Авторегресійні процеси і їх моделювання (загальна характеристика)

Авторегресійні процеси

Розглянуті раніше моделі авторегресії містили в правій частині поряд з лаговой залежними змінними і т.п. незалежні змінні х. Авторегресійна модель, в якій відсутні незалежні змінні і у с розглядається як лінійна функція тільки попередніх своїх значень, являє собою Авторегрессіонний процес

(7.16)

Залежно від того, скільки попередніх рівнів часового ряду включено в рівняння (7.16), Авторегрессіонний процес може бути різного порядку. Якщо поточне значення рівня динамічного ряду розглядається як лінійна функція від одного попереднього значення, то маємо справу з Авторегрессіонний процесом першого порядку, що зазвичай в англомовній літературі позначається какао ?? (1):

(7.17)

Збільшуючи кількість лагових змінних в моделі (7.17), отримаємо Авторегрессіонний процес більш високого порядку. Наприклад, процес AR (3) зводиться до рівняння

(7.18)

і відображає Авторегрессіонний процес третього порядку.

Процеси AR можуть бути стаціонарними і нестаціонарними. Щоб процес був стаціонарним, коефіцієнти в моделі (7.16) повинні утворювати сходиться ряд і всі корені характеристичного рівняння (речові і комплексні) повинні лежати поза одиничним кола, тобто

Розглянуте умова стаціонарності для процесу AR (1) означає, що в рівнянні (7.17) параметр повинен відповідати величині , так як характеристичне рівняння має корінь при

Так, для ряду при (початковий рівень динамічного ряду) характеристичне рівняння має вигляд . Відповідно z = 1,25 і розглянутий процес є стаціонарним. Його асимптота μ виявиться рівною , тобто маємо , і траєкторія процесу флуктуірует і не перевищує 15. Так, при п = приймає значення 2; 4,6; 6,7; 8,3; 9,7; 10,7; 11,6; 12,3; 12,8; 13,3; 13,6; 13,8; 14,1 і далі зростає до 15, а починаючи з t = = 27 не перевищує 15.

Припустимо, що розглядається процес AR (2), а саме

Для нього характеристичне рівняння складе

Коріння цього рівняння складуть і , що більше одиниці і, отже, процес є стаціонарним.

Асимптота даного ряду виявиться рівною , тобто починаючи з варіює навколо величини 16, (6): рівні ряду приймають значення 7; 6; 9; 11,9; 13,9; 15,1 і т. Д. У розглянутих прикладах AR (1) і AR (2) динамічні ряди виявляють спочатку деяку тенденцію, яка поступово згасає і ряд стає стаціонарним (рис. 7.4).

Мал. 7.4. Асимптотично стаціонарні тимчасові ряди

Авторегрессіонний процес з великим числом лагів передбачає дуже довгі динамічні ряди, які далеко не завжди є в економетричних дослідженнях. При наявності коротких часових рядів стаціонарні AR- процеси можуть мати місце після видалення з рівнів ряду тенденції і сезонних коливань. Це означає, що дослідник повинен виокремити ці компоненти динамічного ряду і піддавати подальшій обробці залишкові величини. В цьому випадку Авторегрессіонний процес першого порядку AR (1) набуде вигляду

(7.19)

де - залишки після усунення з рівнів ряду тенденції і періодичної складової; - білий шум.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >