ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ТАБЛИЦЬ СМЕРТНОСТІ ДЛЯ ДРІБНИХ ВІКОВИХ ГРУП

Реальні статистичні дані доступні для округленого часу життя. Це пов'язано як з зручністю збору інформації, так і з традиційною формою їх подання в таблицях смертності. Отже, виникає зворотна задача визначення безперервних характеристик Т х, якщо відомі дискретні характеристики, яка може розглядатися як завдання інтерполяції. При цьому досить інтерполювати тільки функцію виживання.

У актуарної математики ця проблема вирішується на основі висунутої гіпотези про вид функцій виживання між вузлами інтерполяції. Розглянемо три таких гіпотези:

  • - рівномірний розподіл смертей;
  • - постійна інтенсивність смертності;
  • - припущення Балдуччі.

Рівномірний розподіл смертей

Найпростішою є інтерполяція лінійними функціями.

Основні припущення гіпотези - лінійність функції дожиття між двома сусідніми точками (вузлами інтерполяції) - пі (і + 1).

(7.72)

(7.73)

(7.74)

Таким чином, на відрізку η <х <п +1 функція s (r) наближається лінійною функцією

(7.75)

Записуючи х у вигляді х = п + t, де 0 < t <1, цією формулою можна надати вигляду

(7.76)

Для щільності f (x) отримуємо

(7.77)

Відповідно для інтенсивності смертності μ χ маємо

(7.78)

За допомогою величини цю формулу можна переписати у вигляді

(7.79)

або (7.80)

Розглядається наближення має зростання інтенсивності смертності між вузлами інтерполяції. У цілочисельних точках щільність /(.г) і інтенсивність смертності μ ,, не визначені.

Одне з важливих наслідків припущення полягає в наступному.

Для цілого п і (0; 1) ймовірності смерті особи віку п протягом дрібного тимчасового інтервалу t дорівнює:

(7.81)

Для цілого п і ймовірність смерті:

(7.82)

Таким чином, в припущенні про лінійної інтерполяції функції виживання ймовірність смерті протягом частини року пропорційна довжині цієї частини.

Постійна інтенсивність смертності

Основне припущення гіпотези - сталість сили смертності на інтервалі :

Оскільки -1п (5 (х)) '= -μν, ця умова рівносильне експонентному характеру розвитку S (x) на

Інтерполіруя функцію виживання s (x) експоненційної функцією

(7.83)

Можна визначити а " і Ь п :

(7.84)

(7.85)

де величина

визначена нами раніше як ймовірність того, що людина у віці п років проживе ще щонайменше один рік. Таким чином,

(7.86)

Записуючи х у вигляді х = п +1, де 0 < t <1, можна отримати:

(7.87)

А так як 5 (n + t) / S (n ) = , р п, це дає важливу формулу для розрахунку ймовірності дожиття до будь-якого дрібного віку (х = п + t ) відповідно до висунутої гіпотези:

(7.88)

Для щільності f (x) це наближення дає:

(7.89)

Для інтенсивності смертності μν:

(7.90)

Це підтверджує, що розглядається інтерполяції відповідає припущення про постійну інтенсивності смертності між двома днями народження.

Припущення Балдуччі

Припущення Балдуччі ( Balducci ), на відміну від припущення про рівномірний розподіл смертей, лінійними на ділянці хе [і; п + 1] функціями интерполирует 1/5 (.т). Це призводить до наступних формулах:

(7.91)

(7.92)

Звідси можна отримати формулу для х (.т) на відрізку п <х <п +1

(7.93)

де ймовірності р " і q n визначені як ймовірність того, що людина у віці п років проживе ще щонайменше один рік, і ймовірність того, що людина у віці п років помре протягом цього року, відповідно.

Для щільності /(.г) це наближення дає

(7.94)

Відповідно для інтенсивності смертності рг маємо наступне наближення:

(7.95)

Припущення Балдуччі тягне спадання інтенсивності смертності між вузлами інтерполяції.

Якщо у формулі (7.93) розділити ліву і праву частини на s (n), то отримаємо:

або

(7.96)

Одне з важливих наслідків припущення Балдуччі полягає в наступному:

(7.97)

Отже, відповідно до гіпотези Балдуччі ймовірність смерті до чергового дня народження пропорційна часу до цього дня народження.

ПРИКЛАД 7.13

Вірогідність померти для чоловіка 60 років протягом року дорівнює 0,023196. Аналогічна ймовірність для чоловіка 61 року дорівнює 0,021139 (за даними додатка 10). Визначте ймовірність того, що 60-річний чоловік помре у віці від 60,5 до 61,5 років, в припущенні Балдуччі.

Рішення

Для вирішення завдання необхідно скористатися формулою (7.51):

Таким чином, слід визначити функції виживання для дрібного числа вікових груп. Виникає запитання апроксимації, яка вирішується виходячи з різних припущень розподілу смертей. За умовою необхідно використовувати гіпотезу Балдуччі.

Скористаємося формулою (7.93):

тоді

Так як то

Відповідь: в припущенні Балдуччі ймовірність того, що 60-річний чоловік помре у віці від 60,5 років до 61,5 років, дорівнює 0,0219.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >