Навігація
Головна
 
Головна arrow Фінанси arrow Корпоративні фінанси
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Багатофакторна модель

Альтернативою моделі САРМ є багатофакторна модель APT (arbitrage pricing theory), яку запропонував в 1976 р С. Росс. Ця модель спирається на припущення, що ринок знаходиться в рівновазі, якщо на ньому неможливо вчинення арбітражних угод.

Арбітражем ( arbitrage ), або арбітражної угодою, називається така безризикова угода, яка дозволяє її ініціатору отримувати прибуток. По суті, такі операції бувають двох видів:

  • • інвестор може сформувати портфель активів, не витративши зараз власних коштів, але за яким згодом отримає позитивний дохід і відсутність будь-яких зобов'язань перед третіми особами;
  • • інвестор зараз може скласти портфель з позитивною поточною вартістю (тобто він отримає дохід від нього прямо зараз), за яким згодом не буде ніяких зобов'язань перед третіми особами.

В іншому підхід до визначення вартості ціни активу аналогічний підходу в моделі САРМ. Автори моделі APT виходять з того факту, що ціна активу визначається не тільки зв'язком з ринковим портфелем, а й багатьма іншими факторами, в основному макроекономічними.

У будь-який момент часу основне рівняння моделі може бути записано у вигляді

(5.20а)

У формулі (5.20а) показує чутливість прибутковості i -го активу до фактору а - значення прибутковості деякого індексу, пов'язаного з фактором тоді показує розмір премії за ризик по фактору j .

По суті, як модель САРМ пов'язана з однофакторной лінійної регресією, так модель APT пов'язана зі множинної лінійної регресією:

(5.20б)

З формули (5.20б) виводяться наступні співвідношення. Чутливість портфеля до фактору k дорівнює середньозваженій чутливості до цього фактору всіх активів, що входять до складу портфеля:

(5.21а)

Дисперсія залишків портфеля є середньозважена сума дисперсій залишків по кожному фактору (тобто мається на увазі, що ).

(5.21б)

В цілому дисперсія портфеля може бути розкладена на кілька складових, пов'язаних з виділеними і з усіма іншими факторами:

(5.21в)

Коваріація між будь-якими двома активами може бути знайдена із співвідношення

(5.21г)

Хоча за змістом з точки зору статистики (економетрики) модель APT повинна бути краща за модель САРМ, використовується ця модель набагато рідше.

Пов'язано це з тим, що сама модель не дає чітких вказівок ні на те, скільки факторів необхідно використовувати для її побудови, ні на те, які саме чинники необхідно враховувати. Це позбавляє можливості порівняти результати моделі APT, побудованої різними аналітиками. Наприклад, один аналітик може використовувати в якості факторів:

  • • темп зростання реального ВВП країни;
  • • темп інфляції в країні;
  • • реальну ставку відсотка всередині країни;
  • • процентна зміна в реальних цінах на нафту;
  • • темп зростання заощаджень громадян.

Приклад 5.8. Припустимо, що аналітик використовує трехфакторную модель APT, а безризикова ставка дорівнює 5%. Ви створюєте портфель з двох активів А і В у рівних пропорціях. Дані по ринку і цим активам наведені в табл. 5.4.

Таблиця 5.4

Приміром 5.8

фактор

Премія за ризик по фактору,%

1

0,3

0,5

7

2

0,2

0.6

9

3

1,0

0,7

2

Грунтуючись на наявних даних, розрахуйте очікувану прибутковість створюваного портфеля.

Рішення

Для початку необхідно знайти коефіцієнти бета портфеля по кожному з факторів за допомогою формули (5.21а):

Тепер за допомогою формули (5.20а) знаходимо відповідь завдання:

Таким чином, очікувана прибутковість формованого портфеля складе 13,1%.

На закінчення наведемо ще кілька прикладів з рішеннями, щоб у читача була можливість краще розібратися в матеріалі глави.

Приклад 5.9. У двухперіодне економіці (в якій немає можливостей для коротких продажів) звертаються два активи з наступними характеристиками: очікувані прибутковості , стандартні відхилення доходностей , коефіцієнт кореляції між прибутковістю активів А і В дорівнює нулю. Безризикова ставка дорівнює 5%. Відомо, що інвестор має функцію корисності, яку можна виразити залежністю

  • 1. Визначте склад і параметри портфеля GMV, складеного тільки з ризикових активів, що має мінімальну дисперсію.
  • 2. Визначте склад і параметри портфеля Т, складеного тільки з ризикових активів, найвигіднішого для інвесторів з точки зору винагороди за ризик.
  • 3. Побудуйте лінії CAL на основі портфеля GMV і на основі портфеля Т.
  • 4. Визначте оптимальний портфель для інвестора для двох повних портфелів з попереднього пункту. До яких висновків приводить отриманий результат?

Рішення

1. Нехай - вага активу А в складі ризикованого портфеля GMV. Тоді дисперсія прибутковості такого портфеля буде дорівнює , оскільки коефіцієнт кореляції між прибутковістю активів дорівнює нулю. Таким чином, для відповіді на перше питання задачі виникає необхідність вирішення завдання на знаходження безумовного екстремуму виду

Вирішуючи цю задачу, отримуємо

Таким чином, оптимальний склад ризикового портфеля з мінімальною можливою дисперсією прибутковості наступний: 80% вкладень в актив А і 20% в актив В. А його параметри, відповідно, рівні:

2. Кращий портфель для інвесторів з точки зору винагороди за ризик - це портфель Т, у якого нахил лінії CAL, проведеної через нього, буде максимальним. Нехай х - частка активу А в такому портфелі, тоді прибутковість портфеля буде , а дисперсія прибутковості портфеля буде - (так як кореляція дорівнює нулю). Тому пошук портфеля з найбільшим тангенсом кута нахилу лінії CAL перетворюється в задачу пошуку безумовного екстремуму:

Використовуючи правило диференціювання

отримуємо рівняння , або, після деяких математичних перетворень,

Вирішуючи це рівняння (прирівнюємо чисельник до нуля, перемножуємо і розкриваємо дужки), отримуємо

Таким чином, оптимальний склад ризикового портфеля Т, найвигіднішого з точки зору винагороди за ризик, наступний: 50% вкладень в актив А і 50% - в актив В. А його параметри, відповідно, рівні:

3. Рівняння лінії розподілу капіталу виглядає як , де Е - портфель, через який проходить лінія розподілу капіталу. Тому:

4. Так як ми знаємо склади ризикованих портфелів GMV і Т, то, підставляючи в функцію корисності відповідну лінію розподілу капіталу, отримаємо функцію корисності від однієї змінної (від стандартного відхилення). Максимізуючи функцію корисності в цьому виді, знаходимо стандартне відхилення оптимального для інвестора портфеля і вже по цьому відхиленню знаходимо складу повного портфеля.

Для портфеля GMV:

звідки . Оскільки для повного портфеля виконується •, де х - частка портфеля GMV в складі повного портфеля, маємо , звідки . Іншими словами, в цьому випадку для інвестора оптимальним буде портфель, що складається з 10% GMV і 90% безризикового активу.

Для портфеля Т:

звідки . Оскільки для повного портфеля виконується •, де х - частка портфеля Т в складі повного портфеля, маємо , звідки

Іншими словами, в цьому випадку для інвестора оптимальним буде повний портфель, що складається на 10% з ризикованого портфеля Т і на 90% з безризикового активу. Оскільки портфель Т складається порівну з активів А і В, то оптимальний повний портфель для інвестора наступний: 5% вкладень в актив А, 5% вкладень в актив B, 90% вкладень в безризиковий актив.

Дані результати повністю відповідають тому, що ми повинні були отримати. Це добре видно на графіку (рис. 5.16).

Приклад 5.10. Прибутковість цінних паперів А на ринку країни за повні останні шість років була {5%; -1%; 12%; 2%; 0%; 7%}, а прибутковість цінного паперу В, відповідно, такою: {4%; 1%; 4%; 2%; 3%; 3%}. Яке найменше стандартне відхилення прибутковості портфеля, складеного з даних акцій, з дохідністю, рівної 3,69%?

Приміром 5.9

Мал. 5.16. Приміром 5.9

Рішення

Знаходимо значення математичного очікування дохідності обох активів:

Нехай w A - частка активу А в портфелі, тоді повинно виконуватися рівність , так як для однієї прибутковості існує тільки один портфель (згадайте, як виглядає допустимий безліч портфелів для випадку двох ризикованих активів). Вирішуючи останнє рівняння, отримуємо Подальші розрахунки робимо в таблиці (табл. 5.5).

Наприклад 5.10

Таблиця 5.5

результат

1

5-4,17 = 0,83

0,6889

4 - 2,83 = 1,17

1,3689

0,9711

2

-1 -4,17 = -5,17

26,7289

1 - 2,83 = -1,83

3,3489

9,4611

3

12-4,17 = 7,83

61,3089

4 - 2,83 = 1,17

1,3689

9,1611

4

2-4,17 = -2,17

4,7089

2 - 2,83 = -0,83

0,6889

1,8011

5

0-4,17 = -4,17

17,3889

3 - 2,83 = 0,17

0,0289

-0,7089

6

7-4,17 = 2,83

8,0089

3 - 2,83 = 0,17

0,0289

0,4811

Таким чином, і . Тепер у нас є вся інформація для розрахунку дисперсії прибутковості портфеля, складеного з активів А і В:

отже,

Приклад 5.11. Експерти оцінили поведінку двох цінних паперів і одного фондового індексу в залежності від результатів виборів президента (табл. 5.6). Прибутковість державних довгострокових облігацій, незалежно від результатів виборів, становить 1% річних.

До вас прийшов клієнт, який бажає вкласти свої гроші в акції. На основі цих даних знайдіть: 1) дисперсії обох акцій і ринку; 2) коефіцієнти "бета" обох акцій; 3) визначте, які акції переоцінені, а які недооцінені; 4) дайте рекомендацію не схильному до ризику інвестору щодо інвестицій в активи в складі портфеля і без портфеля.

Таблиця 5.6

Наприклад 5.11

переможець

Імовірність результатів виборів

Прибутковість акції А,% річних

Прибутковість акції В,% річних

Прибутковість фондового індексу,% річних

претендент 1

0,2

0

4

2

претендент 2

0,5

3

5

8

претендент 3

0,1

1

3

8

претендент 4

0,2

4

1

4

Рішення

Використовуємо метод розрахунків як в прикладі 5.10 з поправкою на ймовірність настання результатів і отримуємо:

параметр

А

В

біржовий індекс

Середнє значення

2,40

3,80

6.00

дисперсія

2,04

2,36

6,40

Стандартне відхилення

1,43

1,54

2,53

cov ( A М)

1,60

cov (В, М)

2,00

Тепер знаходимо коефіцієнти "бета": і

За моделлю САРМ знаходимо прибутковості акцій А і В: і . Звідси очевидно, що обидві акції є недооціненими, оскільки поточні середні значення їх доходностей (виступаючі як їх фактична прибутковість) більше, ніж прибутковості, пораховані за моделлю. Для інвестора до складу портфеля порадимо акцію А (у неї менший коефіцієнт "бета"), а без портфеля - знову акцію А, так як у ніс менше стандартне відхилення. Хоча для окремої акції можна застосувати коефіцієнт варіації, тобто ризик на одиницю прибутковості:

Тому у вигляді окремої акції можливий вибір акції В як найменш ризикованої у відносному плані, а не в абсолютному (більш детальний вибір робиться на підставі функції корисності інвестора).

Приклад 5.12. Припустимо, що функція корисності інвестора має вигляд , де - стандартне відхилення прибутковості портфеля. Інвестор становить портфель з акцій А і В, про які відомо, що , . Коефіцієнт кореляції між прибутковістю дорівнює . Необхідно визначити, в яких межах може бути очікувана прибутковість портфеля інвестора, в разі якщо він сформує такий із зазначених активів.

Рішення

У цьому завданню рішення зводиться до знаходження умовного екстремуму функції корисності, або умовний характер мінімізації функції дисперсії портфеля інвестора, тобто

за умови, що

Розписуючи формулу дисперсії портфеля з наявних двох активів і підставляючи з умови вираження однієї ваги через інший, отримуємо задачу безумовної максимізації функції:

Виписуємо умова першого порядку (перша похідна дорівнює нулю):

Звідси і, відповідно,

Підставляючи ці оптимальні значення ваг в формулу для розрахунку очікуваної прибутковості портфеля, отримуємо:

Цей вислів є монотонно спадною функцією щодо р і має мінімальне значення 1/10 (10%), а максимальне 21/90 (23,33%).

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук