Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Модель з випадковими ефектами

У моделі з фіксованими ефектами неспостережувані індивідуальні ефекти були корельовані з включеними в модель пояснюють змінними. Однак іноді є підстави вважати, що індивідуальні ефекти можуть бути не корельовані з регресорів. В цьому випадку індивідуальні ефекти можна розглядати як одну зі складових помилки.

Модель з випадковими ефектами (іноді її називають моделлю з випадковими компонентами ) має вигляд

(9.46)

де і, • + sit можна розглядати як складову помилку регресії, яка містить дві компоненти: індивідуальну компоненту і; і залишковий член s it. Компонента і, представляє індивідуальну помилку (випадкове відхилення), яка є постійною в часі для Г'-го об'єкта. У моделі з випадковими ефектами робляться такі припущення щодо випадкових компонент і, • і єі (.

Розглянемо характеристики складовою помилки Помилка зі ,, матиме нульове математичне сподівання, тобто £ (зі, •,) = 0. Тоді матимуть місце такі рівності:

Таким чином, якщо представляє століття

тор помилок зі, •, для і-го індивіда, t = 1, ..., Т, то £ (ω, ω •) = Ω, де

(9.47)

Для повних панелей спостережень ковариационная матриця вектора розмірністю NT помилок може бути отримана як

(9.48)

де I N - одинична матриця розмірністю N; ® - твір Кронекера.

Виходить, що помилки в моделі з випадковими ефектами є гетероскедастичними, і якщо регресію "вценіть звичайним методом найменших квадратів, то отримані оцінки параметрів β і а будуть незміщеними і заможними, але неефективними оцінками. Для отримання ефективних оцінок параметрів β і а необхідно застосовувати узагальнений метод найменших квадратів (generalized least squares).

У разі якщо відома структура ковариационной матриці V, то рівняння регресії можна оцінювати за допомогою узагальненого методу найменших квадратів. Для цього необхідно перетворити вихідну регресію таким чином, щоб прибрати нестандартну структуру ковариационной матриці

Визначимо зважену матрицю Р = V "172 і перетворимо рівняння регресії

(9.49)

Тепер звернемо увагу на те, що

(9.50)

Для перетвореної моделі залишки матимуть однакову дисперсію по и і Т. Таким чином, якщо відомо Р, то оцінки регресії (9.46) узагальненим методом найменших квадратів будуть визначатися в такий спосіб:

(9.51)

При цьому потрібно пам'ятати, що повинно виконуватися припущення про те, що . Якщо , то оцінки, отримані за допомогою узагальненого методу найменших квадратів, будуть неспроможними.

Для моделі з випадковими ефектами можна отримати специфічну форму ваговій матриці Р = V ~ 1/2. Так як , то ми можемо переписати V як

(9.52)

де и представляє вектор порядку N, що складається з одиниць.

Це дозволяє нам написати форму для Ω-1/2 у вигляді

(9.53)

де і приймає значення між нулем і одиницею, а оператор обчислює середнє за часом значення

для відповідного вектора.

Таким чином, для отримання у " в моделі з випадковими ефектами необхідно провести відповідне перетворення, що складається в множенні кожного на :

(9.54)

Для визначення X * проводиться аналогічне перетворення

(9.55)

Тоді перетворене рівняння регресії матиме вигляд

(9.56)

де

МНК-оцінки параметрів а і β в рівнянні (9.56) складуть

(9.57)

де

Оцінка з фіксованими ефектами віднімає середні за часом значення з відповідних змінних, а перетворення для моделі з випадковими ефектами віднімає з них частку цих середніх за часом значень, де частка залежить від σ ", σΕ і числа тимчасових періодів Т. Оцінка узагальненим методом найменших квадратів просто є МНК-оцінку об'єднаної моделі (9.56).

В результаті перетворення моделі (9.56) в рівнянні регресії залишаються постійні в часі пояснюючі змінні, і це є перевагою моделі з випадковими ефектами в порівнянні з моделлю з фіксованими ефектами і перетворенням перших різниць.

У разі якщо параметр 0 = 1, то модель з випадковими ефектами збігається з моделлю з фіксованими ефектами. Якщо ж параметр 0 = 0, то це означає, що в моделі відсутні некорельованих індивідуальні компоненти дисперсії, тобто σ "= 0, і оцінка з випадковими ефектами скоротиться до МНК-оцінки об'єднаної моделі.

Оцінки узагальненого методу найменших квадратів є середньозважене значення внутрішньогрупових і міжгрупових оцінок:

(9.58)

де

Якщо λ = 1, то Оц = 0 і оцінки узагальненого методу найменших квадратів будуть збігатися з оцінками звичайного методу найменших квадратів. Якщо λ = 0, то оцінки узагальненого методу найменших квадратів будуть збігатися з МНК-оцінок з фіктивними змінними в моделі з фіксованими ефектами. Існує дві можливості.

Якщо Og = 0, тоді джерелом варіації між індивідами виступатимуть різні значення і, для і-го індивіда. Так як і, є постійними в часі, то вони будуть еквівалентні фіктивним змінним, які застосовувалися в моделі з фіксованими ефектами. Однак питання про те, чи є індивідуальні компоненти і, насправді фіксованими або випадковими, може стати спірним.

Інший випадок буде при . Якщо , тоді неспостережувані щ стають спостерігаються. Розглянемо, чому це відбувається. Так як оцінки коефіцієнтів а і β в моделі з випадковими ефектами є заможними, і якщо взяти Т спостережень для i-го індивіда, то

(9.59)

стають спостерігаються.

Якщо записати (9.59) в індивідуальних середніх, то ми отримаємо . Однак так як випадкова компонента s it буде прагнути до нуля при Т, яка прагне до нескінченності, то в результаті ми можемо визначити Таким чином, при Т → <* індивідуальні компоненти помилки п, поводяться як фіктивні змінні, які ми використовували раніше.

У разі якщо λ відрізняється від одиниці, то в результаті неефективного зважування внутрішньогрупових і міжгрупових оцінок виходять неефективні оцінки звичайним методом найменших квадратів, в цьому випадку груповий сумі квадратів надається занадто велику вагу в порівнянні з узагальненим методом найменших квадратів.

На практиці параметр Θ ніколи не відомий, проте його завжди можна знайти, якщо оцінити дисперсії помилок і σ ^, τ. е. реалізувати так званий доступний узагальнений метод найменших квадратів (feasible generalized least squares ) в тому випадку, якщо Ω невідомо. Оцінити дисперсії помилок можна, наприклад, на основі об'єднаної регресії або регресії з фіксованими ефектами.

З регресії внутрішньогрупової моделі яка не містить значень індивідуальних ефектів, можна отримати оцінку для дисперсії випадкової компоненти помилки £ it

(9.60)

З регресії груповий моделі у; на константу і х ;, де помилка має дисперсію , можна отримати оцінки

ку ДЛЯ дисперсії індивідуальної компоненти помилки Uj

(9.61)

Можливі й більш ефективні оцінки дисперсій помилок і Oj, проте ці оцінки не призведуть до збільшення ефективності оцінки . Слід звернути увагу на те, що оцінка дисперсії (9.61) може бути негативною. Але необхідно пам'ятати, що для доступного узагальненого методу найменших квадратів немає необхідності в незміщене оцінках дисперсії, а важлива спроможність цих оцінок. Якщо вони є заможними, то можна знехтувати поправками на число ступенів свободи, і обидві оцінки дисперсії вийдуть невід'ємними.

приклад

Для пояснення індивідуальної заробітної плати використовувалися дані Російського моніторингу економічного стану і здоров'я населення (РМЕЗ). База даних РМЕЗ є результати двох панельних опитувань декількох тисяч чоловік за 1992-1993 рр. (Раунди 1-4) і 1994-2008 рр. (Раунди 5-17). Частина даних РМЕЗ знаходиться в закритому доступі, але результати декількох раундів можна знайти у відкритому доступі в Інтернеті. Інформація, зібрана в РМЕЗ, стосується розмірів, джерел, структури доходів і витрат домогосподарств, зайнятості, розподілу часу, рівня освіти, стану здоров'я та інших характеристик (всього понад 500 змінних).

У нашому прикладі використовуються дані тільки трьох раундів: 7-9 раундів, що проводилися в 1996-2000 рр., В ході яких були обстежені одні і ті ж домашні господарства. Чисельність опитаних респондентів відрізнялася по раундах. Так в 7, 8 і 9-м раундах бьіо опитано 8342, 8699 і 9074 дорослих респондентів відповідно. З цієї сукупності спочатку були обрані ті респонденти, які брали участь у всіх трьох розглянутих раундах РМЕЗ (7-9 раунди). Оскільки основна увага в нашому прикладі зосереджена на вивченні характеристик зайнятого населення, то в подальшу вибірку були включені респонденти, які мали роботу і дійсно отримували протягом останнього місяця заробітну плату за основним місцем роботи. Для того щоб оцінити рівняння заробітної плати, з вибірки, що об'єднує зайнятих, були виключені ті, у кого не бьіо повного набору змінних, необхідних для подальшого дослідження. Дані 7-9 раундів, об'єднані по респондентам, були перевірені на те, чи узгоджуються характеристики респондентів, заявлені ними в попередніх раундах, з їх власними характеристиками, оголошеними в наступних раундах. Респонденти, у яких були виявлені суперечливі дані по основним індивідуальних характеристик, таким, як вік, стать, рівень освіти, були також виключені з вибірки. В результаті в підсумковій вибіркою були залишені 870 респондентів, що мають роботу.

Традиційно норми віддачі від інвестицій в людський капітал розраховуються на базі стандартного рівняння заробітної плати Мінцера

В якості залежної змінної виступає логарифм заробітної плати lnW. Мінлива SCH характеризує рівень освіти і позначає число років навчання, скоригованих за досягнутим рівнем освіти. Кожному рівню освіти відповідає середнє число років навчання: початкове і неповну середню освіту (8 років і менше), повну загальну середню освіту (10 років), професійно-технічне навчання з середньою освітою (11,5 років), середню спеціальну (13 років), закінчена вища (15 років) і фундаментальну наукову (аспірантура) освіту (18 років). Мінлива ЕХР характеризує досвід роботи індивіда на ринку праці, що вимірюється в роках.

Коефіцієнт β1 при змінної SCH представляє оцінку норми віддачі від інвестицій в освіту, яка передбачається постійної в даній моделі. Опуклість спостережуваних профілів заробітної плати виражається через квадратичну форму професійного досвіду. В цьому випадку коефіцієнти β2 і β3 при змінних ЕХР і ЕХР 2 мають позитивний і негативний знак відповідно.

Слід зазначити, що в 1996-2000 рр. в Росії, країні з перехідною економікою, заробітна плата часто видавалася в негрошовій формі і мав місце високий рівень інфляції. У цих умовах розглядалися заробітки індивідів, одержані як у грошовій, так і негрошовій формах за основним місцем роботи протягом останніх 30 днів перед опитуванням, скориговані і приведені до порівнянної увазі за допомогою відповідних індексів зростання цін.

Крім зазначених вище змінних, в модель як пояснюють змінних також було включено кілька фіктивних змінних. Всі змінні, включені в модель індивідуальної заробітної плати, представлені в табл. 9.1.

Таблиця 9.1. Змінні, включені в модель індивідуальної заробітної плати

LN _ WPH

Логарифм погодинної заробітної плати

SCH

Число років навчання (рівень освіти)

ЕХР

Досвід роботи індивіда на ринку праці

ЕХР_2

Досвід роботи індивіда на ринку праці в квадраті

фіктивні змінні

GEN

Пол (1 - чоловічий; 0 - жіночий)

RUS

Належність місця роботи індивіда до приватного бізнесу (1 - власниками підприємства є російські приватні фірми, російські приватні особи або колектив підприємства; 0 - в іншому випадку)

UNSKILL

Професійна кваліфікація (1 - некваліфіковані робітники; 0 - в іншому випадку)

Регіональні фіктивні змінні

NW

Північний і Північно-Західний райони

CENTR

Центральний і Центрально-Чорноземний райони

VOL

Волго-В'ятський і Поволзький райони

CAUCAS

північний Кавказ

URAL

Урал

WSIB

Західна сибірь

FAREAST

Східний Сибір і Далекий Схід

Таким чином, в моделі присутні фіктивні змінні за статевою ознакою, приналежності до приватного бізнесу, наявності професійної кваліфікації та приналежності до певного регіону.

Регіональні фіктивні змінні приймають значення 1 в тому випадку, якщо індивід належить відповідного регіону, і 0 - в іншому випадку. У даних РМЕЗ використовувалося територіальний поділ Росії на наступні вісім районів: міста-мегаполіси (Москва і Санкт-Петербург), Північний і Північно-Західний райони, Центральний і Центрально-Чорноземний райони, Волго Вятський і Поволзький райони, Північний Кавказ, Урал, Західна Сибір, Східний Сибір і Далекий Схід. За базу порівняння прийняті міста-мегаполіси Москва і Санкт-Петербург, і коефіцієнти при регіональних фіктивних змінних будуть показувати, наскільки середній логарифм погодинної заробітної плати відповідного регіону відрізняється від середнього логарифма погодинної заробітної плати для Москви і Санкт-Петербурга.

Об'єднана модель індивідуальної заробітної плати буде мати вигляд

де і

Рівняння регресії об'єднаної моделі містить 13 регресорів і буде оцінюватися на основі даних з 2610 спостережень.

Результати оцінювання рівняння заробітної плати представлені в табл. 9.2. У першій графі таблиці представлені міжгрупові оцінки параметрів моделі, засновані на індивідуальних середніх, а в другій графі - внутрішньо групові оцінки параметрів моделі, засновані на відхиленнях від індивідуальних середніх. У третій графі таблиці розміщені результати оцінювання об'єднаної моделі за допомогою звичайного методу найменших квадратів, а в четвертій графі - результати застосування доступного узагальненого методу найменших квадратів для оцінювання випадкових ефектів.

Таблиця 9.2. Результати оцінювання рівняння заробітної плати (в круглих дужках вказані стандартні помилки)

Залежна змінна LN _ WPH

змінна моделі

межгрупповая оцінка

оцінка з фіксованими ефектами

мнк-

оцінка

оцінка з випадковими ефектами

Константа

  • 1,3899
  • (0,1669)

-

  • 1,4285
  • (0,1245)
  • 1,4697
  • (0,1611)

SCH

  • 0,0812
  • (0,0095)

-

  • 0,0812
  • (0,0071)
  • 0,0815
  • (0,0094)

ЕХР

  • 0,0189
  • (0,0079)
  • -0,0057
  • (0,0190)
  • 0,0183
  • (0,0058)
  • 0,0170
  • (0,0073)

ЕХР_2

  • -0,0005
  • (0,0002)
  • -0,0006
  • (0,0004)
  • -0,0005
  • (0,0001)
  • -0,0005
  • (0,0001)

GEN

  • 0,3112
  • (0,0444)

-

  • 0,3153
  • (0,0337)
  • 0,3186
  • (0,0444)

RUS

  • 0,3232
  • (0,0575)
  • 0,1324
  • (0,0488)
  • 0,2561
  • (0,0356)
  • 0,2072
  • (0,0373)

UNSKILL

  • -0,2950
  • (0,0909)
  • -0,1481
  • (0,1043)
  • -0,2639
  • (0,0611)
  • -0,2311
  • (0,0687)

NW

  • -0,3772
  • (0,1021)

-

  • -0,3856
  • (0,0775)
  • -0,3937
  • (0,1023)

CENTR

  • -0,6371
  • (0,0837)

-

  • -0,6396
  • (0,0635)
  • -0,6421
  • (0,0838)

VOL

  • -0,7204
  • (0,0875)

-

  • -0,7295
  • (0,0663)
  • -0,7365
  • (0,0872)

CAUCAS

  • -0,8617
  • (0,1062)

-

  • -0,8695
  • (0,0806)
  • -0,8771
  • (0,1064)

Залежна змінна LN _ WPH

змінна моделі

межгрупповая оцінка

оцінка з фіксованими ефектами

мнк-

оцінка

оцінка з випадковими ефектами

URAL

  • -0,4356
  • (0,0859)

-

  • -0,4396
  • (0,0652)
  • -0,4428
  • (0,0860)

WESTS1B

  • -0,2427
  • (0,1044)

-

  • -0,2551
  • (0,0792)
  • -0,2652
  • (0,1044)

FAREAST

  • -0,5058
  • (0,1088)

-

  • -0,5057
  • (0,0826)
  • -0,5070
  • (0,1091)

Всі оцінені рівняння регресії виявилися в цілому статистично значущими на 1% -му рівні значущості. В об'єднаній моделі все Коеффіц при регресорів вийшли статистично значущими на 5% -му рівні значущості, коефіцієнт детермінації R 2 = 0,1611. Звернемо увагу на те, що невелике значення коефіцієнта детермінації характерно для моделей такого роду.

Оцінка норми віддачі від інвестицій в освіту в різних моделях приймає досить близькі значення: 0,0812 в груповий і в об'єднаній моделі і 0,0815 в моделі з випадковими ефектами.

Модель з фіксованими ефектами не дозволяє оцінити норму віддачі від інвестицій в освіту, так як оцінка моделі з фіксованими ефектами (оцінка внутрішньогрупової моделі) виключає з моделі будь-змінні, незалежні від часу. Це означає, що впливу числа років навчання, статевої ознаки, а також регіональних фіктивних змінних не враховуються. Звернемо увагу також на те, що оцінки параметрів внутрішньогрупової моделі дуже сильно відрізняються від оцінок параметрів груповий моделі.

У всіх оцінених моделях підтвердилася квадратична залежність рівня заробітної плати від професійного досвіду, коефіцієнти перед регресорів ЕХР і ЕХР 2 мають позитивний і негативний знак відповідно. Для внутрішньогрупової моделі за формулою (9.60) оцінюємо дисперсію помилок σΐ = 0,4340, для груповий моделі оцінка дисперсія помилок складе 0,3968. Використовуючи формулу (9.61), оцінимо дисперсію помилок σ 2 = 0,3968 0,4340 / 3 0,2521.

Знаючи оцінки дисперсії помилок σ2 і σ2, можна обчислити

Так як

Знайдена оцінка параметра Θ приймає значення, що лежить в інтервалі від нуля до одиниці. Нагадаємо, що при Θ = 1 модель з випадковими ефектами збігається з моделлю з фіксованими ефектами, а при 0 = 0 в моделі будуть відсутні некорельованих індивідуальні компоненти дисперсії і оцінка з випадковими ефектами скоротиться до МНК-оцінки об'єднаної моделі. Звернемо увагу на те, що оцінки з випадковими ефектами і МНК-оцінки приймають значення, що знаходяться між оцінками з фіксованими ефектами і міжгруповими оцінками. Виходить, що оцінки доступного узагальненого методу найменших квадратів можна отримати шляхом оцінювання звичайним МНК рівняння перетвореної регресії (9.56):

де

Якщо виконуються припущення моделі з випадковими ефектами, то оцінки доступного узагальненого методу найменших квадратів будуть ефективними. Якщо ж індивідуальні ефекти ц; корелюють хоча б з одним регресорів, то тільки оцінка моделі з фіксованими ефектами буде спроможною.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук