Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Модель ARMA

Комбінація авторегресійного процесу і процесу ковзної середньої утворює ще один клас тимчасових моделей - ARMA (авторегресія - змінна середня). Дана модель базується на припущенні про те, що поточне значення досліджуваного часового ряду залежить тільки від лінійної комбінації попередніх значень часового ряду і білого шуму. Модель ARMA (р, q) виглядає наступним чином:

(8.6)

де і - значення лагов ряду і білих шумів відповідно.

Процес ARMA можна записати за допомогою оператора зсуву де

Процес ARMA є комбінацією процесів AR і МА. Отже, властивості і характеристики процесу ARMA також є комбінаціями властивостей і характеристик використовуваних процесів AR і МА.

Виникає питання: чи є процес ARMA ( р, q) стаціонарним? За умови нульової середньої процес ARMA може бути представлений у вигляді за умови існування зворотного оператора . При цьому зворотний оператор може бути розкладений в суму елементарних дробів, кожна з яких подана як нескінченно спадна геометрична прогресія, тобто в нескінченний операторний поліном. При множенні на кінцевий поліном знову вийде нескінченний поліном. Отриманий вираз має сенс, тільки якщо корені характеристичного рівняння β (z) = 0 по модулю менше одиниці. Але в такому випадку отриманий вираз є не що інше, як розкладання Вольда, і, отже, процес стационарен. Таким чином, процес ARMA буде стационарен, тільки якщо стаціонарним буде використовуваний процес AR. Аналогічно, процес ARMA буде оборотним, якщо існує зворотний оператор . Тобто процес ARMA буде оборотним, якщо оборотним буде використовуваний процес МА.

Знайдемо основні характеристики процесу ARMA. Очевидно, що математичне очікування дорівнює нулю. Для того щоб знайти дисперсію процесу, уявімо процес ARMA (р, q) у вигляді нескінченного процесу МА (∞):

Тоді дисперсія у, дорівнює

Автокореляційні і приватні автокореляційні функції процесів AR, МА, ARMA мають такі властивості.

  • • Автокорреляционная функція авторегресійного процесу убуває по експоненті, а кількість ненульових лагов приватної автокореляційної функції одно порядку авторегресійного процесу.
  • • Приватна авторегресійна функція ковзної середньої убуває по експоненті, а число ненульових лагов автокореляційної функції дорівнює порядку процесу ковзної середньої.
  • • Авторегрессіонний функція і приватна авторегресійна функція процесу авторегресія - змінна середня убуває по експоненті.

У табл. 8.2-8.12 наведені значення вибіркових автокореляційних та приватних автокореляційних функцій стандартних процесів ARMA.

У табл. 8.2 представлена ​​діаграма автокореляційних функцій найпростішого процесу ковзної середньої. Як зазначалося вище, порядок ковзної середньої може бути визначений як число ненульових лагов автокореляційної функції. Існує значна кореляція тільки з першим лагом. Отже, можна зробити висновок, що це змінна середня першого порядку.

Таблиця 8.2. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для

Autocorrelation

Partial Correlation

АС

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,481

0,481

61,667

0,000

2

-0,003

-0,305

61,669

0,000

3

-0,043

0,152

62,159

0,000

4

-0,046

-0,135

62,735

0,000

5

-0,036

0,063

63,087

0,000

6

-0,069

-0,127

64,360

0,000

7

-0,074

0,034

65,845

0,000

8

0,001

0,015

65,845

0,000

9

0,070

0,062

67,202

0,000

10

0,121

0,074

71,280

0,000

11

0,061

-0,055

72,236

0,000

12

-0,008

0,026

72,253

0,000

Таблиця 8.3. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для мА (1) з негативним коефіцієнтом:

Autocorrelation

Partial Correlation

АС

РАС

Q-STAT

Prob

1

-0,443

-0,443

52,110

0,000

2

-0,016

-0,264

52,179

0,000

3

-0,009

-0,180

52,199

0,000

4

-0,013

-0,143

52,247

0,000

5

0,024

-0,079

52,399

0,000

6

0,002

-0,041

52,401

0,000

7

-0,067

-0,115

53,628

0,000

8

0,052

-0,058

54,359

0,000

9

-0,043

-0,093

54,862

0,000

10

0,077

0,011

56,489

0,000

11

0,013

0,069

56,533

0,000

12

-0,088

-0,034

58,694

0,000

У табл. 8.3 також представлена ​​діаграма автокореляційних функцій ковзної середньої першого порядку. Коефіцієнт при першому лагу процесу по модулю рівний коефіцієнту попереднього процесу, але протилежний за знаком. Цей факт виражається в негативній кореляції першого лага автокореляційної функції. Приватна автокореляційна функція, як повинно бьггь у процесу ковзної середньої, убуває по експоненті.

У табл. 8.4 представлені функції ковзної середньої другого порядку. Як очевидно з діаграми, значуща автокорреляция є тільки з двома першими лагами. Більш того, зауважимо, що оскільки обидва коефіцієнта в моделі позитивні, кореляція з двома першими лагами також позитивна.

Таблиця 8.4. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для

Autocorrelation

Partial Correlation

АС

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,602

0,602

96,296

0,000

2

0,225

-0,215

109,80

0,000

3

-0,040

-0,123

110,23

0,000

4

-0,059

0,119

111,16

0,000

5

-0,068

-0,093

112,42

0,000

6

-0,080

-0,055

114,15

0,000

7

-0,073

0,028

115,59

0,000

8

0,008

0,076

115,60

0,000

9

0,079

0,025

117,30

0,000

10

0,122

0,049

121,40

0,000

11

0,080

-0,030

123,18

0,000

12

0,006

-0,045

123,19

0,000

Таблиця 8.5. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для

Autocorrelation

Partial Correlation

АС

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,696

0,696

128,91

0,000

2

0,462

-0,043

186,00

0,000

3

0,290

-0,031

208,48

0,000

4

0,173

-0,011

216,52

0,000

5

0,101

0,001

219,30

0,000

6

0,049

-0,019

219,93

0,000

7

0,027

0,015

220,13

0,000

8

0,063

0,093

221,22

0,000

9

0,087

0,017

223,30

0,000

10

0,114

0,043

226,88

0,000

11

0,080

-0,069

228,66

0,000

12

0,032

-0,038

228,94

0,000

У табл. 8.5 можемо побачити вибіркові автокорреляции для найпростішого авторегресійного процесу першого порядку. Як уже зазначалося, порядок авторегрессионной функції може бути знайдений за кількістю ненульових лагов приватної автокореляційної функції. В даному модельному прикладі це наочно видно. Значна кореляція є тільки з першим лагом. При цьому автокореляційна функція, як і говорилося раніше, убуває по експоненті.

У табл. 8.6 представлені діаграми функцій для авторегресійного процесу першого порядку з негативним коефіцієнтом. Заперечність коефіцієнта наочно відображається в негативній значущою кореляції з першим лагом.

Таблиця 8.6. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для AR (1) з негативним коефіцієнтом:

Autocorrelation

Partial Correlation

АС

РАС

Q-STAT

Prob

1

-0,676

-0,676

121,51

0,000

2

0,469

0,023

180,33

0,000

3

-0,337

-0,022

210,80

0,000

4

0,229

-0,022

224,96

0,000

5

-0,172

-0,028

232,95

0,000

6

0,129

0,003

237,48

0,000

7

-0,133

-0,069

242,28

0,000

8

0,102

-0,034

245,12

0,000

9

-0,067

0,020

246,34

0,000

10

0,057

0,020

247,24

0,000

11

0,025

0,128

247,41

0,000

12

-0,079

-0,043

249,16

0,000

Таблиця 8.7. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для

Autocorrelation

Partial Correlation

AC

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,321

0,321

27,495

0,000

2

0,082

-0,024

29,301

0,000

3

-0,009

-0,032

29,324

0,000

4

-0,037

-0,026

29,700

0,000

5

-0,032

-0,011

29,984

0,000

6

-0,056

-0,046

30,839

0,000

7

-0,071

-0,044

32,204

0,000

8

0,016

0,060

32,273

0,000

9

0,047

0,028

32,877

0,000

10

0,111

0,089

36,292

0,000

11

0,054

-0,015

37,110

0,000

12

-0,018

-0,043

37,204

0,000

У табл. 8.7 представлені автокореляційні діаграми авторегрессионной моделі першого порядку з коефіцієнтом 0,3. Порядок моделі наочно можна визначити з приватної автокореляційної функції. Зауважимо, що якщо порівняти коррелограмм цієї моделі з коррелограмм моделі, представленої на таблиці 8.5, то можна побачити, що менше за модулем значення коефіцієнта відбилося в меншій кореляції приватної автокореляційної функції з першим лагом.

У табл. 8.8 представлені діаграми вибіркових функцій кореляцій авторегресійного процесу другого рівня. Обидва коефіцієнта в моделі позитивні, тому існує значна позитивна кореляція з двома першими лагами. Зауважимо, що автокореляційна функція не убуває по експоненті. Цей факт наштовхує на думку про нестаціонарності ряду.

Таблиця 8.8. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для

Autocorrelation

Partial Correlation

АС

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,945

0,945

237,47

0,000

2

0,931

0,358

468,98

0,000

3

0,900

-0,033

686,06

0,000

4

0,877

-0,007

892,85

0,000

5

0,853

0,025

1089,6

0,000

6

0,832

0,013

1277,2

0,000

7

0,808

-0,017

1455,2

0,000

8

0,794

0,070

1627,4

0,000

9

0,772

-0,016

1791,0

0,000

10

0,755

-0,012

1947,9

0,000

11

0,729

-0,071

2094,9

0,000

12

0,702

-0,086

2231,7

0,000

Таблиця 8.9. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для

Autocorrelation

Partial Correlation

АС

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,441

0,441

51,829

0,000

2

-0,144

-0,420

57,345

0,000

3

-0,277

-0,002

77,927

0,000

4

-0,117

-0,004

81,589

0,000

5

0,021

-0,031

81,712

0,000

6

-0,003

-0,080

81,715

0,000

7

-0,068

-0,039

82,974

0,000

8

-0,024

0,039

83,126

0,000

9

0,062

0,018

84,184

0,000

10

0,129

0,085

88,772

0,000

11

0,075

-0,017

90,317

0,000

12

-0,009

0,026

90,340

0,000

У табл. 8.9 можна побачити діаграми функцій для авторегресійного процесу другого порядку. Коефіцієнти в моделі мають різні знаки, що відбивається в різних знаках значущою кореляції перших двох лагов приватної автокореляційної функції. Крім того, модуль автокореляційної функції, як було описано в теорії, убуває по експоненті.

У табл. 8.10 представлені дані стандартного процесу ARMA (1, 1). Автокореляційна функція і модуль значень приватної автокореляційної функції процесу убуває по експоненті. Зауважимо, що до 12-му лагу обидві кореляційні функції зменшуються майже до нульового рівня.

Таблиця 8.10. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для

Autocorrelation

Partial Correlation

АС

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,835

0,835

185,55

0,000

2

0,559

-0,458

268,96

0,000

3

0,356

0,241

302,87

0,000

4

0,216

-0,166

315,46

0,000

5

0,125

0,098

319,69

0,000

6

0,066

-0,076

320,89

0,000

7

0,048

0,128

321,52

0,000

8

0,070

0,019

322,85

0,000

9

0,101

0,031

325,67

0,000

10

0,115

-0,020

329,30

0,000

11

0,088

-0,085

331,47

0,000

12

0,046

0,043

332,05

0,000

Таблиця 8.11. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для процесу випадкового блукання:

Autocorrelation

Partial Correlation

AC

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,975

0,975

252,65

0,000

2

0,948

-0,025

492,88

0,000

3

0,922

-0,030

720,55

0,000

4

0,896

0,019

936,73

0,000

5

0,873

0,027

1142,7

0,000

6

0,850

-0,009

1338,7

0,000

7

0,828

0,007

1525,4

0,000

8

0,810

0,064

1704,7

0,000

9

0,790

-0,048

1876,0

0,000

10

0,770

-0,018

2039,1

0,000

11

0,745

-0,091

2192,6

0,000

12

0,719

-0,041

2335,9

0,000

У табл. 8.11 представлені вибіркові автокорреляционная і приватна автокореляційна функції процесу випадкового блукання. Модель випадкового блукання - класичний приклад нестаціонарного ряду. Як можна побачити, нестаціонарність ряду відбивається в дуже повільному убуванні автокореляційної функції. Цікаво зауважити, що, по суті, процес випадкового блукання є Авторегрессіонний процесом з одиничним коефіцієнтом. Приватна автокореляційна функція і в цьому прикладі добре визначає порядок авторегрессионной функції.

У табл. 8.12 представлені кореляційні дані модельного прикладу білого шуму. Ні в автокореляційної функції, ні у приватній автокореляційної функції не спостерігається значної кореляції з жодним з лагов.

Таблиця 8.12. Вибіркові автокорреляция і приватна автокорреляция для процесу білого шуму:

Autocorrelation

Partial Correlation

АС

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,026

0,026

0,1880

0,000

2

-0,011

-0,012

0,2203

0,000

3

-0,021

-0,020

0,3362

0,000

4

-0,030

-0,029

0,5748

0,000

5

-0,008

-0,007

0,5917

0,000

6

-0,033

-0,034

0,8972

0,000

7

-0,072

-0,072

2,3182

0,000

8

0,024

0,026

2,4761

0,000

9

0,016

0,012

2,5497

0,000

10

0,095

0,091

5,0685

0,000

11

0,040

0,033

5,5093

0,000

12

-0,048

-0,048

6,1559

0,000

Щоб відповісти на питання, чи є ряд стаціонарним, можна скористатися тестом Дікі - Фуллера .

Стандартний тест Дікі - Фуллера полягає в перевірці гіпотези стаціонарності часового ряду.

В рамках тесту розглядається модель

(8.7)

де а = р Т.

Нульова і альтернативна гіпотеза записуються в наступному вигляді:

Оцінка відбувається на базі статистики Стьюдента де - оцінка а; - стандартне відхилення.

У 1979 р Д. Дікі і У. Фуллер [Dickey, Fuller ] показали, що за умови наявності одиничного кореня розглянута статистика не підкоряється розподілу Стьюдента. Виявилося, що простий тест Дікі - Фуллера застосуємо тільки для моделей AR (1).

У розширеному тесті Дікі - Фуллера (ADF) враховується кореляція лагов вищих порядків шляхом припущення про те, що у, описується моделлю AR (р) і додаванням різниць порядку р в праву частину рівнянь

(8.8)

Фуллер довів, що асимптотическое розподіл ί-статистики для а не залежить від кількості лагів різниць, включених в ADF-тест. Більш того, в 1984 р Дікі довів, що есліу, описується моделлю AR (р), то ADF-тест асимптотично ефективний при присутності МА компонент.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук