ЗАКОНИ СМЕРТНОСТІ

Виділяють два основних підходи до дослідження законів смертності населення.

Перший підхід виражений в прагненні знайти єдину математичну формулу "закону смертності", уявити ймовірність померти, як безперервну величину, значення якої можна розрахувати на будь-який момент життя людини, уточнивши тим самим тариф. Недоліком цього підходу є деяка посередність, згладжена законів смертності.

Другий підхід полягає в побудові таблиць смертності. Він дозволяє врахувати в таблицях смертності, усереднені для даного віку, але не згладжені ймовірності померти. Його недоліком є відсутність достоїнств аналітичного згладжування.

В актуарних розрахунках частіше використовують другий підхід, доповнюючи його деякими припущеннями про характер смертності між окремими роками життя.

Багато авторів намагалися висловити залежність смертності від віку однієї загальною формулою і дати аналітичний закон смертності. Спроби ці, однак, не увінчалися успіхом зважаючи на велику складності і численності факторів, що впливають на смертність, багато з яких поки навіть не піддаються цифровому обліку.

Одна з перших спроб отримати аналітичний вираз для s ( x ) належить де Муавру (1725). Він припустив лінійний характер спадання функції дожиття:

(7.54)

і для інтенсивності смертності:

(7.55)

При цьому щільність смертності постійна: F (x) = 1 / ω.

Звичайно, в подальших дослідженнях з'ясувалося, що ця гіпотеза суперечить дослідним даним.

У 1825 р англійському вченому Гомперца (зітреться) вдалося знайти більш відповідну загальну формулу, вдосконалену згодом Мейкхемом ( Makeham ), яка має залежність між смертністю і віком - формулу, що дає для середніх віків результати, близькі до отриманих зі спостережень. Згідно з цим законом логарифми ймовірностей прожити наступний рік життя діють за законом геометричної прогресії. Формула

Гомперца - Мейкхема, хоч і є законом наближеним, широко застосовується в сучасній практиці для вирівнювання показників таблиць смертності.

Спочатку Гомперц запропонував експонентну формулу для сили смертності:

(7.56)

(7.57)

(7.58)

(7.59)

(7.60)

(7.61)

Потім в 1860 р Мейкхем поряд з фактором, пов'язаним з "природною" смертністю В • З х, взяв до уваги смертність від зовнішніх, не пов'язаних зі старінням причин (наприклад, смерть від нещасного випадку і т.п.) (константа А) і уточнив формулу Гомперца у вигляді:

(7.62)

(7.63)

(7.64)

У 1869 році він запропонував ще одне лінійне доданок, і тоді виведений ним закон смертності прийняв такий вигляд:

(7.65)

(7.66)

(7.67)

У 1931 р Пек (або Перкі) запропонував співвідношення

(7.68)

Широке поширення в аналізі даних типу "часу життя" отримала формула Вейбулла :

(7.69)

(7.70)

(7.71)

Однак універсальної формули смертності, дає хороше наближення для всього діапазону вікових груп, поки не існує. Різні закони дають різну ступінь точності для різних вікових груп. Тому на практиці використовують кусково комбінації цих виразів.

ПРИКЛАД 7.12 [1]

Фахівці вважають, що розробка нового лікарського препарату збільшить очікувану середню тривалість життя на 4 роки. Передбачається, що смертність (до розробки лікарського препарату і після) описується законом де Муавра. Визначте, як зміниться граничний вік ω.

Рішення

Для вирішення завдання введемо позначення. Нехай ω - граничний вік до розробки лікарського препарату; ω '- граничний вік після розробки лікарського препарату.

Так як смертність описується законом де Муавра, то залишкове час життя Г (х) рівномірно розподілено на відрізку (0, ω - х ). Отже, очікувана тривалість життя до розробки лікарського препарату за формулою (7.52):

Тоді очікувана тривалість життя після розробки лікарського препарату:

За умовою завдання

тоді

Відповідь : граничний вік збільшиться на 8 років.

  • [1] Фалін Г.І. Указ. соч.
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >