Навігація
Головна
 
Головна arrow Фінанси arrow Корпоративні фінанси
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Прибутковість і ризик портфеля активів

Інвестиційним портфелем (investment portfolio) називається сукупність реальних або фінансових вкладень інвестора (приватної особи або компанії). Однак в розмовній мові часто говорять просто "портфель", ми також будемо говорити "портфель", маючи на увазі інвестиційний портфель.

Як вже було показано, ціна і прибутковість окремого активу залежать від того, який сценарій розвитку подій реалізувався. А як розрахувати ціну і прибутковість портфеля активів? Припустимо, що інвестор вклав 1000 руб. в акції (став власником інвестиційного портфеля), точніше, вклав 400 руб. в акції А, а 600 руб. - В акції Б. Акції А через період подорожчали на 10% ( r А = 0,1), а акції Б подорожчали на 6% ( r Б = 0,06). Вартість портфеля інвестора виросла на 76 руб. (40 руб. Від акцій А і 36 руб. Від акцій Б), склавши портфель

Таким чином, прибутковість портфеля склала 7,6%:

або в буквених позначеннях де - вага i -го активу.

Отже, для кожного реалізованого сценарію прибутковість портфеля дорівнює середньозваженої дохідності кожного з активів, що входять в портфель, де вага активу визначається як відношення грошей, витрачених на покупку активу, до загальної суми власних коштів, на які були придбані всі активи портфеля.

Вимірювання ризику та прибутковості портфеля з двох активів

Почнемо з визначення очікуваної прибутковості портфеля. Відомо, що прибутковість будь-якого портфеля в будь-якому i -м стані світу описується формулою

(5.4а)

Очікувана прибутковість активу розраховується як математичне очікування його прибутковості:

(5.4б)

де - ймовірність настання г-го стану світу.

Підставляючи вираз (5.4а) в формулу (5.46), отримуємо наступне:

Відповідно, очікувана прибутковість портфеля з п активів буде дорівнює середньозваженій з очікуваних доходностей активів, що входять до складу цього портфеля:

(5.4В)

Статистичне визначення дисперсії портфеля описується рівністю

(5.5)

Підставивши в формулу (5.5) рівності (5.4а) і (5.4В), отримуємо:

В результаті можна помітити, що множники в перших двох доданків, що стоять під знаком суми, являють собою дисперсії окремих активів, а множник в третьому доданку під знаком суми - їх ковариацию. Таким чином, для портфеля з двох активів формула дисперсії портфеля набуде вигляду

(5.6)

☻Свойства ковариации

Нехай А, В, С - випадкові величини, ω - константа, тоді виконуються наступні рівності:

Остання властивість - по суті інша формула розрахунку коваріації, коли величини вибірки різновірогідні, що якраз характерно для біржової інформації.

Для портфеля з п активів формула (5.6) спрощується до виду

(5.7)

Для п активів можна скласти ковариационную матрицю

(5.8)

Коваріаційна матриця (5.8) має такі властивості:

  • • на головній діагоналі матриці знаходяться дисперсії активів (властивість 5 ковариации);
  • • матриця симетрична (властивість 1 ковариации) щодо головної діагоналі, тобто для того, щоб повністю знайти ковариационную матрицю, досить оцінити тільки показників, а не .

Якщо до ковариационной матриці (5.8) додати рядок і стовпець з вагами відповідних активів в портфелі, то вийде розширена ковариационная матриця:

(5.9)

В результаті формула (5.7) стає зрозумілою: необхідно підсумувати всі твори, що представляють собою елемент ковариационной матриці (5.9), помножений на ваги відповідного рядка і стовпця матриці (5.9).

Розглянемо два активи з наступними характеристиками: актив А з очікуваною прибутковістю 10% і стандартним відхиленням 5% і актив В з очікуваною прибутковістю 4% і стандартним відхиленням 10%. Сформуємо з цих активів портфель, параметри якого будуть задовольняти наступній системі при п = 2:

(5.10)

Висловимо з першого рівняння системи (5.10), наприклад, і підставимо цей вираз в друге і третє рівняння цієї ж системи. Для випадку двох активів в результаті вийдуть рівняння (5.10а) і (5.106):

(5.10а)

(5.106)

Висловивши з (5.106) і підставивши отримане вираз в (5.10а), отримаємо в явному вигляді залежність від або від .

На рис. 5.5 приведений ескіз подібної залежності для розглянутих активів А і в. На малюнку точками А і В відзначені чисті активи, тобто коли портфель повністю складається з одного активу.

Таблиця 5.1

Розрахунок параметрів гіпотетичних портфелів

Портфель

З

1,5

-0,5

13

81

9

А

1

0

10

25

5

Е

0,75

0,25

8,5

20,25

4,5

В

0

1

5

100

10

D

-0,5

1,5

1

231,04

15,2

При формуванні портфеля з активів можливі дві ситуації: формування ведеться тільки на власні гроші або за допомогою коротких продажів і власних грошей. Так, на рис. 5.5 на ділянці АВ знаходяться портфелі, сформовані тільки на власні гроші, на ділянці BD і нижче знаходяться портфелі, сформовані за допомогою короткого продажу активу А, а па ділянці АС і вище знаходяться портфелі, сформовані за допомогою короткого продажу активу В.

Продажем без покриття або короткою продажем (short selling ) називається продаж цінних паперів, товарів або валюти, якими торговець на момент продажу нс володіє. Така угода можлива, але тільки якщо умови контракту передбачають його виконання через деякий час. Цей механізм забезпечує можливість отримувати прибуток при зниженні ціни на проданий "вкороткую" актив.

Наприклад, аналітики компанії очікують, що звичайні акції компанії А подешевшають протягом тижня з нинішніх 100 руб. за акцію до 75 руб. Тоді вигідно укласти контракт на продаж акцій компанії А за існуючою зараз ціною, але з поставкою акцій через тиждень або більше. Якщо ціна акцій дійсно впаде, то, купивши акції (угода з негайною поставкою) після падіння ціни по 75 руб. за штуку, отримуємо прибуток в розмірі 100 - 75 = 25 руб. з однієї акції, закриваючи першу угоду за рахунок придбаних акцій по другій угоді. Однак операція короткого продажу жорстко регулюється в частині активів, які можна продавати за цією схемою, а також в частині учасників ринку, яким ці операції доступні.

Допустиме безліч для випадку двох активів

Мал. 5.5. Допустиме безліч для випадку двох активів

Влада США заборонили короткі продажі акцій майже 800 компаній 19 вересня 2008 р

Комісія з цінних паперів і бірж США (SEC) за погодженням з Управлінням фінансового нагляду Великобританії тимчасово заборонила короткі продажі акцій 799 фінансових компаній для стабілізації ринкової ситуації.

Про це йдеться в опублікованому 19 вересня заяві SEC. На думку комісії, ці заходи допоможуть відновити рівновагу на фондових ринках.

Припис комісії набирає чинності з моменту публікації і діятиме до 23:59 за східним часом (8:59 мск); 2 жовтня 2008 г. При цьому заборона в разі потреби може бути продовжений на строк від 10 до 30 календарних днів.

Напередодні продажу акцій без покриття також заборонив Банк Англії. Заборона буде діяти до кінця 2008 р

Короткий продаж передбачає продаж акцій, узятих у позику у брокера, з розрахунку на падіння вартості паперів. У разі успіху інвестор повертає брокерові акції, викуплені за нижчою ціною, забезпечуючи собі прибуток на курсовій різниці. На думку деяких спостерігачів, короткий продаж чинить істотний тиск на акції, які і без того не користуються довірою інвесторів.

Зокрема, ряд британських політиків звинуватили біржових спекулянтів в обваленні котирувань банку HBOS Pic. Після цього з'явилося повідомлення про те, що п'ятий за величиною банк в Великобританії Lloyds TSB домовився про покупку HBOS за 15,4 млрд євро.

Джерело: top.rbc.ru/economics/19/09/2008/246906.sluml.

З точки зору математики відсутність коротких продажів при формуванні портфеля означає, що ваги будь-якого активу в складі портфеля невід'ємні, тобто w i 0. Якщо ж короткі продажі можливі, то ваги можуть бути будь-якими, в тому числі і негативними. Негативний вага означає продаж даного активу "вкороткую".

Диверсифікацією ( diversification ) стосовно портфельної теорії називається зменшення ризику шляхом формування портфеля активів або, що те ж саме, розподіл коштів в кілька різних активів. Найбільш точно сенс диверсифікації передає прислів'я "Не кладіть всі яйця в одну корзину".

Приклад 5.2. Припустимо, па ринку є п цінних паперів з однаковою прибутковістю середня дисперсія прибутковості окремого цінного паперу дорівнює 50, тобто , А середня ковариация між прибутковістю будь-яких двох паперів дорівнює 10, тобто 10. Яка середня дисперсія прибутковості портфеля, складеного з 5, 10, 20, 50 і 100 цінних паперів? Скільки цінних паперів потрібно ввести в портфель, щоб його ризик в середньому виявився не більше ніж на 10% більше мінімально можливої величини?

Рішення

Розглянемо формулу (5.7), переписавши її у вигляді двох доданків - головної діагоналі і все, що не лежить на головній діагоналі ковариационной матриці:

Якщо частка кожного з п активів буде однакова в складі портфеля, тобто , То буде спостерігатися максимальний ефект від диверсифікації (доказ цього факту не наводиться, щоб не перевантажувати матеріал глави). Оскільки і ковариация доходностей двох будь-яких активів однакова, і дисперсія їх також однакова, але при цьому ми ще й знаємо, чому вони рівні, то, підставляючи в формулу дисперсії портфеля наявну інформацію, отримуємо:

або після спрощення

Тепер знаходимо відповіді на питання завдання:

Звернемо увагу, що за даних умов мінімальна можлива дисперсія прибутковості портфеля дорівнює середній ковариации на ринку між прибутковістю двох активів:

Відповідно, мінімальне стандартне відхилення

Оскільки для відповіді на питання, скільки цінних паперів потрібно ввести в портфель, щоб його ризик виявився не більше ніж на 10% вище мінімальної можливої величини, незрозуміло, що мається на увазі під ризиком: дисперсія або стандартне відхилення, то розрахуємо обидва варіанти. Нехай - мінімальне число цінних паперів в портфелі, тоді

для ризику, представленого у вигляді дисперсії, і

для ризику, представленого у вигляді стандартного відхилення. Підставляючи дані завдання і вирішуючи відповідні нерівності, отримуємо:

Таким чином, для створення портфеля з зазначеними властивостями необхідно або 20, або 40 цінних паперів. Цей приклад демонструє, наскільки важливим виявляється питання вимірювання ризику в портфельної теорії, так і в фінансових розрахунках в цілому.

Розподіляючи кошти між різними активами різних класів, галузей і т.д., інвестор може істотно скоротити свої ризики. Розглянемо диверсифікацію стосовно портфелю з двох активів (рис. 5.6).

Портфелі та розподілу їх прибутковості

Мал. 5.6. Портфелі та розподілу їх прибутковості

З точки зору функції щільності симетричного розподілу чим більше ризик активу, тим сильніше функція щільності буде "розпластаний" навколо свого середнього значення. На рис. 5.6 представлені функції щільності для довільних портфелів D , E, С. При переході від портфеля D до Е середнє значення прибутковості портфеля зростає (для портфеля D середнє значення було 1%, а для портфеля Е середнє значення вже дорівнює 7%), при цьому ми бачимо, що функція щільності більшою мірою концентрується навколо середнього значення, так як вона сильніше витягнута в районі середнього значення. При русі від портфеля Е до портфелю З середнє значення зростає (з 7 до 13%), але при цьому зростає і ризик, а функція щільності стає більш розтягнутої вздовж горизонтальній осі.

Якщо розглядати диверсифікацію не з позиції розподілу, то диверсифікація - це можливість інвестора потрапити в область лівіше прямої, що є перпендикуляром до горизонтальної осі з точки, відповідної чистому активу з меншою дисперсією. На рис. 5.6 це можливість потрапити лівіше перпендикуляра, опущеного з точки А (в цій області знаходиться портфель Е).

Від чого залежить ступінь диверсифікації портфеля? Для відповіді на це питання перепишемо формулу (5.106) в наступному вигляді (з урахуванням властивості 6 ковариации):

(5.11)

Як очевидно, дисперсія портфеля залежить від ваги активу А в портфелі і від кореляції між прибутковістю активів А і В, так як всі інші змінні у виразі (5.11) визначені. Але якщо вага активу А впливає на стан портфеля на кривій CD (рис. 5.7), то кореляція між прибутковістю активів відповідає за ступінь диверсифікації портфеля.

Допустимі безлічі і диверсифікація ризику

Мал. 5.7. Допустимі безлічі і диверсифікація ризику

Якщо припустити абсолютну позитивну кореляцію між прибутковістю активів A і В , то вираз (5.11) можна переписати у вигляді

(5.12а)

З формули (5.10а) висловимо , отримаємо

(5.12б)

Висловивши з виразу (5.12а) і підставивши в формулу (5.12б), отримаємо наступне рівняння:

(5.13)

Таким чином, ясно, що всі портфелі в цьому випадку лежать на прямій виду . Ця пряма перетинає вісь прибутковості в точці F, яка має позитивну прибутковість і нульовий ризик. Мрія всіх інвесторів - опинитися в точці F або дуже близько до неї, однак щоб це було можливо, потрібні абсолютна позитивна кореляція між двома активами і можливість коротких продажів.

Якщо припустити абсолютну негативну кореляцію між прибутковістю активів А і В , то формулу (5.11) можна переписати у вигляді

(5.14)

В цьому випадку всі портфелі будуть лежати на ламаній прямій, що проходить через точки В, G і A. В точці G знаходиться портфель, дохідність якого позитивна, а ризик нульовий. При цьому для його отримання потрібно лише абсолютна негативна кореляція, короткого продажу не потрібно, так як цей портфель формується тільки за рахунок власних коштів ( ).

Якщо припустити кореляцію між прибутковістю активів А і В , яка задовольнять подвійному нерівності , то допустима безліч вже не буде виглядати як пряма. Воно буде являти собою ділянку кривої тільки між точками А і В, якщо короткі продажі заборонені, і криву, що проходить через точки С, D і Е, якщо короткі продажі дозволені і необмежені. На рис. 5.7 намальована крива для випадку некоррелірованних активів, тобто коли

Факт, засмучує інвесторів, полягає в тому, що в середньому кореляція між будь-якою парою активів одного класу ризику (акції, облігації) зазвичай коливається на ринках від 0,3 до 0,6. Це не дозволяє інвесторам розраховувати на формування портфелів з ризикових активів не тільки в точках F і G, а й навіть поблизу них. Більш того, можна довести математично, що ефект від диверсифікації в разі двох активів буде спостерігатися, тільки якщо кореляція між їх прибутковістю буде менше, ніж мінімум з відносин їх стандартних відхилень. Іншими словами, якщо , то буде спостерігатися ефект диверсифікації, в іншому випадку цього ефекту не буде.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук