Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Умова невід'ємності коефіцієнтів

Оскільки h 2t - умовна дисперсія, її значення в будь-який момент часу має бути суто позитивно. Негативна дисперсія безглузда. Для того щоб бути впевненими, що результат отриманий при позитивній умовної дисперсії, зазвичай вводять умова невід'ємності коефіцієнтів регресії. Наприклад, для моделі ARCH (х) всі коефіцієнти повинні бути невід'ємними: АI> 0 для будь-яких и = 0,1, 2, ..., q. Можна показати, що це достатня, але не необхідна умова невід'ємності умовної дисперсії.

Моделі ARCH зробили серйозний вплив на розвиток апарату аналізу часових рядів. Однак модель ARCH в первісному вигляді рідко використовується останнім часом. Це пов'язано з тим, що при застосуванні цих моделей виникає ряд проблем.

  • • Як має перебувати значення параметра q, що визначає кількість лагів квадратів залишків в моделі? Підхід полягає в тому, щоб використовувати метод максимальної правдоподібності, хоча це не завжди є найкращим способом.
  • • Значення τ кількості лагів квадратів помилок, яке необхідно для того, щоб охопити всі залежності в умовній дисперсії, може бути дуже велике. Енгл обійшов цю проблему тим, що використовував специфікацію моделі, в якій штучно обмежив довжину лагов в моделі таким чином, що в умовній дисперсії є тільки два параметри, в той час як в необмеженої моделі ARCH (4) потрібно було б використовувати п'ять параметрів.
  • • Обмеження на неотрицательность може порушуватися. Чим більше параметрів в рівнянні умовної дисперсії, тим більша ймовірність того, що деякі з них будуть негативними.

Деяких з цих проблем можна уникнути за допомогою моделі GARCH, яка представляє собою природну модифікацію моделі ARCH. На відміну від моделі ARCH моделі GARCH широко використовуються на практиці.

Для того щоб визначити, чи є помилки в моделі умовно гетероскедастичними, можна провести наступну процедуру.

  • 1. Застосувати МНК до рівняння регресії і отримати залишки ε (.
  • 2. За допомогою МНК оцінити регресію
  • 3. За допомогою F-тесту перевірити гіпотезу Н0: b 0 = b 1 = ... = b р = 0.

Модель GARCH

Модель GARCH була запропонована T. Боллерслевом [ Bollerslev (1986)]. У цій моделі передбачається, що умовна дисперсія буде залежати також від власних лагів. Найпростіша форма моделі GARCH виглядає наступним чином:

Це модель виду GARCH (1, 1) (оскільки використовують перші лаги і 2 і Of). Зауважимо, що модель GARCH може бути представлена у вигляді моделі ARMA для умовної дисперсії. Для того щоб переконатися в цьому, проведемо наступні математичні перетворення:

Останнє рівняння є нічим іншим, як процес ARMA (1,1) для квадрата помилок.

У чому саме полягає перевага моделей GARCH перед моделями ARCH? Основна перевага моделей GARCH полягає в тому, що для специфікації моделей GARCH потрібно менше параметрів. Отже, модель більшою мірою буде відповідати умовам позитивності.

Розглянемо умовну дисперсію моделі GARCH (1, 1):

Для τ = 1 умовної дисперсії буде виконуватися рівняння

або

Перепишемо умовну дисперсію у вигляді

Для τ = 2 відповідно буде виконуватися рівняння

Отже, умовну дисперсію можна представити у вигляді

Вона в свою чергу дорівнює

В результаті отримаємо рівняння

Перша дужка в цьому рівнянні - концстанта, причому при нескінченно великій вибірці β "буде прагнути до нуля. Отже, модель GARCH (1, 1) може бути представлена у вигляді

або

Останнє рівняння є нічим іншим, як модель ARMA. Таким чином, модель GARCH (1,1), що містить лише три параметра в рівнянні умовної дисперсії, враховує вплив на умовну дисперсію нескінченно великої кількості квадратів помилок.

Модель GARCH (1, 1) може бути розширена до моделі GARCH (р, q):

(8.17)

Необхідно відзначити, що на практиці можливостей моделі GARCH (1,1), як правило, вистачає, і не завжди доцільно користуватися моделями GARCH більш високих порядків.

Незважаючи на те, що умовна дисперсія моделі GARCH змінюється з часом, безумовна дисперсія буде постійною при a1 + β <1:

У разі якщо a1 + β> 1, безумовна дисперсія НЕ буде визначена. Цей випадок називається "нестационарностью дисперсії". У разі якщо "j + β = 1, модель буде називатися IGARCH. Нестационарность дисперсії не має суворої мотивації існування. Більш того, моделі GARCH, яких коефіцієнти привели до нестаціонарності дисперсії, можуть мати деякі більш небажані властивості. Одним з них є неможливість зробити прогноз дисперсії виходячи з моделі. Для стаціонарних моделей GARCH прогнози умовної дисперсії сходилися в довгострокове середнє значення дисперсій. Для процесу IGARCH такої збіжності не буде. Прогноз умовної дисперсії дорівнює нескінченності.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук