Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

МНК-оцінки з фіктивними змінними

Розглянемо модель з фіксованими ефектами = . Для і'-го індивіда можна записати наступне рівняння в матричної формі:

(9.27)

де и т-одиничний вектор розмірністю T.

Якщо об'єднати дані по всім індивідам, то отримаємо рівняння

(9.28)

Рівняння (9.28) можна також переписати в більш простій формі

(9.29)

де матриця D N складається з N індивідуальних фіктивних змінних, і її можна представити через твір Кронекера [1] - одинична матриця порядку N, в якій всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, а всі недіагональні елементи дорівнюють нулю.

Можна переконатися, що матриця D N має такі властивості.

У цій моделі крім того, що помилки є незалежними однаково розподіленими величинами з нульовим математичним очікуванням і постійної дисперсією, робиться припущення про те, що пояснюють змінні не залежать від помилок. Нехай Z = [D N X ] - матриця розміром NT × (N + К), яка містить усі пояснюючі змінні, включаючи N фіктивних змінних, і ця матриця повинна мати повний столбцевой ранг. Виходить, що NT має бути більше, ніж (N + К ), а це виконується у випадку з великим N і будь-яким Т> 2. Крім того, стовпці X повинні бути лінійно незалежні від D N. Це відповідає випадку, коли в матриці X t немає константи, а також будь-якого іншого шпальти, пропорційного константі, що в результаті виключає з регресії будь змінні, які є постійними в часі для конкретного індивіда, але можуть різнитися між індивідами.

При виконанні описаних вище припущень МНК-оцінки всіх регресійних коефіцієнтів в моделі & будуть кращими лінійними незміщеними оцінками. Оцінювання цієї моделі методом найменших квадратів приносить МНК-оцінки з фіктивними змінними, або LSDV-оцінки (least squares dummy variables estimators ). Зберемо все регресивні коефіцієнти в вектор ,

тоді МНК-оцінки матимуть вигляд . Для знаходження оцінки γ необхідна оборотність матриці Ζ'Ζ розміром (Ν + Κ) χ (Ν + К). Однак при великій кількості коефіцієнтів виходить занадто багато регресорів, і це викликає певні труднощі, пов'язані з оборотністю матриці регресорів розмірністю (Ν + Κ) χ (Ν + К). Застосувавши перетворення матричної алгебри, можна скоротити завдання до оборотності матриці К х К. Оцінка β-коефіцієнтів у цій моделі виявляється рівною внутрішньогрупової оцінці. Це випадок так званої теореми Фріша - У (Frisch - Waugh ) для регресії підмножини. В результаті МНК-оцінки з фіктивними змінними визначаються за формулами

(9.30)

(9.31)

Де є Ідемпотентний [2] матрицею порядку NT, яка має ранг N (T -1). Матриця W N також називається within-проектором , так як проектор W N дозволяє здійснити внутригрупповое перетворення і обчислити відхилення від індивідуальних середніх значень .

Сума квадратів помилок і дисперсія помилок в моделі з фіксованими ефектами будуть відповідно мати вигляд

(9.32)

матриця W N буде Ідемпотентний в тому випадку, коли виконується умова

(9.33)

Дисперсії оцінок коефіцієнтів β і а в моделі з фіксованими ефектами будуть відповідно визначатися за формулами

(9.34)

(9.35)

Оцінки, задані рівняннями (9.30) і (9.32), також можуть бути отримані методом найменших квадратів з трансформованої моделі

(9.36)

де

Перетворення є дуже простим: трансформовані змінні - це просто початкові змінні, виражені як відхилення від індивідуальних середніх. Тому ie рівняння, відповідне регресії (9.36), буде мати вигляд

Рівняння регресії (9.37) являє собою не що інше, як внутригрупповую модель (9.8). Виходить, що МНК-оцінки з фіктивними змінними збігаються з внутрішньогрупових оцінками а; і β-коефіцієнтів або оцінками з фіксованими ефектами

(9.38)

(9.39)

Дисперсія оцінки ά; в перетвореної моделі може бути отримана з рівняння (9.35) і буде мати вигляд

(9.40)

При роботі з перетвореними змінними необхідно пам'ятати, що справжнє число ступенів свободи буде не (NT-К), a (NT-N-К), так як при перетворенні обчислюються N індивідуальних середніх і в результаті втрачається N ступенів свободи. Отже, необхідно звертати увагу на дисперсію, яка обчислюється при застосуванні комп'ютерною програмою до перетвореним даними, і коригувати її відповідним чином.

Для коротких панелей очевидна потенційна проблема, яка полягає в тому, що не гарантована спроможність оцінок ріа, якщо є (N + до ) параметрів, які необхідно оцінити, і N прямує до нескінченності. Проте, спроможні оцінки β-коефіцієнтів можливі навіть в тому випадку, якщо індивідуальні коефіцієнти оцінені не має сенсу і поки до того ж Т не прагнутиме до нескінченності.

  • [1] Твором Кронекера матриць і називається матриця розміром , що має вигляд
  • [2] матриця W N буде Ідемпотентний в тому випадку, коли виконується умова W N W ' N = W N
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук