НОРМАЛЬНА АПРОКСИМАЦІЯ СУКУПНОГО ЗБИТКУ ПО ПОРТФЕЛЮ

Якщо кількість договорів в портфелі досить велике, то можна скористатися центральною граничною теоремою теорії ймовірності для знаходження чисельних значень розподілу суми незалежних випадкових величин за наступним алгоритмом:

• 1) знайти середні і дисперсії випадкових величин, для кожної випадкової величини;
• 2) підсумувати їх для того, щоб знайти середню і дисперсію для всього портфеля в цілому;
• 3) скористатися нормальним (гауссовским) наближенням.

Якщо випадкові величини незалежні і однаково розподілені з середнім μ і дисперсією , то по центральній граничній теоремі ^[1] :

(3.10)

де - функція розподілу стандартного нормального закону розподілу (додаток 1).

Функція розподілу величини сукупного збитку по портфелю :

(3.11)

ПРИКЛАД 3.5

За даними прикладу 3.1 знайдіть, скільки таких договорів повинен зібрати страховик, щоб при заданій в пункті в) надійності 1 - ε = 0,95 відносна ризикова надбавка не перевищувала 20% (використовувати нормальну апроксимацію) і задана ймовірність неразоренние забезпечувалася тільки зібраними преміями.

Рішення

Згідно (3.11)

Згідно (2.25) відносна ризикова надбавка дорівнює:

Перетворимо цю формулу і висловимо число договорів п :

(3.12)

За умовою має бути забезпечено можливість неразоренние F (t) = = 0,95. Звідси Φ (ί) = 0,95 => по таблиці додатка 1 функції розподілу стандартного нормального закону I "1,645.

За допомогою вбудованої функції Excel можна відразу знайти квантиль рівня 0,95 стандартного нормального закону: t = = НОРМСТОБР (0,95) = 1,64485.

У прикладах 3.1 і 3.3 ми вже знаходили математичне сподівання і дисперсію по окремих ризиках X ,:

Тепер ми можемо по (3.12) знайти необхідне число договорів:

Отже, страховик повинен зібрати не менше 440 таких договорів, щоб при заданій надійності 1 - ε = 0,95 відносна ризикова надбавка не перевищувала 20%.

МОДЕЛЮВАННЯ СУКУПНОГО ЗБИТКУ ГРУПИ РИЗИКІВ В РАМКАХ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ МОДЕЛІ

Головна актуарна завдання - змоделювати сукупну функцію розподілу - знаючи її, ми знаємо про сукупний збиток по портфелю все і можемо знаходити будь-які необхідні ймовірності, розраховувати тарифи і т.п.

Основна маса ймовірностей в страховому портфелі зосереджена в точці нульового значення збитку за ризиком (Υ-, = 0), адже практично у всіх видах ризикового страхування переважна більшість ризиків (в окремо взятому році) не породжує збитків ^[2] . Значить, розподіл випадкової величини У | далеко від нормального розподілу.

З ростом кількості незалежних і однаково розподілених ризиків стандартизований сукупний збиток (У - М (У)) / о (У) згідно центральному граничного закону, дійсно, стає все більш схожий на нормально розподілену величину (в сенсі збіжності розподілу). Але, зважаючи на велику несиметричності розподілу величини У, -, в більшості груп ризиків цей закон спрацьовує тільки при дуже великій кількості ризиків.

Для отримання прийнятною апроксимації розподілу сукупного збитку У малої (як це характерно для практики) групи ризиків аппроксимируем розподіл сукупного збитку У, окремого ризику i безперервним розподілом, що допускають явний розрахунок згорток. Для грубої апроксимації розподілу величини У, досить знати, що основна маса ймовірностей знаходиться в нулі. В подальшому процесі згортки неточності апроксимації досить швидко нівелюється і досягаються дуже близькі до реальності моделі сукупного збитку (по крайней мере, для основної маси ймовірностей).

Найвідомішим розподілом на інтервалі (0; 00), що дозволяє розрахувати згортки в явному вигляді, є гамма-розподіл.

Гамма-розподіл

Для моделювання розподілу збитку в актуарних розрахунках зазвичай використовується не звичайне гамма-розподіл, а з параметризацією за участю математичного очікування μ ^[3] .

Функція щільності ймовірності такого розподілу дорівнює:

де а - параметр форми (а> 0).

Оскільки важливо, щоб апроксимує розподіл величини сукупного збитку мало якомога більший імовірнісний вага поблизу нульової точки, в актуарних розрахунках при моделюванні приймають до розгляду тільки гамма-розподіл з параметром форми а < 1 (рис. 3.1).

Г (й) - гамма-функція Ейлера:

Гамма-функція має такі властивості:

• 1) Γ (α + 1) = аТ (а) для будь-яких а> 0;
• 2) якщо а - натуральне число, то: Г (а + 1) = а;
• 3)

Основні характеристики гамма-розподілу з параметризацією:

• - математичне сподівання дорівнює М (х) = μ;
• - дисперсія ;
• - коефіцієнт варіації
• - коефіцієнт асиметрії

Оцінки параметрів методом моментів за вибірковими даними знаходять як:

де - середнє арифметичне (вибіркова середня) шкоди;

- вибіркова дисперсія шкоди.

Потім оцінки бажано уточнити методом максимальної правдоподібності ^[4] .

Гамма-розподіл може вважатися цілком реалістичною моделлю для сукупного і нормованого збитків групи однаково розподілених незалежних ризиків.

До того ж гамма-розподіл має вигідне властивістю: сума незалежних гамма-розподілених ризиків має гамма-розподіл і в тому випадку, якщо параметри μ, • і д; не однакові

Мал. 3.1. Щільність ймовірності гамма-розподілу в залежності від параметра форми а

для всіх ризиків, по постійно їх ставлення μ (• / a- v Це дає можливість моделювати за допомогою гамма-розподілів сукупний збиток групи ризиків з різними страховими сумами.

Зворотне гауссовское розподіл

Зворотне нормальне (гаусівських) розподіл застосовується для моделювання невід'ємних випадкових величин, у яких права сторона кривої розподілу має більш пологий вигляд, ніж ліва. У той час як нормальна випадкова величина, може приймати і негативні значення.

В актуарних розрахунках при моделюванні збитку використовують частіше зворотне гауссовское розподіл з параметризацією за участю математичного очікування μ, щільність ймовірності якого має вигляд (рис. 3.2):

Випадкова величина, розподілена по зворотному гауссовскому закону, може приймати тільки позитивні значення.

Параметр μ - це параметр положення, що співпадає з математичним очікуванням випадкової величини так само, як і для нормального закону розподілу.

Параметр а - це параметр форми, при збільшенні якого (а - "+ °°) крива щільності зворотного нормального розподілу стає більше схожа на нормальний розподіл. Тому в актуарних розрахунках, як і в випадку з гамма-розподілом, використовується а < 1.

Мал. 3.2. Щільність ймовірності зворотного гауссовского розподілу

Основні характеристики зворотного гауссовского розподілу з параметризацією:

• - математичне сподівання дорівнює ;
• - дисперсія ;
• - коефіцієнт варіації
• - коефіцієнт асиметрії

Оцінки параметрів методом моментів визначаються за формулами

Зворотне гауссовское розподіл також може вважатися цілком реалістичною моделлю для сукупного і нормованого збитків групи однаково розподілених незалежних ризиків і багато в чому схоже з гамма-розподілом.

Як і гамма-розподіл, протилежне гауссовское зберігається в результаті згортки навіть тоді, коли параметри і , неоднакові для всіх ризиків, але постійно їх ставлення , тому також підходить для моделювання розподілу сукупного збитку з різними страховими сумами.

Одна з переваг в порівнянні з гамма-розподілом - можливість вираження функції розподілу через стандартний нормальний розподіл і його табульованих функцію розподілу (додаток 1):

логнормальний розподіл

Безперервна випадкова величина X має логарифмічно нормальний ( логнормальний ) розподіл з параметрами μ і σ, якщо її логарифм підпорядкований нормальному закону, і функція щільності ймовірностей має вигляд (рис. 3.3):

Логарифмічно нормальна величина приймає тільки позитивні значення.

Оскільки при нерівності і рівносильні, то функція розподілу логнормального розподілу співпаде з функцією нормального розподілу випадкової величини In.к

де Ф (/) - функція розподілу стандартної нормальної величини виду

Параметр μ - параметр масштабу. Якщо в нормальному законі розподілу параметр μ виступає в якості середнього значення випадкової величини X, то в логнормального - як медіани випадкової величини X.

Як і в разі нормального розподілу, щільність ймовірності логнормального розподілу не можна проінтегрувати для отримання функції розподілу ймовірностей в явному вигляді. Однак значення інтегральної функції логнормального розподілу можна знайти, використовуючи значення інтегральної функції стандартного нормального розподілу (додаток 1).

Логнормальний розподіл має крутий лівий і пологий правий спуск, тобто позитивну асиметрію. При збільшенні параметра μ крива щільності розподілу ймовірності буде зрушуватися вправо, наближаючись до нормальної кривої.

Параметр σ - стандартне відхилення величини In.г - параметр форми. Чим менше σ, тим асиметричні крива, пое-

Мал. 3.3. Щільність ймовірності логнормального розподілу

тому в актуарних розрахунках логнормальний розподіл може бути застосовано, лише якщо σ приймає невеликі значення, менше параметра μ.

Основні кількісні характеристики логнормального величини:

• - математичне сподівання дорівнює ;
• - дисперсія ;
• - коефіцієнт варіації ;
• - коефіцієнт асиметрії ;

Статистичні оцінки параметрів т і σ логнормального розподілу на основі даних вибірки можна визначити методом моментів:

Логнормальний розподіл утворюється в результаті множення великої кількості незалежних або слабо залежних невід'ємних випадкових величин, дисперсія кожної з яких мала в порівнянні з дисперсією результату. В основі логарифмически-нормального розподілу лежить мультиплікативний процес формування випадкових величин, тобто такий, в якому дія кожного додаткового фактора на випадкову величину пропорційно її досягнутому рівню.

Логнормальний розподіл не інваріантної щодо згортки на відміну від гамма-розподілу і зворотного гауссовского розподілу і добре підходить для моделювання розміру збитків в окремому страховому випадку ^[5] .

• [1] Вентцель E. С. Указ. соч. М .: КноРус, 2010 року; Мхітарян В. С. Теорія ймовірностей і математична статистика.
• [2] Мак Т. Математика ризикового страхування: пров. з нім. М .: Олімп Бізіес, 2005.
• [3] Там же.
• [4] Мак Т. Математика ризикового страхування: пров. з нім. М .: Олімп Бізнес, 2005.
• [5] Мак Т. Указ. соч.