Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Моделі ARCH і GARCH

Як правило, гетероскедастичності пов'язують з просторовими даними, а при аналізі часових рядів апріорі вважають, що виконується умова гомоскедастичність. Однак припущення про гомоскедастичність часових рядів не завжди обгрунтовано. У своїй роботі Р. Енгл [ Engle (1982)], аналізуючи макроекономічні дані, зауважив, що порушення сталості дисперсії в тимчасових рядах трапляються частіше, ніж прийнято вважати. Це пов'язано з тим, що в деяких тимчасових рядах існує схильність до кластеризації відхилень від середніх значень. Великі і малі відхилення як би чергуються з плином часу.

Для аналізу подібних рядів Енгл запропонував користуватися формою гетероскедастичності, коли він наступні значення відхилень будуть залежати від величин попередніх. Подібний підхід автор назвав моделлю ARCH (моделлю умовної авторегрессионной гетероскедастичності). Надалі ця модель була перевірена і випробувана дослідниками. Так, Н. Колсон і Р. Робінс [ Coulson, Robins (1985)] використовували цю модель для вивчення інфляції; Р. Енгл, Д. Хендрі, Д. Трамбал [ Engle, Hendry, Trumbull (1985)] за допомогою ARCH -моделі досліджували структуру процентних ставок; Р. Енгл, Д. Лільен, Р. Робінс [Engle, Lilien, Robins (1987)] досліджували зміни ринкових доходностей; поведінку обмінних курсів досліджувалося Я. Домовітцом, К. Хакке [ Domowitz, Hakkio (1985)].

Модель ARCH

У моделях типу ARCH використовувані ряди передбачаються стаціонарними. Найпростіша форма моделі ARCH, модель ARCH, (1) виглядає наступним чином:

де щ розподілені по стандартному нормальному розподілу. Отже, , тому . Тобто в контексті даної моделі випадкові залишки не залежать від значень факторів, що входять в модель регресії.

Ця модель є класичною регресійної моделлю. Однак

Таким чином, ε, - умовна гетероскедастичності по відношенню до . Безумовною дисперсією ε, буде

У разі якщо "обурення" в процесі проходять слабо стаціонарно, то безумовна дисперсія не змінюється з часом і визначається за формулою

Це відношення буде кінцевим І позитивним, якщо | a1 | буде менше одиниці. Тоді ε, буде розподілено з нульовим середнім і дисперсією

Замість of в літературі часто використовують h t. В такому випадку модель ARCH (1) буде виглядати наступним чином:

де

Як було показано вище, модель ARCH задовольняє класичним припущенням і звичайний метод найменших квадратів дає кращу лінійну несмещенную оцінку параметра β.

Однак може існувати найкраща нелінійна оцінка. Логарифмічна функція правдоподібності для цієї моделі була задана Енгл:

(8.14)

Якщо розширити найпростішу модель умовної гетероскедастичності до τ лагов, отримаємо модель ARCH (τ):

(8.15)

Існує інший спосіб опису стандартної моделі ARCH. Для прикладу використовуємо модель ARCH (1):

де

Незважаючи на те, що на перший погляд два представлених способу опису моделі ARCH відрізняються, можна показати, що це одне і те ж. Справді, якщо v, підпорядковується нормальному розподілу з нульовим середнім і одиничною дисперсією, то і, також буде підкорятися нормальному розподілу з нульовим середнім і дисперсією а2.

Пізніше P. Енгл, Д. Лільеном і Д. Робінс [Engle, Lilien, Robins (1987)] була запропонована модифікація стандартної моделі ARCH - модель ARCH-M:

(8.16)

Однією цікавою особливістю модифікованої моделі є те, що при виконанні основних припущень коефіцієнт 6 може трактуватися як коефіцієнт відносної схильності до ризику.

Незабаром після своєї появи моделі ARCH-M були випробувані в ряді досліджень. Так, наприклад К. Френч з співавторами [French, Schwert, Stambaugh (1987)] використовували моделі для вивчення коливань Standart and Poor's Index; P. Чоу [Chou (1988)] випробував модель при вивченні доходностей Нью-Йоркської фондової біржі.

Модель ARCH-M має кілька вартих уваги статистичних особливостей. На відміну від стандартної регресійній моделі помилка специфікації дисперсионной функції впливає на спроможність оцінки параметрів середнього. Нагадаємо, що в класичній регресійній установці зважений метод найменших квадратів дає заможну оцінку до тих пір, поки ваги не корелюють з збуреннями. У цій моделі все буде по-іншому. Якщо в ARCH- частини моделі була зроблена помилка специфікації, то оцінки β і δ НЕ будуть спроможні. Т. Боллерслев, Р. Чоу і К. Кронер [Bollerslev, Chou, Kroner (1992)] привели ряд досліджень, в яких вирішувалося питання специфікації моделі ARCH-M, і після переспеціфікаціі моделей ними були отримані абсолютно інші результати.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук