Вибір інвестором портфеля активів (портфельна теорія Марковіца)

У 1952 р Гаррі Марковіц (Harry Markowitz) вперше [1] запропонував розглядати ціну активу (і його прибутковість) як випадкову величину і показав, як за допомогою функції корисності інвестор вибирає той чи інший портфель для інвестування. За цю роботу в 1990 р Г. Марковіц отримав Нобелівську премію з економіки.

Функція корисності інвестора

Г. Марковіц запропонував використовувати функцію корисності, яка залежить тільки від очікуваної прибутковості активу і його дисперсії (стандартного відхилення) і має вигляд , де А - коефіцієнт неприйняття ризику: чим він більший, тим сильніше інвестор не сприймає (уникає) ризик, а також він служить калібрувальної мірою між прибутковістю і дисперсією. При А> 0 інвестор любить ризик, при А = 0 інвестор нейтральний до ризику, а при А <0 інвестор уникає ризику. Чим більше за абсолютним значенням коефіцієнт A, тим сильніше інвестор любить ризикувати або вважає за краще уникати ризик. Ми вже бачили, що знання про очікуваної прибутковості активу і її дисперсії дають повну картину щодо активу і його ризику. Таким чином, знання тільки цих двох параметрів активу виявляється достатнім для вибору структури інвестиційного портфеля із заданими перевагами за ризиком.

Завдання вибору портфеля в моделі Марковіца визначається системою

(5.15)

Рішенням системи (5.15) буде вектор ( ) - вектор ваг відповідних активів у портфелі. Якщо завдання вибору здійснюється в умовах неможливості коротких продажів, то до системи (5.15) додається умова

Приклад 5.3. У двухперіодне економіці (в якій немає можливостей для коротких продажів) звертаються два активи з наступними характеристиками: очікувані прибутковості , стандартні відхилення доходностей

, Коефіцієнт кореляції між прибутковістю активів 1 і 2 дорівнює нулю. Який портфель сформує інвестор з функцією корисності ? Визначте частку вкладень в кожен з активів.

Рішення

Підставляючи наявні дані в функцію корисності, отримуємо наступну задачу - частка першого активу в портфелі):

Прирівнюючи першу похідну цієї функції по х нулю і вирішуючи отримане рівняння щодо х, отримуємо

Таким чином, оптимальний для інвестора портфель містить 77% першого активу і 23% другого.

Графічна ілюстрація моделі Марковіца

Для квадратичної функції корисності криві байдужості в координатах "прибутковість - стандартне відхилення" виглядають як параболи, гілки яких направлені вгору. Ступінь опуклості парабол залежить від ступеня неприйняття інвестором ризику, чим вона вища, тим крутіше параболи (рис. 5.9). Наприклад, інвестор з функцією корисності сильніше уникає ризику, ніж інвестор з функцією корисності .

Вибір портфеля інвестором

Мал. 5.9. Вибір портфеля інвестором

Інвестор вибирає той портфель, де крива байдужості стосується допустимого безлічі. Також з рис. 5.9 очевидно, що інвестор, який уникає ризику, в результаті вибирає портфель (точка F), дуже близький до портфелю з мінімальною дисперсією. Портфель F характеризується невисокою прибутковістю і низьким ризиком. Інвестор із середнім ступенем уникнення ризику вибере портфель V , який характеризується більш високим ризиком і більш високою прибутковістю. Інвестору з низьким ступенем уникнення ризику портфель F буде нецікавий, так як він лежить на кривій байдужості, що відповідає меншому значенню його функції корисності . Корисність на рівні інвестором нс може бути досягнута, так як відсутні портфелі, які він міг би для цього використовувати (іншими словами, немає точок перетину між кривою байдужості і допустимим безліччю портфелів).

  • [1] Справедливості заради відзначимо, що першим запропонував подібний підхід Луї Башелье в 1900 році у своїй дисертації "Теорія спекуляцій", але, як це часто буває в світі науки, його ідеї тоді настільки випереджали час, що були не зрозумілі і на яке -то час повністю забуті. І хоча цей факт зараз відомий, але в силу обставин, що склалися ця теорія носить назву теорії Марковіца.
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >