НОМІНАЛЬНІ ПРОЦЕНТНІ СТАВКИ

Розглянемо проміжок часу довжиною 1 / р. Якщо в якості одиниці вимірювання став один рік, то найбільш важливими є випадки: // = 12 (розглянутий проміжок часу дорівнює одному місяцю), р = 4 (для проміжку часу один квартал), р = 2 (розглянутий проміжок часу дорівнює півріччю). Ефективна процентна ставка / Ф) за цей проміжок часу становить

При цьому у фінансовій математиці прийнято характеризувати прибутковість вкладення коштів па проміжку 1 / р не ефективною (тобто реальної) процентною ставкою , а так званої номінальної відсоткової ставки (nominal rate of interest):

(6.7)

Слід зазначити, що номінальна процентна ставка служить лише зручним способом опису реально застосовується ефективної ставки

З формул (6.2) і (6.5) ми маємо:

(6.8)

ПРИКЛАД 6.2

Нехай ефективна річна процентна ставка г = 12%. Знайдіть щомісячні, квартальні та піврічні ефективні і номінальні процентні ставки.

Рішення

Відповідно до формули (6.2):

Тоді ефективні процентні ставки рівні:

місячна

квартальна

піврічна

Вони показують, як реально нараховуються відсотки кожен період часу .

Відповідні номінальні процентні ставки знаходяться за формулою (6.7):

Таким чином, розрахункові значення номінальних процентних ставок рівні:

місячна

квартальна

піврічна

Як бачимо, номінальні процентні ставки відрізняються від річної ефективної.

Іноді величину i 00 називають поминальної процентною ставкою, яка виплачується (нараховується ) з частотою р (nominal rate of interest payable (convertible) pthly). Поняття номінальної процентної ставки, а також формули (6.7) і (6.2) дуже важливі при розрахунку рент, страхових премій, пенсій.

НАВЕДЕНА ЦІННІСТЬ ГРОШЕЙ. КОЕФІЦІЄНТ ДИСКОНТУВАННЯ

Припустимо, що в момент часу t> 0 в майбутньому ми повинні будемо виплатити деяку суму С. Виникає питання, яку суму C (-t ) необхідно вкласти зараз (в момент ί0 = 0), щоб до моменту t мати в точності необхідну суму З ? Як випливає з параграфа 6.1.3, для цієї суми виконується співвідношення:

(6.9)

Формули (6.3) та (6.9) означають, що цінність грошей постійно змінюється з плином часу.

ПРИКЛАД 6.3 ^[1]

Нехай ефективна річна процентна ставка i = 12%, тоді сума С = 1000 руб. зараз перетвориться в суму 1000 (1 + г) = 1120 руб. через один рік. У той же час, С = = 1000 руб. зараз може бути отримано інвестуванням 1000 (1+ i) 1 = 892,86 руб. роком раніше. Якщо, наприклад, в момент t 0 = 0 нам повинні повернути 1000 руб, то ми можемо погодитися на повернення 892,86 руб. в момент t = -1 (помістивши їх в банк, ми все одно отримаємо в момент t 0 = 0 суму 1000 руб.). Однак, в момент t = 1 ми повинні вимагати повернення 1120 руб. Адже якби в момент f0 = 0 нам повернули 1000 руб, то помістивши їх в банк, до моменту /: = 1 ми б мали 1120 руб.

Таким чином, суми

• 892,86 руб. в момент ¢ = -1,
• 1000 руб. в момент ¢ = 0,
• 1120 руб. в момент ¢ = +1 по суті, еквівалентні (при фіксованій процентній ставці i = 12%). Це означає, що цінність грошей постійно змінюється з плином часу.

Тому проводити будь-які порівняння, додавання і т.п. над грошовими сумами можна тільки за умови, що всі ці суми розглядаються в один і той же момент часу.

Як випливає з (6.9) цінність суми З в момент t > 0 є

Якщо t <0, то вартість в момент ί0 = 0 суми З в момент t дорівнює сумі, накопиченої за час t '= -t. Як випливає з розділу 6.1.3, ця сума дорівнює

Таким чином, незалежно від знака t, цінність в момент ί0 = 0 суми З в момент t є

(6.10)

Величина P {t) називається сучасною цінністю {present value, PV) суми З в момент t. У літературі зустрічаються терміни сучасна вартість, приведена вартість і т.д.

Наведена цінність одиничної суми (С = 1) позначається ν (ί):

(6.10а)

величину

(6.106)

називають коефіцієнтом дисконтування (обліку) (discount factor). Тоді формула наведеної вартості (6.10) набуде вигляду:

(6.11)

Коефіцієнт дисконтування показує, яку величину v потрібно вкласти зараз при процентній ставці i, щоб через рік отримати одиничну суму З = 1.

Оскільки початковий момент часу може бути обраний довільно, цінність З х в момент суми С2 в момент t- 2 дається формулою:

Звідси випливає, що - ця формула виражає однакову цінність обох сум в момент

ПРИКЛАД 6.4 ^[2]

Пенсійний фонд повинен виплатити учаснику 26 000 руб .:

• • 5000 руб. 1 червня 2009 р .;
• • 6000 руб. 1 лютого 2012 р .;
• • 7000 руб. 1 листопада 2013 р .;
• • 8000 руб. 1 травня 2015 р

Знайдіть величину зобов'язань фонду по відношенню до цього учаснику на 1 січня 2008 р Технічна процентна ставка, яка використовується фондом для оцінки своїх зобов'язань, i = 5%.

Рішення

Нехай час вимірюється в роках, починаючи з 1 січня 2008 року, а один місяць дорівнює 1/12 року. тоді:

• • 1 червня 2009 - це момент
• • 1 лютого 2012 - це момент
• • 1 листопада 2013 р.- це момент
• • 1 травня 2015 року - це момент

Коефіцієнт дисконтування v дається формулою

тому величина зобов'язань фонду на 1 січня 2008 р дорівнює

ЕФЕКТИВНА І НОМІНАЛЬНА ОБЛІКОВА СТАВКА, ЗВ'ЯЗОК З ІНШИМИ ФІНАНСОВИМИ ПОКАЗНИКАМИ

Припустимо, що в момент t 0 = 0 ми даємо в борг суму С. В такому випадку в момент t = 1 нам повинні повернути суму С- (1 + г), яка складається з двох частин: повернення основного капіталу З і відсотків на капітал З '= С-i.

Сума С-i в момент t = 1, будучи наведеної до моменту t 0 = 0, має цінність

Тому відсотки на капітал можуть бути виплачені і заздалегідь, в момент t 0 = 0 отримання позики. Тоді, з отриманих вище формул, ці відсотки, що виплачуються вперед, складають d = i / (i + 1) від початкової суми позики С.

Величина d називається ефективної обліковою ставкою (effective rate of discount) за одиницю часу.

Облікова ставка d може бути виражена як через інтенсивність відсотків 5, так і через коефіцієнт дисконтування ν:

(6.12)

Припустимо, що тепер сума С = 1 дається в борг на час 1 / р з попередньою виплатою відсотків. При цьому ефективна процентна ставка за період 1 / р є

Саме ця сума повинна бути виплачена в момент t = / р у вигляді відсотків. Якщо її привести до моменту ф = О, то згідно (6.10) вона буде мати цінність

Так як i = ¢ / (1 - d ), то для ефективної облікової ставки ¢ / 00 за час 1 / р отримаємо формулу:

(6.13)

Однак у фінансовій математиці, як уже зазначалося, прийнято працювати не з ефективними (тобто реальними) обліковими ставками за час 1 / р, а з так званими номінальними (тобто умовними, неіснуючими реально) обліковими ставками (nominal rate of discount) •.

(6.14)

З формули (6.13) отримаємо:

(6.15)

Величину ¢ / (/ 0 називають номінальною обліковою ставкою, яка нараховується з частотою р (nominal rate of discount convertible pthly).

Поняття номінальної облікової ставки, а також формули (6.14) і (6.15) дуже важливі при розрахунку рент, страхових премій та пенсій.

ПРИКЛАД 6.5 ^[3]

Відсотки за певним банківського рахунку нараховуються відповідно до змінною інтенсивністю відсотків:

У момент на рахунок кладеться сума 100 у.о., а в момент t = 3 вноситься додаткова сума X. Знайдіть цю суму, якщо відомо, що вона дорівнює відсотками, нарахованими за проміжок часу .

Рішення

Припустимо, що в момент Ц зроблений внесок в розмірі 1.

Введений вище коефіцієнт накопичення

У нашому випадку так що

У момент t = 3 + 0 на рахунку буде сума а в момент t = 6 вона виросте до

Тому відсотки за проміжок рівні

З іншого боку, за умовою ці відсотки рівні X. Вирішуючи вийшло рівняння, отримуємо:

• [1] Фалін Г.І. Указ. соч.
• [2] Прообраз завдання див .: Фалін Г.І. Указ. соч.
• [3] Course / Evam 2 - Economics, Finance and Interest Theory. The Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society , November 2001.