до моделі (7.1): а і Ь п визначені за моделлю (7.3),

Однак наявність в моделі (7.3) нескінченного числа лагових змінних ускладнює практичну її реалізацію, бо дослідник має справу, як правило, з кінцевим числом лагів. Оцінка параметрів моделі (7.3) можлива, якщо застосувати перетворення Ліжко.

Припускаючи, що в моделі (7.1) всі лагові коефіцієнти мають однаковий знак і зменшуються в геометричній прогресії, Л. М. Койк запропонував для оцінки параметрів моделі (7.3) наступну процедуру:

- Побудувати модель (7.3) для моменту часу , тобто отримати рівняння

(7.5)

- Помножити рівняння (7.5) на λ, тобто отримати рівняння

(7.6)

  • - Вилучити з рівняння (7.3) рівняння (7.6):
  • - Після перетворення отримати рівняння

(7.7)

де

Рівняння (7.7) отримало назву перетворення Ліжко, так як Л. М. Койк вперше (1954 г.) запропонував даний підхід до оцінювання параметрів моделі з розподіленими лагами.

Практично в моделі (7.7) від рівняння з розподіленими лагами з нескінченним їх числом (7.1) Л. М. Койк перейшов до моделі авторегресії, для якої потрібно оцінити лише три параметра: . Далі зі співвідношення (7.4) знаходяться параметри вихідної моделі (7.1).

Розглянутий підхід знайшов широке застосування в дослідженні кумулятивного ефекту реклами на обсяг продажів, тобто поточний обсяг продажів розглядається в залежності від витрат на рекламу поточного періоду, обсягу продажів в попередній період часу і помилки [1] . Перетворення Ліжко може бути використано і при вирішенні моделі (7.2), коли кілька перших коефіцієнтів залишаються вільними, а для решти лагов реалізується дане перетворення. Наприклад, вважаючи, що і залишаються вільними, а починаючи з всі лагові коефіцієнти зменшуються з однаковим темпом, можна записати

Далі після застосування перетворення Ліжко виходить рівняння

тобто відбувається перехід до моделі авторегресії з розподіленими лагами.

Перетворення Ліжко призводить до істотним спрощенням, бо разом зі зменшенням числа оцінюваних параметрів усувається і проблема мультиколінеарності факторів: тепер в моделі (7.7) міститься дві незалежні змінні і

Модель Ліжко дозволяє аналізувати короткостроковий і довгостроковий мультиплікатори. Короткостроковим мультиплікатором є параметр , а довгостроковим - сума коефіцієнтів регресії, що представляє собою суму геометричній прогресії

Наприклад, по Великобританії для періоду 1924-1938 рр. була побудована модель [2] , де - споживання в період часу t; - Дохід у період часу t; - Споживання в період часу (t - 1).

Дане рівняння означає, що короткострокова схильність до споживання становить 0,18, а довгострокова схильність до споживання дорівнює 0,18 / (1 - 0,81) = 0,95. Відсутність в моделі вільного члена не змінює суть інтерпретації короткострокового і довгострокового мультиплікаторів, хоча природно позначається на величині параметрів моделі. Короткостроковий мультиплікатор 0,18 показує, що з ростом доходу на 1 ден. од. споживання в той же період часу збільшується на 0,18 ден. од. Довгостроковий мультиплікатор 0,95 означає, що в довгостроковій перспективі збільшення доходу на 1 ден. од. призведе до зростання споживання на 0,95 ден. од.

У моделі Ліжко (7.7) випадкова помилка корельована зі змінною . Тому оцінювання параметрів її моделі традиційним МПК дає зміщені і неспроможні оцінки. Замість МНК можуть бути застосовані інструментальні змінні (див. 7.3.2) або метод максимального правдоподібності.

Оскільки рівняння (7.7) є моделлю авторегресії, то залишки U t можуть бути автокорреліровани. Для їх аналізу не застосуємо розглянутий раніше критерій Дарбіна-Уотсона ( DW ). Замість нього необхідно використовувати й-статистику Дарбіна (див. Далі формулу (7.15)).

  • [1] Див. Докладний виклад в кн .: Берндта, Е. Практика економетрики: класика і сучасність: пров. з англ. М .: ЮНИТИ, 2005. С. 457-467.
  • [2] Маленво Е. Статистичні методи економетрії: пров. з фр. М.: Статистика, 1975. С. 137.
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >