Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Модель ARIMA

Модель ARIMA певною мірою є розширеною версією моделі ARMA. Символ I ( Integrated ) відповідає за порядок оператора послідовної різниці. Справа в тому, що далеко не всі ряди є стаціонарними, але деякі з них можуть бути приведені до стаціонарних шляхом взяття послідовної різниці. Якщо, наприклад, часовий ряд у, став стаціонарним після взяття послідовної різниці порядку s і для опису вже стаціонарного ряду може бути використана модель ARMA (р, q), то процесу, називається інтегрованим процесом авторегресії і ковзної середньої (ARIMA (р, s, q)).

При цьому для оцінки моделі можна користуватися кілька модифікованим підходом Боксу - Дженкінса. Безпосередньо перед першим етапом необхідно буде привести досліджуваний ряд до стаціонарного шляхом взяття послідовних різниць. Решта етапи підходу не зміняться, після цього стаціонарний ряд потрібно буде ідентифікувати, оцінити, діагностувати і використовувати.

Приклади взяття послідовної різниці

Розглянемо приклади найпростіших нестаціонарних часових рядів, які можуть бути приведені до стаціонарних шляхом взяття послідовної різниці.

1. Рівняння з трендом

Часовий ряд з трендом має вигляд

де a + βt - тимчасової тренд; ut - білий шум.

Таким чином, часовий тренд складається з детермінованою складової лінійного тренда і випадкової складової білого шуму (рис. 8.7). Знайдемо математичне сподівання тимчасового тренда:

Тренд (модельний приклад)

Мал. 8.7. Тренд (модельний приклад)

Як очевидно, математичне очікування залежить від часу, отже, ряд не є стаціонарним.

Для того щоб привести ряд з лінійний трендом до стаціонарного, потрібно взяти першу різницю:

Можливий тимчасової ряд з квадратичним тимчасовим трендом і тимчасовими трендами вищих порядків. Для приведення їх до стаціонарного ряду необхідно взяття послідовної різниці тих же порядків. Так, наприклад, щоб привести до стаціонарного тимчасової квадратичний тренд, потрібно двічі взяти послідовну різниця:

де друга послідовна різниця - стаціонарний ряд.

2. Випадкове блукання

Модель випадкового блукання вже описувалася раніше. Рівняння моделі має вигляд

де і t - білий шум.

Випадкове блукання - класичний приклад нестаціонарного ряду. Однак, щоб привести його до стаціонарного, потрібно просто взяти першу різницю:

Перша різниця випадкового блукання дорівнює білого шуму, отже, стаціонарне за визначенням.

3. Часовий ряд з сезонністю •

Сезонність часто зустрічається в статистичних даних.

У різних процесах сезонна складова може зустрічатися практично з будь-якою частотою: місячна сезонна компонента, квартальна сезонна компонента, піврічна сезонна компонента:

де

або

де

Сезонність (модельний приклад)

Мал. 8.8. Сезонність (модельний приклад)

Для того щоб привести з сезонність до стаціонарного ряду, необхідно взяти сезонну послідовну різницю. Так, наприклад, для квартальної сезонної компоненти

При цьому сезонна послідовна різниця Δ4 у, буде стаціонарним тимчасовим поруч (рис. 8.8).

Приклад побудови моделі ARIMA

Як ілюструє приклад використовуємо модель ARIMA для ряду значень індексу DAX з 2 квітня 1998 р 23 жовтня 2007 р (рис. 8.9).

Першим кроком необхідно визначити, чи є даний ряд стаціонарним. Візуально аналіз графіка ряду не говорить про стаціонарності ряду. Необхідно провести додатковий аналіз.

Другим кроком має бути побудова діаграми вибіркових автокорреляционной і приватної автокореляційної функцій.

Індекс DAX з 2 квітня 1998 р по 23 жовтня 2007 р

Мал. 8.9. Індекс DAX з 2 квітня 1998 р по 23 жовтня 2007 р

Таблиця 8.13. Діаграма автокореляційних функцій по лагам для DAX

Autocorrelation

Partial Correlation

AC

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,998

0,998

2403,2

0,000

2

0,995

0,004

4795,6

0,000

3

0,993

0,003

7177,5

0,000

4

0,990

0,028

9549,5

0,000

5

0,988

-0,020

11 911

0,000

6

0,986

0,002

14 263

0,000

7

0,984

0,028

16 604

0,000

8

0,981

0,025

18 937

0,000

9

0,979

-0,018

21 261

0,000

10

0,977

0,029

23 576

0,000

11

0,975

0,017

25 883

0,000

12

0,973

-0,012

28 181

0,000

13

0,971

0,013

30 471

0,000

14

0,969

0,005

32 753

0,000

15

0,967

-0,032

35 027

0,000

16

0,965

-0,020

37 291

0,000

17

0,963

-0,007

39 546

0,000

18

0,961

-0,011

41 791

0,000

19

0,959

0,001

44 027

0,000

20

0,956

-0,002

46 253

0,000

21

0,954

-0,024

48 469

0,000

22

0,952

0,005

50 676

0,000

23

0,949

0,021

52 873

0,000

24

0,947

0,001

55 061

0,000

У разі стаціонарного ряду коррелограмм повинна досить швидко спадати в міру збільшення лагов. Якщо ж вона убуває досить повільно, є підстави вважати, що ряд нестационарен. Ця ж логіка застосовна і для приватної автокореляційної функції.

Як очевидно з коррелограмми, значення вибіркової автокореляційної функції практично не зменшується в міру зростання лагов, що дає ще більші підстави припустити, що ряд нестационарен (рис. 8.10). Більш того, коррелограмм ряду схожа на коррелограмм моделі випадкових блукань.

Для того щоб переконатися в нестаціонарності ряду, проведемо розширений тест Дікі - Фуллера (ADF) (табл. 8.14).

Виходячи зі специфіки роботи біржі (п'ятиденний робочий тиждень), в модель включається п'ять лагов.

Таблиця 8.14. Розширений тест Дікі - Фуллера для DAX

t-Statistic

Prob *

Augmented Dickey-Fuller test statistic

0,527600

0,8298

Test critical values

1% level

-2,565923

5% level

-1,940955

10% level

-1,616611

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob

DAX (-1)

0,000152

0,000289

0,527600

0,5978

D (DAX (-1))

0,004954

0,020418

0,242647

0,8083

D (DAX (-2))

-0,005194

0,020403

-0,254585

0,7991

D (DAX (-3))

-0,035070

0,020391

-1,719878

0,0856

D (.DAX (-4))

0,036710

0,020398

1,799649

0,0720

D (.DAX (-5))

-0,009063

0,020408

-0,444063

0,6570

R-squared

0,002591

Mean dependent var

1,084838

Adjusted R-squared

0,000513

SD dependent var

75,84971

SE of regression

75,83027

Akaike info criterion

11,49736

Sum squared resid

13 800 550

Schwarz criterion

11,51179

Log likelihood

-13 825,33

Hannan - Quinn criterion

11,50261

Durbin - Watson stat

2,000697

Null Hypothesis: DAX has a unit root. Exogenous: None.

Lag Lengs: 5 (Fixed).

Графік одноденних збільшень індексу DAX з 2 квітня 1998 р по 23 жовтня 2007 р

Мал. 8.10. Графік одноденних збільшень індексу DAX з 2 квітня 1998 р по 23 жовтня 2007 р

Як можна побачити з статистики Дарбіна - Уотсона , проблеми з автокореляцією немає. Частина коефіцієнтів при лагах виявилися незначними. Проте, є підстави вважати, що одиничний корінь є.

Побудуємо розширений тест Дікі - Фуллера для першої різниці ряду. Зауважимо, що перші різниці індексів DAX також мають економічний сенс. Цей ряд показує одноденні абсолютні збільшення індексу DAX (табл. 8.15).

Таблиця 8.15. Розширений тест Дікі - Фуллера для одноденних збільшень індексу DAX

t-Statistic

Prob *

Augmented Dickey - Fuller test statistic

-20,95237

0,0000

Test critical values

1% level

-2,565924

5% level

-1,940955

10% level

-1,616611

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob

DAX (-1)

-1,052751

0,050245

-20,95237

0,0000

D (DAX (-1), 2)

0,057400

0,045858

1,251669

0,2108

D (DAX (-2), 2)

0,054322

0,041098

1,321766

0,1864

D ( DAX (-3), 2)

0,018049

0,035259

0,511905

0,6088

D (DAX (-4), 2)

0,054415

0,028755

1,892346

0,0586

D (DAX (-5), 2)

0,045590

0,020385

2,236410

0,0254

R-squared

0,500551

Mean dependent var

0,002166

Adjusted R-squared

0,499510

SD dependent var

107,0945

SE of regression

75,76430

Akaike info criterion

11,49562

Sum squared resid

13 770 809

Schwarz criterion

11,51006

Log likelihood

-13 817,49

Hannan - Quinn criterion

11,50087

Durbin - Watson stat

2,002092

Null Hypothesis: D (DAX) has a unit root. Exogenous: None.

Lag Lengs: 5 (Fixed).

Ряд перших різниць індексу DAX стационарен. Значить, ряд індексів DAX має перший порядок інтегрованості. Побудуємо коррелограмм перших різниць ряду DAX.

Таблиця 8.16. Діаграма автокореляційних функцій по лагам для перших різниць DAX

Autocorrelation

Partial Correlation

AC

РАС

Q-STAT

Prob

1

0,004

0,004

0,0347

0,852

2

-0,006

-0,006

0,1140

0,945

3

-0,035

-0,035

3,0371

0,386

4

0,037

0,037

6,2886

0,179

5

-0,008

-0,009

6,4550

0,264

6

0,045

-0,046

11,334

0,079

7

-0,030

-0,027

13,473

0,061

8

0,024

0,022

14,921

0,061

9

-0,009

-0,012

15,122

0,088

10

-0,008

-0,007

15,288

0,122

11

0,010

0,013

15,551

0,159

12

-0,023

-0,029

16,872

0,154

Як очевидно з коррелограмми, не спостерігається статистично значущою кореляції ні з одним з лагов. Більш того, діаграма автокореляційної функції дуже схожа на модельний приклад коррелограмми білого шуму.

Мабуть, найбільш адекватною моделлю значень ряду DAX є ARIMA (0, 1, 0).

В цьому випадку не має сенсу користуватися інформаційними критеріями, оскільки додавання до процесу навіть одного параметра якісним чином змінює суть моделі.

Адекватність отриманої моделі можна перевірити по залишкам. Адже, як ми вже говорили раніше, залишки моделі є білим шумом. Отже, залишки регресії теж повинні бути білим шумом. Тобто залишки повинні мати нульову автокореляції.

У табл. 8.16 в п'ятій графі представлені значення статистики Л'юнга - Боксу . Нагадаємо, що це тест, який перевіряє гіпотезу про рівність нулю відразу декількох значень автокореляційної функції залишків. Як очевидно з таблиці, на 5% -му рівні значущості нульова гіпотеза відкидається для всіх 12 лагов. У залишках виразно присутня автокорреляция. Для аналізу ряду ми повинні користуватися більш потужним апаратом.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук