Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Моделі ковзної середньої

Серед моделей для стаціонарних часових рядів широке поширення мають моделі ковзної середньої .

Для стаціонарного ряду модельований рівень часового ряду можна уявити як лінійну функцію минулих помилок, тобто різниць між минулими фактичними і теоретичними рівнями:

(7.20)

де μ - константа; - Білий шум в поточний і попередній період часу:

Термін "змінна середня", який використовується тут, не синонім ковзної середньої як методу згладжування рівнів динамічного ряду.

У моделі (7.20) рівень динамічного ряду розглядається як сума константи μ і ковзної середньої між поточними і попередніми значеннями білого шуму (випадкових відхилень).

Позначимо ковзаючу середню моделі (7.20) через :

(7.21)

Рівняння (7.21) прийнято називати процесом змінного середнього порядку q і позначати як МА (q) від англійського Moving Average. Порядок ковзної середньої визначається таким числом в моделі попередніх значень випадкових відхилень. Так, МА (2) можна записати як , а модель рівня динамічного ряду з використанням МА (2) буде мати вигляд

Відповідно модель рівня ряду з іспользованіемМА (1) набуде вигляду

При q = 0 і μ = 0 отримуємо процес білого шуму.

Тимчасові ряди з використанням процесу змінного середнього можуть мати місце, коли рівні динамічного ряду характеризуються випадковою колеблемостью.

Моделі ARMA

З'єднання в одній моделі авторегресійного процесу AR і моделі змінного середнього МА призводить до моделі авторегресійного процесу зі легкими середніми в залишках (ARMA - від англійського Auto Regressive - Moving Average):

(7.22)

У моделі (7.22) як пояснюють змінних розглядаються лагові значення залежної змінної з р інтервалами зсуву і ковзаючі середні порядку q для залишків авторегресії. Іншими словами, модель включає в себе AR ( р ) Іма (q). Її прийнято позначати ARMA (р, q). Наприклад, ARMA (3, 2) має вигляд

(7.23)

При практичної реалізації моделей ARMA найбільш складним є вибір числа лагов р і q.

Інструментом ідентифікації моделі ARMA є вивчення приватної автокореляційної функції за моделями з різним числом лагів. Приватна автокореляційна функція ( PACF - Partial Autocorrelation Function ) являє собою серію приватних коефіцієнтів автокореляції {РАС), які вимірюють зв'язок між поточним рівнем динамічного ряду і попередніми значеннями в умовах, коли вплив інших проміжних тимчасових лагів усунуто. Так, приватний коефіцієнт автокореляції при лагу до представлятиме собою кореляцію і , очищену від впливу

Позначимо приватний коефіцієнт автокореляції з лагом до через . При (рівні ряду корелюють самі з собою); при , де коефіцієнт автокореляції першого порядку. Це рівність пов'язано з тим, що при розрахунку р (1) відсутні проміжні лаги. Обчислення р вищого порядку можна виробляти за формулами

У даних формулах визначник чисельника відрізняється від визначника в знаменнику тільки заміною останнього столбцаопределітеля в знаменнику стовпчиком з значень

Для авторегресійного процесу порядку приватна автокореляційна функція відмінна від нуля при і дорівнює нулю при . Це і дозволяє визначати порядок процесу AR. Так, для моделі AR (1): близько до нуля.

приклад 7.3

За 50 міс. темпи приросту обсягу продукції До характеризувалися авторегресії виду і F = 93,9. Автокореляційна функція склала убутні значення автокореляції:

лаг

1

2

3

4

5

6

7

13

14

5.

0,813

0,747

0,617

0,474

0,408

0,457

0,353

-0,107

-0,051

Приватна автокореляційна функція, починаючи з лага 2, досить близька до нуля:

лаг

1

2

3

4

5

Р

0,813

0,252

-0,134

-0,202

0,122

Для моделі типу МА (q) порядок q визначається по поведінці автокореляційної функції: при прагне до нуля. Для моделі ARMA (р, q) автокореляційна функція характеризується спадання, що починається з лага q, а приватна автокореляційна функція спадає, починаючи з лага р. Так, для моделі ARMA (1,1) при ACF спостерігає експоненціальне загасання з лага 1, a PACF - осцилююче спадання складаючи 1. При ACF для моделі ARMA (1,1) спостерігає осцилююче спадання з лага 1, a PACF - експоненціальне загасання з лага 1.

Вибір типу моделі ARMA не обмежується зазвичай дослідженням автокореляційних функцій. З цією метою може використовуватися, наприклад, інформаційний критерій Акайке1, розгляд якого не входить в завдання даного підручника.

Моделі ARIMA

Для отримання стаціонарного ряду можуть розраховуватися різниці рівнів часового ряду Δ різного порядку d. Модель, в якій поєднані знаходження послідовних різниць тимчасового ряду порядку d і ARMA, - модель порядку (р, q), отримала назву авторегрессионной інтегрованої моделі ковзної середньої - ARI MA (Autoregressive Integrated Moving Average).

Модель ARIMA володіє трьома параметрами: р - порядок авторегресії AR; d - порядок послідовних різниць рівнів часових рядів, що забезпечує стаціонарність ряду, і q - порядок ковзної середньої МА.

У загальному вигляді модель ARIMA (р, d, q) виражається формулою

(7.24)

де - до- я послідовна різницю рівнів , тобто

- Нормально розподілені випадкові величини з нульовим математичним очікуванням і постійної дисперсією.

З моделі (7.24) для можна отримати модель для вихідного динамічного ряду за допомогою виразу

(7.25)

Так, якщо модель ARIMA (1, 1, 1) має вигляд то динамічний ряд описується моделлю так як

Модель АRI МА практично придатна для більшості часових рядів. При модель AR1MA перетворюється в процес AR

Якщо то маємо модель МА

Найбільш поширені моделі ARIMA з параметрами , d і q, що не перевищують двох. Сучасні комп'ютерні програми пропонують різні варіанти оцінювання параметрів моделі Ашман, серед яких переважає оцінка методом максимальної правдоподібності. Такий підхід можна бачити при реалізації моделі Ашман в системі SPSS [1] .

  • [1] Прогнозування за допомогою моделей ARIMA см. В кн .: Діброва Т. Л. Статистичні методи прогнозування. М .: ЮНИТИ, 2003. С. 178-184.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук