Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Базові моделі часових рядів

Білий шум

Білим шумом називається процес, який має постійне математичне очікування, постійну дисперсію і нульову, для всіх, крім нульового лага, автоковаріаціонную функцію. Тобто - білий шум, якщо

Білим шум, за визначенням, - слабо стаціонарний процес. Справді, нульова для всіх, крім нульового лага, автоковаріаціонная функція означає, що спостереження не коррелірованни між собою. Графік білого шуму, змодельованого в пакеті Eviews, зображений на рис. 8.3.

Білий шум (модельний приклад)

Мал. 8.3. Білий шум (модельний приклад)

Якщо до умов стандартного білого шуму додати умова нульового математичного очікування, вийде білий шум з нульовим середнім.

Якщо виконується припущення про нормальний розподіл процесу , то процес буде строго стаціонарним. Крім того, коефіцієнти автокореляції також будуть розподілені згідно нормальному закону

де - коефіцієнт автокореляції; Т - розмір вибірки.

Випадкове блукання

Випадковим блуканням називається процес, описуваний рівнянням

(8.3)

де - білий шум.

Це просто авторегресія першого порядку, з одиничним коефіцієнтом. Модель випадкового блукання можна уявити як

Таким чином, модель випадкового блукання виражається через початкове значення і суму білих шумів (рис. 8.4). Математичне сподівання такого процесу дорівнює початковому значенню:

Дисперсія випадкового блукання за умови некоррелированности і має вигляд

Оскільки, як очевидно з рівняння, дисперсія залежить від часу, отже, умова сталості дисперсії не виконується і випадкове блукання не є стаціонарним процесом.

Випадкове блукання (модельний приклад)

Мал. 8.4. Випадкове блукання (модельний приклад)

Для того щоб привести випадкове блукання до стаціонарного ряду, потрібно просто взяти першу різницю Тобто , при цьому - білий шум, слабо стаціонарний процес. Прийом взяття різниць дуже часто зустрічається в економетрики, на ньому ґрунтується один з принципів моделі ARIMA, яка буде розглядатися пізніше.

Модель ковзної середньої

Модель ковзної середньої - одна з найпростіших моделей часових рядів. У моделі як пояснюють змінних виступає комбінація білих шумів (рис. 8.5). Тобто ряд описується процесом ΜΑ (τ), якщо

(8.4)

де (при ) - білий шум, з нульовим математичним

очікуванням і дисперсією .

Рівняння може бути переписано за допомогою оператора зсуву. Справді, якщо , то рівняння (8.4) можна представити як ,

де (модельний приклад)

Мал. 8.5. (модельний приклад)

Знайдемо характеристики процесу ковзної середньої:

Таким чином, процес ковзної середньої має постійні математичне сподівання і дисперсію і ненулевую до τ-го лага автоковаріацію.

Авторегресійна модель

В основі авторегресійних моделей (рис. 8.6) лежить припущення про те, що наступні значення розглянутої змінної залежать тільки від її значень в попередні періоди і помилки. Таким чином, авторегресійна модель порядку записується в такий спосіб:

(8.5)

де - білий шум, -й лаг розглянутої змінної.

Мал. 8.6. (модельний приклад)

Крім того, рівняння авторегрессионной моделі може бути записано з використанням оператора зсуву:

або

де

При роботі з процесом AR необхідно насамперед перевірити його стаціонарність. Справа в тому, що в моделях, де коефіцієнти не задовольняють умовам стаціонарності, буде спостерігатися незатухаюче вплив попередніх значень помилок на поточне значення параметра, що ускладнює процес оцінювання подібної моделі.

Для того щоб вивести умова стаціонарності для авторегресійних процесів, скористаємося такою формою запису моделі AR:

Нехай , тоді

Процес буде стаціонарним, якщо його можна представити у вигляді

Насправді, може бути представлено у вигляді МА (оо) процесу . Причому, якщо Авторегрессіонний процес стационарен, то коефіцієнти МА (з) будуть зменшуватися для наступних лагів, а якщо процес не стационарен, то коефіцієнти МА (з), не збігатимуться до нуля в міру збільшення порядку лага.

Таким чином, умова стаціонарності AR (q) процесу полягає в тому, щоб коріння характеристичного рівняння

були по модулю більше одиниці.

Розглянемо умова стаціонарності авторегресійного процесу на прикладі моделі випадкового блукання

Насамперед перепишемо модель випадкового блукання за допомогою оператора зсуву:

Характеристичним рівнянням для процесу випадкового блукання буде рівняння виду

Єдиний корінь характеристичного рівняння z = 1 не є по модулю великим одиниці. Отже, процес випадкового блукання не є стаціонарним процесом.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук