Навігація
Головна
 
Головна arrow Фінанси arrow Корпоративні фінанси
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Дюрація облігації і імунізація портфеля

Дюрація облігації є одним з найважливіших аналітичних показників для облігації. У 1938 р концепцію дюрації запропонував Ф. Маколей [1] . Однак, як це нерідко буває в світі фінансової науки, в той час вона не отримала визнання і нс застосовувалася на практиці. Кілька років по тому до схожих висновків прийшли спочатку Дж. Хікс (в 1939 р), потім П. Самуельсон (1945 р) і, нарешті, Ф.Редінгтон (в 1952 р).

Лише в 1970-х рр. виник практичний інтерес до дюрації як до інструменту, за допомогою якого можна провести імунізацію портфеля облігацій від ризику зміни процентних ставок. Крім того, було доведено, що дюрації слід розглядати як міру виміру цінового ризику для облігацій.

Дюрація облігації і її види

Розглянемо функцію ринкової вартості облігації від параметрів облігації, причому грошові надходження по облігації в період t запишемо як :

(3.11)

Оскільки у формулі (3.11) всі CF t відомі відповідно до проспекту емісії і не можуть змінюватися, то фактично вона є функцією однієї змінної, тобто . А це означає, що можна отримати значення зміни вартості облігації в залежності від зміни її прибутковості до погашення.

Так як функція (3.11) є безперервною і диференціюється, то можна розкласти її в ряд Тейлора, який, як відомо, дозволяє уявити будь-яку функцію в околі точки х = а у вигляді суми статечних функцій:

(3.12)

Візьмемо першу похідну функції (3.11):

(3.13)

По-перше, перша похідна виявляється негативною, значить, вартість облігації зменшується при збільшенні ставки дисконтування, і навпаки. По-друге, множник називається рублевої (в загальному вигляді грошової ) дюрацией , яка показує, наскільки рублів зміниться вартість облігації при зміні ставки дисконтування на один процентний пункт.

Однак грошова дюрація схильна до ефекту масштабу, що робить її малопридатною для порівняння паперів різного номіналу. Тому зазвичай розраховують дюрації, поділену на первісну ціну (модифіковану дюрації, ), тобто фактично вважають еластичність, що показує, на скільки відсотків зміниться ціна облігації при зміні прибутковості до погашення на один процентний пункт.

Оскільки перший член ряду Тейлора Ф. Маколей першим запропонував використовувати в якості вимірювача ризику, то певна їм дюрація названа його ім'ям - дюрація Маколея ( ):

(3.14)

Дюрація Маколея показує середнє число років, необхідне для того, щоб початкові інвестиції окупилися.

Зазвичай дюрація визначається як середньозважений термін потоку платежів, зважений за дисконтованою сумі. Таке визначення не повідомляючи формули (3.14) складно для розуміння, проте, уважно подивившись на неї, можна помітити, що , по суті, і є час платежу, яке множиться на його вагу в загальній сумі (дріб), даючи, таким чином, середньозважене значення.

Дюрація облігацій, крім показника, необхідного для розрахунку еластичності ціни облігації по її прибутковості до погашення, може служити мірою ризику облігації (точніше, її емітента). Чим менше дюрація, тим швидше повертаються інвестовані гроші, тим швидше їх можна знову інвестувати. Крім того, чим швидше вкладені кошти отримані, тим більше визначеності виникає при використанні й оцінці їх купівельної спроможності.

Приклад 3.11. Облігація держави номіналом 100 ден. од. погашається рівно через три роки. Припустимо, що купонна ставка по облігації дорівнює 8,5% від номіналу, а прибутковість до погашення зараз за біржовими котируваннями дорівнює 4,2% річних. Розрахуйте грошову дюрації, дюрації Маколея, модифіковану дюрації.

Рішення

Поточна ціна облігації дорівнює . Розраховуємо грошову дюрації:

Далі розраховуємо дюрації модифіковану, для цього можна або грошову дюрації поділити на поточну ринкову ціну: або розрахувати безпосередньо за визначенням:

Дюрації Маколея можна знайти також двома способами: або, слідуючи визначенню,

Насправді дюрація дозволяє знайти нову ціну облігації, використовуючи лише лінійну частину приросту, але цього не завжди буває доста

точно, щоб дати хороше наближення, тому поряд з дюрацией ще використовують опуклість.

Візьмемо другу похідну функції (3.11):

(3.15)

Такий показник зветься рублевої (грошової) опуклості, і він також схильний до ефекту масштабу, що істотно звужує можливості його застосування, тому частіше розраховують модифіковану опуклість:

(3.16)

В цілому загальна зміна ціни облігації описується рівнянням

(3.17)

Рівняння (3.17) містить тільки два перших члена ряду Тейлора, всі інші члени ряду Тейлора зібрані в слагаемом ε, однак значення ε зазвичай настільки мало, що їм просто нехтують.

Приклад 3.12. Тільки що випущена купонна облігація буде погашена через п'ять років. Номінал облігації дорівнює 100 руб., А купонна ставка становить 7%. Купони виплачуються але півріччях. В даний час облігація торгується за номіналом. Визначте модифіковану дюрації і опуклість облігації. Також визначте, яка буде ціна облігації (потрібен точний розрахунок), якщо процентні ставки негайно виростуть до 8% річних. Розрахуйте майбутню ціну облігації: 1) за допомогою тільки дюрації; 2) за допомогою дюрації і опуклості.

Рішення

Оскільки поточна ціна дорівнює номіналу, то розрахунки істотно спрощуються, крім того, це означає, що поточна прибутковість до погашення облігації дорівнює її купонної ставки і становить 7%. Розрахунки будемо проводити в півріччях (табл. 3.5).

Таблиця 3.5

Наприклад 3.12

t, півріччя

CFt

DCF,

1

3,5

3,3816425

0,033816

0,067632850

2

3,5

3,2672875

0,065346

0,196037247

3

3,5

3,1567995

0,094704

0,378815936

4

3,5

3,0500478

0,122002

0,610009559

5

3,5

2,9469061

0,147345

0,884071825

6

3,5

2,8472523

0,170835

1,195845947

7

3,5

2,7509684

0,192568

1,540542283

8

3,5

2,6579404

0,212635

1,913717122

9

3,5

2,5680584

0,231125

2,311252562

10

103,5

73,3730972

7,337310

+80,710406940

8,607686

+89,808332271

Тепер знаходимо модифіковану дюрації: півріч. Опуклість в півріччях дорівнює

Майбутня ціна облігації, знайдена за допомогою дюрації, дорівнює

майбутня ціна облігації, знайдена за допомогою дюрації і опуклості, дорівнює

Проілюструємо даний приклад за допомогою рис. 3.7. Крива CAD показує реальну залежність ціни облігації від її прибутковості до погашення. По осі абсцис відкладена прибутковість до погашення, а по осі ординат - ціна облігації. Очевидно, що залежність не є лінійною. Припустимо, що ринкова ситуація відповідає точці А, коли ціна облігації дорівнює , а її прибутковість до погашення дорівнює / Припустимо, що аналітики прогнозують зниження прибутковості до погашення до рівня . Згідно з наявною залежності ціна облігації повинна збільшитися до . Лінія ВАЕ є дотичною до лінії CAD в точці А (графік дотичній, яка визначається першої похідної або дюрацией). Використовуючи тільки дюрації, ми в змозі визначити збільшення ціни облігації до , що відповідає точці В. Оскільки за допомогою дюрації враховується тільки лінійна частина приросту, довжина відрізка ВС є загальний вплив всіх нелінійних факторів, яке ми можемо враховувати через опуклість (другу похідну). Практика показує, що цього цілком достатньо, щоб отримати оцінку зміни з точністю до копійок (однієї сотої грошової одиниці).

Геометрична інтерпретація розрахунку нової ціни облігації

Мал. 3.7. Геометрична інтерпретація розрахунку нової ціни облігації

Очевидно, що чим менше зміна в прибутковості до погашення, тим точнішою буде оцінка за допомогою дюрації і опуклості.

Однак основне застосування дюрації полягає в побудові з її допомогою портфеля облігацій, який не схильний до зміни в вартості при зміні процентних ставок, точніше, при паралельному зсуві кривої прибутковості.

І на закінчення наведемо кілька правил щодо дюрації, якими можна користуватися при розрахунках модифікованої дюрації.

Правило 1. Дюрація бескупонной облігації дорівнює терміну до її погашення.

Правило 2. Якщо термін до погашення постійний, то дюрація облігації тим вище, чим нижче її купонна ставка.

Правило 3. Якщо купонна ставка постійна, то дюрація облігації збільшується в міру збільшення терміну до її погашення.

Правило 4. За інших рівних умов дюрація купонної облігації тим вище, чим менше її прибутковість до погашення.

Правило 5. Дюрація нескінченного потоку постійних платежів дорівнює

Правило 6. Дюрація постійних платежів на період Т років (ануїтетів) дорівнює

Правило 7. Дюрація купонної облігації дорівнює (з - розмір купонної ставки від номіналу)

Правило 8. Дюрація купонної облігації, що продається за номіналом, дорівнює

  • [1] Macaulay F. Some theoretical problems suggested by the movements of interest rates, bond yields, and stock prices in the United States since 1856. NY: National Bureau of Economic Research, 1938.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук