РОЗРАХУНОК ПРЕМІЙ ДЛЯ ДОГОВОРІВ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ З ВИПЛАТАМИ В МОМЕНТ СМЕРТІ (БЕЗПЕРЕРВНИХ)

Безперервними вважаються договору, згідно з якими страхову допомогу зазвичай виплачується у вигляді одиночної суми в момент смерті застрахованого.

Разова нетто-нремя для будь-якого договору страхування дорівнює:

(8.121)

де - величина страхового відшкодування, наведена на момент укладення договору застрахованого віком х років:

(8.122)

Далі розглянемо конкретні договори страхування і уточнимо формули для кожного з них.

Накопичувальне страхування життя на строк n років (на дожиття)

Сучасна вартість одиничної страхової суми в момент укладання договору з людиною у віці х років позначається і дорівнює:

(8.123)

Актуарна сучасна вартість (нетто-ставка) одиничної страхової суми в момент укладання договору з людиною у віці х років позначається і дорівнює:

(8.124)

довічне страхування

Сучасна вартість одиничної страхової суми в момент укладання договору з людиною у віці х років позначається і дорівнює:

Актуарна сучасна вартість (нетто-ставка) одиничної страхової суми в момент укладання договору з людиною у віці х років позначається і дорівнює:

(8.126)

можна виразити через характеристики часів життя:

(8.127)

можна виразити через комутаційні функції:

(8.128)

ПРИКЛАД 8.11

Чоловік у віці 45 років уклав довічний договір страхування з умовою щорічної сплати страхових внесків поки він живий. Страхова сума дорівнює 10 000 руб. Річна норма прибутковості - 5%. Визначте величину річних внесків.

Рішення

Для обчислень скористаємося формулою (8.128). Аналогічно формулі (8.73) для розстрочки внесків в дискретних договорах можна записати:

При цьому необхідно також використовувати взаємозв'язку між дискретними і безперервними величинами - формули (8.154). Інтенсивність відсотків (δ) визначаємо за формулою (8.42). тоді

11о таблиці комутаційних функцій П9 додатків визначимо значення і підставимо в отриману формулу:

Відповідь: річний внесок з страхової суми 10 000 руб. складе 198 руб.

Довічне страхування, відстрочене на k років

Сучасна вартість одиничної страхової суми в момент укладання договору з людиною у віці х років позначається і дорівнює:

(8.129)

Актуарна сучасна вартість (нетто-ставка) одиничної страхової суми в момент укладання договору з людиною у віці х років позначається і дорівнює:

(8.130)

Через комутаційні функції:

(8.131)

Взаємозв'язок між сучасною вартістю страхових відшкодувань для довічного страхування, відстроченого на k років, ^ -річного страхування і довічного страхування можна виразити наступною формулою:

(8.132)

І для середніх значень:

(8.133)

ПРИКЛАД 8.12

Для умов прикладу 8.11 термін сплати страхової премії обмежений віком 65 років. Визначте величину річного страхового внеску.

Рішення

Аналогічно формулі (8.73) для розстрочки внесків в дискретних договорах можна записати:

Відповідь: річний внесок з страхової суми 10 000 руб. складе 246 руб.

Страхування життя на строк п років (на випадок смерті)

Сучасна вартість одиничної страхової суми в момент укладання договору з людиною у віці х років позначається і дорівнює:

(8.134)

Актуарна сучасна вартість (нетто-ставка) одиничної страхової суми в момент укладання договору з людиною у віці х років позначається і дорівнює:

(8.135)

Через характеристики часів життя отримуємо:

(8.136)

Страхування життя на строк п років, відстрочене на k років (на випадок смерті)

Розмір одиничного страхового відшкодування, наведений на момент укладення договору з людиною у віці атлет, позначається або і дорівнює:

Відповідне середнє значення можна виразити через характеристики залишкового часу життя:

(8.138)

і через комутаційні функції:

(8.139)

Взаємозв'язок між сучасною вартістю страхових виплат для довічного страхування, відстроченого на k років, ^ -річного страхування і (k + л) -летпего страхування можна виразити наступною формулою:

(8.140)

І для середніх значень:

(8.141)

Змішане страхування життя на строк

Сучасна вартість одиничної страхової суми в момент укладання договору з людиною у віці х років позначається і дорівнює:

(8.142)

Відповідне середнє значення можна виразити через характеристики залишкового часу життя:

(8.143)

Через комутаційні функції:

(8.144)

Зв'язок між сучасною вартістю страхових виплат для я-лстного страхування, і-льотного змішаного страхування і д-льотного накопичувального страхування:

Аналогічна зв'язок для середніх значень:

(8.146)

Випадок виплати страхового забезпечення відразу після смерті в договорах зі страхування життя і змішаному страхуванні

Як правило, договір страхування передбачає виплату страхової суми відразу після встановлення факту смерті. Тому при обчисленні поточної вартості страхової виплати слід здійснювати дисконтування від моменту смерті, а не від кінця року, що реалізується заміною: V k + 1 -> V * +1, де τ - інтервал часу від початку (до +1) -го року страхування до моменту смерті (в частках року). Але нам заздалегідь невідомо кількість смертей в певному часовому інтервалі всередині року, відомо тільки загальна кількість смертей осіб даного віку за рік. Тому (як зазначено раніше) необхідно прийняти будь-яку гіпотезу про розподіл смертей всередині року. Скористаємося припущенням про рівномірному розподілі смертей всередині року.

Якщо розбити (k + 1) -ий рік на г рівних інтервалів часу тривалістю 1 / г, кількість смертей за будь-який інтервал часу складе d x + k / r. Будемо вважати, що всі виплати за страховими випадками, що сталися у відповідному часовому інтервалі, здійснюються в кінці цього інтервалу, тобто сукупність страхових виплат є r-строкову ренту постнумерандо.

В результаті поточна вартість страхових виплат за рік дорівнює:

Таким чином, очікувана поточна вартість страхових виплат, що здійснюються відразу після смерті, для довічного страхування дорівнює:

(8.147)

Страхувальник у віці 45 років придбав договір довічного страхування, за яким у разі його смерті спадкоємці повинні отримати 10 000 руб. Визначте вартість контракту при річній процентній ставці 5%. Для розрахунків використовуйте дані таблиць комутаційних функцій (додаток 12).

Рішення

Для визначення вартості контракту скористаємося формулою (8.147).

По таблиці комутаційних функцій р Москви визначимо необхідні значення:

тоді

Сума внеску дорівнює:

Відповідь •, вартість контракту складе 2959 руб.

Аналогічно для вартості термінового контракту зі страхування життя строком на п років, з виплатою страхового забезпечення відразу після смерті отримаємо:

(8.148)

Як зазначено раніше, при невеликих значеннях річної процентної ставки можна замінити множник:

(8.149)

Відповідно, можна розглядати випадки, коли виплати страхового забезпечення здійснюються в кінці місяця, в якому відбулася смерть застрахованого.

Наприклад, очікувана поточна вартість страхових виплат, що здійснюються в кінці місяця ( г = 12), в якому сталася смерть застрахованого, для довічного страхування дорівнює:

Аналогічно обчислюється вартість термінового контракту зі страхування життя строком на п років, з виплатою страхового забезпечення, що здійснюється в кінці місяця ( г = 12), в якому сталася смерть застрахованого:

(8.151)

ЗВ'ЯЗОК МІЖ БЕЗПЕРЕРВНИМИ І ДИСКРЕТНИМИ ДОГОВОРАМИ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ

З дискретними видами страхування пов'язані різні довічні ренти. Для того щоб дослідити зв'язок між безперервними і дискретними видами страхування, припустимо, що момент смерті всередині останнього року життя має рівномірний розподіл для дрібних вікових груп. При цьому припущенні випадкові величини: До х. - округлене залишкове час життя, - дрібна частина

Т х , Т х - тривалість життя незалежні і величина τ χравномерно розподілена на проміжку [0,1).

Тоді і величина (1 - τ χ) рівномірно розподілена на проміжку [0,1). отже,

(8.152)

Враховуючи що

(8.153)

можемо записати:

(8.154)

або виразити таким чином:

(8.155)

(8.157)

Подібність цих формул не випадково і пояснюється наступним. Припустимо, що величина Ь, зберігає постійні значення на проміжках , тобто для п <t <(n + 1), а момент смерті рівномірно розподілений всередині останнього року життя. Тоді разова Негт-премія А з будь-якого договору страхування з виплатою страхової суми в момент смерті пов'язана з разової нетто-премією А за аналогічним видом страхування, але з виплатою страхової суми в кінці року смерті, наступною формулою:

(8.158)

Можливо надання доказів:

(8.159)

Отримані формули для розрахунків тарифних ставок зручно представити в табличній формі (табл. 8.2-8.4).

Формули побудови тарифних ставок в основних договорах страхування життя

Таблиця 8.2

Страхування на випадок смерті

Страхові виплати

З обмеженим терміном сплати внесків t

термін

внески

в кінці року смерті

в кінці 1 / г періоду року смерті

відразу після смерті

з а

1 + 1 5-й

* S.

С -

CQ -

Про s

Ξ З ω

довічне страхування

щорічно

т раз на рік

Термінове (на термін п років) страхування

Едіновремен

але

щорічно

т раз на рік

Таблиця 8.3

Термінове (на термін і років) страхування на дожиття (виплати відразу)

внески:

одноразово

Внески: щорічно

Внески: т раз на рік

Таблиця 8.4

Змішане страхування життя

внески

Страхові виплати

Термінове (на термін п років) змішане страхування життя з відстрочкою відповідальності на k років

в кінці року смерті

відразу після смерті

єдино

тимчасово

щорічно

т раз на рік

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >