БЕЗПЕРЕРВНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРИВАЛОСТІ ЖИТТЯ

Функція дожиття

Класичні таблиці смертності відображають значення показників з інтервалом, рівним одному року. Однак на практиці люди рідко вмирають в день свого народження. Процес вимирання сукупності людей є безперервним.

У теорії ймовірностей ^[1] стохастическую природу будь-якої випадкової величини X описують функцією розподілу F (x). Вона визначається як ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, меншого х.

(7.13)

У демографічній статистиці F (x) називається функцією розподілу тривалості майбутнього життя ( lifetime distribution) і відповідає ймовірності того, що новонароджений помре до досягнення віку х років.

У актуарної математики прийнято працювати з додатковою функцією розподілу:

Мал. 7.1. Графік функції дожиття s (x)

яка показує ймовірність того, що випадкова величина X не менш, ніж деяке число х. Стосовно до тривалості життя, s (x) = 1 - F (x) - це безумовна ймовірність того, що людина (новонароджений) доживе до віку х років. Функція, ν (.τ) називається функцією дожиття (виживання) {survival function):

(7.15)

Властивості функції дожиття:

• 1) s (x) - функція спадна;
• 2) функція s (x) неперервна справа;
• 3) 5 (+00) = 0;
• 4) 5 (0) = 1.

Функція дожиття є строго спадною. В іншому випадку існував би фіксований невипадковий період в житті людей, коли смерть неможлива.

Функція дожиття неперервна, тому що в противному випадку існував би деякий фіксований момент в житті людини, в який він помирав би з позитивною ймовірністю. Це зауваження призводить до того, що функцію дожиття можна було б визначити і як Р (Х> х) (розуміючи під функцією розподілу Р (Х <х)).

Так, в таблицях смертності зазвичай вважають, що існує деякий граничний вік ω (як правило, ω = = ЮО-г-120 років) і відповідно s (.r) = 0 при х> ω. У той час як при описі смертності аналітичними законами зазвичай вважають, що час життя необмежено. Однак при цьому підбирають вид і параметри законів так, щоб ймовірність життя понад деякого віку була б дуже мала.

Функція дожиття s (x) описує середню частку живих представників певної фіксованої групи новонароджених до моменту х.

(7.16)

Іншими словами, з 100 000 народжених в 2009 р в Росії хлопчиків до 30-річного віку доживуть 94 344 особи (додаток 9).

Позначимо Т - тривалість життя новонародженого, а Т х як залишкову тривалість життя - час, яке проживе ще людина, досягнувши віку х. Тоді функція дожиття набуде вигляду

(7.17)

і буде позначати умовну ймовірність того, що людина віку х років, доживе до ( х + I.) років:

(7.18)

тоді:

(7.19)

Умовна ймовірність того, що людина віку х років помре в проміжку від х до (х + t) років визначається за формулою

(7.20)

Умовна функція дожиття s x (t) описує середню частку живих віку (х + t ) років з групи осіб, що дожили до віку х років:

(7.21)

Крива смертей

Введемо нову випадкову величину , D X, як число померлих у віці від х до (х + t ) років з фіксованого числа / 0 новонароджених. Вона пов'язана з величиною L (x), що виражає число живих представників групи новонароджених / 0 до моменту х, співвідношенням

(7.22)

Математичне сподівання випадкової величини , тобто середнє число представників групи, які померли у віці від х до (х + t ) років, позначається :

(7.23)

Використовуючи формулу (7.22), отримуємо:

(7.24)

де - ймовірність смерті в проміжку (х, х + t).

У актуарної математики часто зустрічається ситуація ί = 1 рік. У цьому випадку індекс I, який вказує на те, що розглянута величина відноситься до періоду 1 рік, опускається:

(7.25)

Тоді ймовірність смерті в проміжку ( x , х + 1):

(7.26)

де з - деяке число між віком х і (х + 1).

Так як s '(х) мало змінюється протягом одного року, можна вважати, що вірно наближена рівність

(7.27)

величина

(7.28)

називається в теорії ймовірностей щільністю випадкової величини X з функцією розподілу F (.р). Вона описує в актуарних розрахунках частку померлих у віковому інтервалі (х, х + 1) з вихідної групи / 0 новонароджених. При малих значеннях п величина -s х) t наближено описує частку померлих у віці від х до (х + t ) років з вихідної групи / 0 новонароджених. У актуарної математики (рафик щільності /(.г) (або графік IqJ (x)) називають кривою смертей (the curve of deaths).

Оскільки функція виживання л (.р) убуває, то щільність /(.г) = -s '(x) - невід'ємна, тобто f (x) > 0.

Крім того, з властивостей функції дожиття справедливі співвідношення:

(7.29)

(7.30)

Ці властивості є характеристичними властивостями кривої смертей, тобто якщо деяка крива володіє цими властивостями, то вона є кривою смертей і може бути використана в якості первинної характеристики тривалості життя.

• [1] Вентцель E. С. Указ. соч.