ІНТЕНСИВНІСТЬ СМЕРТНОСТІ ТА ЇЇ ЗВ'ЯЗОК З ФУНКЦІЄЮ ДОЖИТТЯ

При описі смертності за певний період часу абсолютні показники недостатні. Наприклад, згідно з таблицею смертності та очікуваної тривалості життя чоловіків в 2009 р по м Москві (додаток 10) з 100 000 новонароджених в різних вікових категоріях померло приблизно схоже кількість людей: в віці 61-70 років - 18 621 чоловік (d ei + d V) 2 + ... + d 70 ), у віці 81-90 років - 19 764 чоловіків (d Hi + d H2 + ... + d m ).Однак необхідно врахувати, що до моменту 61 року число живуть було 72 625 чоловіків (/ 61), а до моменту 81 року - 29 306 чоловіків (/ 81). Таким чином, для першого вікового інтервалу частка числа померлих за період складе 25,6% від числа живих до початку цього періоду, для другого - 67,4%. Ця частка висловлює ймовірність смерті протягом найближчого 10-річчя чоловіки, який дожив до 61 і 81 роки відповідно.

У загальному випадку ймовірність смерті людини, який дожив до х років, протягом найближчих t років дорівнює:

Якщо t або f (u) мало змінюється на інтервалі х <і <<(х + t), то, застосовуючи формулу Тейлора, можна отримати наближене рівність:

(7.32)

величина

(7.33)

називається інтенсивністю смертності (the force of mortality). При малих t величина μν (ί) наближено виражає ймовірність смерті в інтервалі (х, х + t) людини, який дожив до х років.

Уявлення про характер залежності рд. і х можна отримати з таблиці смертності. Поряд з іншими характеристиками тривалості життя в ній табульованих функція

(7.34)

Звідси випливає, що μν> 0.

Визначення μν як /:'(.r)/(l - F (x) ) або ~ s '(x) / s (x) можна розглядати як диференціальне рівняння щодо F (x) (або щодо х (х)), вирішуючи яке ми отримуємо такі формули:

(7.35)

Умова означає, що вірно властивість:

Зазначені властивості є характеристичними властивостями інтенсивності смертності. Інтенсивність смертності може бути також використана в якості первинної характеристики при дослідженні тривалості життя.

РОЗПОДІЛ ЗАЛИШКОВОГО ЧАСУ ЖИТТЯ. СЕРЕДНЄ ЗАЛИШКОВЕ ЧАС ЖИТТЯ

Розподіл залишкову часу життя

Страхова компанія має справу з конкретними людьми, дожівшімі до певного віку. Статистичні властивості часу життя таких людей істотно відрізняються від властивостей часу життя новонароджених. Якщо людина у віці х років звернувся в страхову компанію, то наперед відомо, що він дожив до х років. Тому все випадкові події, пов'язані з цією людиною, повинні розглядатися за умови, що Т> х. Зокрема, середній час життя цієї людини - це умовне середнє М (ТТ > р.р.), і вона не зобов'язана збігатися з М (Г). Так, ймовірність смерті цієї людини протягом найближчих 10 років - це ймовірність того, що виконується нерівність х <Т <<(х +10) за умови, що Т> х.

Для людини у віці х років зазвичай розглядають не тривалість життя Т, а залишкове час життя Т х = (Г - х). Розподіл випадкової величини Т х - це умовний розподіл величини (Т х) за умови, що Т> х. Таким чином, для маємо:

(7.36)

Відповідна функція виживання визначається за формулою (7.19):

(7.37)

Тоді щільність f x (t) випадкової величини Г ,, може бути визначена але формулою

(7.38)

Інтенсивність смертності, пов'язана з величиною 7, визначається виразом

Це співвідношення означає, що інтенсивність смертності через час t для людини, якій зараз х років, дорівнює інтенсивності смертності у віці (.р + г) для новонародженого. Іншими словами, інтенсивність смертності в даному віці (х + t) не залежить від вже прожитих років. Значить, графік функції y = f x (t) - це зрушена вліво і стисла по вертикалі крива смертності /(.г).

Розглянемо основні характеристики залишкового часу життя. Імовірність Р (Т Х <t) в актуарної науці позначається символом t q x :

(7.40)

Вона висловлює ймовірність смерті людини віку х років протягом найближчих t років. З урахуванням цього позначення формулу (7.40) можна переписати у вигляді

(7.41)

Додаткова ймовірність Р (Т Х > t) в актуарної математики позначається символом t p x Вона висловлює ймовірність того, що людина у віці х років проживе ще, щонайменше, глет. З (7.41) ми отримаємо наступну формулу:

(7.42)

Випадок r = 1 рік відіграє особливу роль і зустрічається найчастіше. Для нього прийнято опускати лівий індекс у змінних t q r і fP x. Таким чином, як вже зазначалося, символ q x позначає ймовірність того, що людина у віці х років помре протягом найближчого року, а символ р х - ймовірність того, що людина у віці х років проживе ще щонайменше один рік.

Із загальних формул (7.41) і (7.42) маємо:

(7.44)

За допомогою ймовірностей р х можна підрахувати і більш загальні ймовірності , р л :

(7.45)

Оскільки то цю формулу можна переписати у вигляді:

(7.46)

Формула (7.45) має простий інтуїтивний сенс: вона висловлює той факт, що людина у віці х років проживе ще t років:

  • - якщо він проживе ще один рік (ймовірність цієї події дорівнює р х );
  • - за умови, що він доживе до віку + 1) років, він проживе ще один рік (ймовірність цієї події дорівнює Рх- і);
  • - за умови, що він доживе до віку (х +1 - 1) років, він проживе ще один рік (ймовірність цієї події дорівнює Px + t- 1) •

Розглянемо тепер більш загальне подія, що полягає в тому, що людина віку х років проживе ще t років, але помре протягом і наступних років.

У термінах залишкового часу життя Т х цю подію можна висловити подвійним нерівністю: t <Т х <(t + і). Його ймовірність позначається .:

(7.47)

Ця ймовірність може бути виражена як через функцію розподілу залишкового часу життя t q x, так і через додаткову функцію розподілу t p x :

(7.48)

Маючи на увазі формули (7.41) і (7.42), перейдемо до основної функції демографічної статистики - функції виживання s (x):

(7.50)

Випадок, коли і = 1, являє собою особливий інтерес для додатків до страхування життя. Як завжди, відповідний індекс прийнято опускати: , q x - це ймовірність того, що людина у віці х років проживе ще t років, але помре протягом наступного року.

Наведені вище загальні формули дають:

(7.51)

ПРИКЛАД 7.9

Використовуючи дані таблиці, знайдіть ймовірність того, що 20-річний молодий чоловік:

  • а) доживе до 40 років і помре потім в найближчі 10 років,
  • б) проживе ще 40 років і помре в найближчі 10 років.

X

0

5

...

20

...

40

50

60

70

S (x)

1

0,9908

...

0,9839

...

0.9146

0,8559

0,7435

0,5629

Рішення

а) Для визначення ймовірності померти в проміжку від (.р + ί) до + t + і ) років слід скористатися формулою (7.50). За умовою завдання: х = 20, + ί) = 40, t = 20, і = 10. Тоді

б) Для визначення шуканої ймовірності необхідно скористатися формулою (7.50). За умовою: х = 20, Г = 40, і = 10. Тоді

Відповідь : для 20-річного молодого чоловіка ймовірність: а) дожити до 40 років і померти потім в найближчі 10 років дорівнює 5,97%, б) прожити ще 40 років і померти в найближчі 10 років дорівнює 18%.

ПРИКЛАД 7.10 [1]

Припустимо, що у віці від 30 до 33 років інтенсивність смерті описується формулою: μν = 0,001.г. Необхідно визначити для 30-річного чоловіка ймовірність померти в проміжку між 32 і 33 роками.

Рішення

Запишемо шукану ймовірність, використовуючи формулу (7.51):

Скористаємося формулою (7.35), представивши її у вигляді:

тоді

де

Відповідь : для 30-річного чоловіка ймовірність померти в проміжку між 32 і 33 роками дорівнює 0,03.

Що стосується характеристики "очікувана тривалість майбутнього життя", то в контрактах зі страхування життя, де страховика цікавить ймовірність дожиття застрахованого до певного віку, дана характеристика не дуже інформативна. З її допомогою можна лише досить грубо оцінити ситуацію для конкретної застрахованої особи.

У пенсійному ж страхуванні роль цієї характеристики дещо вищий, так як вона дозволяє в першому наближенні оцінити обсяг відповідальності страховика. Проте при вирішенні актуарних задач цього явно недостатньо. Необхідно оцінити можливі відхилення від середнього значення з зазначенням ймовірності цього відхилення.

Принциповим моментом є дослідження поведінки "хвоста" кривої дожиття. Підбір аналітичних кривих переслідує саме цю мету. Актуарій повинен побудувати криву для конкретного клієнта і перевірити, скільки таких (або принаймні подібних) кривих (тобто застрахованих) є в його портфелі.

Якщо портфель досить численний, то на підставі закону великих чисел очікуваний сумарний збиток можна апроксимувати нормальним законом. В іншому випадку (а саме це і має місце в портфелях більшості страхових компаній, особливо російських на сучасному етапі) орієнтація на математичне очікування і середньоквадратичне відхилення - недостатньо виправдана.

Доводиться розраховувати ризикову надбавку, спираючись на процентні точки кривої розподілу. А для сумарного збитку використовувати апарат "згортки". На основі розподілу величини сумарного збитку (точніше, його процентних точок) можна вказати величину, що обмежує сумарний збиток із заданою вірогідністю. Тоді різниця цієї величини і середнього збитку вказує сумарну ризикову надбавку, що забезпечує задану надійність (див. Гл. 3).

Зрозуміло, тут передбачається, що наступний діапазон величини сумарного збитку перекривається резервом, а при необхідності - перестрахуванням.

Якщо розрахунки проводяться в зворотному напрямку, тобто спочатку визначається тариф виходячи з ситуації на ринку, потім знаходиться нетто-премія, а ризикова премія визначена на основі кривої дожиття, то різниця між ними показує сумарну ризикову надбавку, тобто дозволяє оцінити надійність , що забезпечується внесками. Тоді далі враховуються можливості підвищення стійкості страховика за рахунок резервів, власного капіталу, перестрахування і т.д. [2]

Середнє залишкове час життя

Тривалість життя при досягненні людиною віку х років визначається імовірнісними характеристиками процесу вимирання початкової сукупності народжених. У разі, якщо цей процес описується функцією дожиття s x (i), тривалість життя конкретної особи у віці х років може приймати будь-які значення в діапазоні від 0 до (зі - х ) років (де ω - граничний вік). У цьому випадку середня тривалість життя - це математичне сподівання випадкової величини Т х (де Т х - час, що залишився життя для особи у віці х років).

Середнє значення залишкового часу життя людини у віці х років називається повною очікуваною тривалістю життя (complete expectation of life) і визначається як математичне сподівання випадкової величини Т х по формулі

(7.52)

Для того щоб визначити взаємозв'язок між дискретної і безперервної характеристиками середньої тривалості життя, необхідно висунути гіпотезу щодо виду функції дожиття х (х). Наприклад, якщо вважати функцію дожиття лінійної на всьому проміжку між цілими значеннями віку, можна визначити рівність

(7.53)

У загальному випадку також використовують формулу (7.53) при обліку наближених результатів.

ПРИКЛАД 7.11 [3]

Припустимо, що функція виживання має вигляд:

Необхідно знайти:

  • а) ймовірність того, що 50-річний чоловік помре протягом найближчого року;
  • б) середнє залишкове час його життя.

Рішення

а) Використовуємо формулу (7.43):

б) 1-й спосіб : Скористаємося правою частиною формули (7.52):

2-й спосіб: Скористаємося середньою частиною формули (7.52). Для вирішення необхідно згадати правило інтегрування методом заміни змінної:

тоді

де

  • [1] Фалін Г.І. Математичні основи теорії страхування життя

    і пенсійних схем. М .: Анкил, 2007.

  • [2] Фалін Г.І. Указ. соч.
  • [3] Там же.
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >