ПОБУДОВА ТОЧОК ПЕРЕТИНУ ПРЯМОЇ З ПОВЕРХНЕЮ МНОГОГРАННИКА

Побудова точок перетину прямої з поверхнею многогранника зводиться до побудови лінії перетину многогранника проецирующей площиною, в яку укладають дану пряму. На рис. 6.11 приведено побудову проекцій Е ", Е ' і F", F' точок перетину прямої з проекціями М "N ", М 'N' з бічними гранями піраміди. Піраміда задана проекціями G ", G ' вершини і А" В "С", А'В'С підстави. Пряма MN укладена в допоміжну фронтально проецирующую площину у (у "). Горизонтальні проекції Е ' і F' шуканих точок побудовані в перетині проекції M'N ' з горизонтальними проекціями1 '3' і 2'3 ' відрізків, по яким площину у перетинає бічні грані піраміди. Фронтальні проекції Е " і F" визначено по лініях зв'язку.

ВЗАЄМНЕ ТЕ БАГАТОГРАННИКІВ

Зображення перетинаються між собою в просторі призми А і піраміди Б представлено на рис. 6.12. Лінія їх перетину проходить через точки 1,3,4, 6 перетину ребер піраміди з гранями призми і точки 2, 5 перетину ребра призми з гранями піраміди. У загальному випадку в перетині багатогранників виходить просторова замкнута ламана лінія, яка в деяких окремих випадках може виявитися плоскою.

При побудові лінії перетину багатогранників застосовують два способи і їх комбінації:

1. Будують точки перетину ребер одного багатогранника з гранями іншого і ребер другого з гранями першого. Через побудовані точки в певній послідовності проводять ламану лінію перетину даних багатогранників. При цьому відрізки прямих проводять лише через ті побудовані точки, які лежать в одній і тій же межі.

Мал. 6.11

Мал. 6.12

2. Будують відрізки прямих, за якими межі однієї поверхні перетинають межі інший. Ці відрізки є ланками ламаної лінії перетину багатогранних поверхонь між собою.

Таким чином, побудова лінії перетину двох багатогранників зводиться або до побудови лінії перетину двох площин між собою, або до побудови точки перетину прямої з площиною. Обидві ці завдання розглянуті вище. На практиці зазвичай використовують обидва способи в комбінації виходячи з умови простоти і зручності побудови.

Як приклад розглянемо побудову лінії перетину усіченої правильної чотирикутної піраміди і похило розташованої тригранної призми (рис. 6.13, а). Перш ніж приступити до побудов, аналізують взаємне положення багатогранників і їх розташування щодо площин проекцій. В даному випадку очевидно, що багатогранники можуть перетинатися тільки по бічних гранях. Ребра призми і бічні ребра піраміди паралельні площині π2, підстави піраміди паралельні площині π ,. Нижня грань призми і її підстави перпендикулярні площині π2.

Зазначені особливості розташування призми і піраміди визначають і найбільш раціональний спосіб побудови лінії пере-

Мал. 6.13

перетину їх поверхонь нащадкам перетину ребер призми з гранями піраміди і бічних ребер піраміди з гранями призми.

Побудови показані на рис. 6.13, б. Розглянемо їх для лівої частини креслення (від осі піраміди). Проекції 1 ", 1 ', 2", 2', 3 ", 3 ', 4", 4' точок перетину ребер призми з гранями піраміди знайдені шляхом проведення через них фронтальних площин р (р '), а (а'), у (у '). Вони перетинають ліві бокові грані піраміди по Фронтале - прямих лініях, паралельним лівому ребру піраміди. Положення їх фронтальних проекцій визначено по горизонтальних проекцій 2 / ', 22' і 24 ' точок перетину горизонтальних проекцій Р', а 'і у' площин р, а, у з горизонтальною проекцією основи піраміди. У перетині фронтальних проекцій цих ліній з фронтальними проекціями ребер призми знайдені фронтальні проекції 1 ", 2" і 4 "точок перетину ребер призми з лівими гранями піраміди. За ним побудовані горизонтальні проекції / 2 ', 4'.

Проекції 3 ", 3 ' точки перетину ребра AD піраміди з верхньої задньої гранню призми знайдені за допомогою допоміжної фронтальній площині ц (г |'), яка проведена через це ребро. Площина ц перетинає межу призми по прямій, паралельної ребрах призми і проходить через точку 23 на підставі призми. У перетині фронтальних проекцій цієї прямої і ребра A "D" знайдено фронтальна проекція 3 " точки перетину зазначеного ребра з задньої верхньою межею призми і на лінії зв'язку - горизонтальна проекція 3 '. З нижньою гранню призми, перпендикулярній площині п 2, ребро AD перетинається в точці з фронтальною проекцією 5 ". У проекційної зв'язку на проекції А 'D' побудована її горизонтальна проекція 5 '.

Таким чином, проекції точок перетину всіх ребер призми з лівими гранями піраміди - 1 ", 12 ", 2 ', 4 ", 4' й ребра / lZ) піраміди з двома гранями призми - 3", 3 ' і 5 ", 5' побудовані. З'єднуємо проекції точок, що належать одній грані, і отримуємо проекції 1 "2" 3 "4" 5 "1", Г2 '3'4'5'1' ламаної лінії перетину.

Побудова в правій частині креслення проекцій 6 "7" 8 "9" 10 "6", 6'7'8'9'10'6 ' лінії перетину аналогічно. Порядок побудови ілюструється стрілками.

Після побудови проекцій ліній перетину багатогранників обводять проекції решти частин ребер багатогранників.

Зауважимо, що переднє і заднє ребра піраміди не перетинають поверхню призми.

РОЗГОРТКА ГРАННИХ ПОВЕРХОНЬ

Розгорткою поверхні багатогранника називають плоску фігуру, отриману при поєднанні з площиною всіх його граней. Розгортання гранних поверхонь виконують для проведення розкрою листового матеріалу при виготовленні деталей або визначення площі поверхні деталей, що покриваються різними матеріалами. Визначення площі важливо при різних покриттях, виконуваних як з декоративними цілями, так і з метою надання поверхні певних властивостей, наприклад підвищеної електропровідності, а також при різних хімічних методах обробки поверхонь.

Мал. 6.14

Для побудови розгортки гранной поверхні необхідно визначити розміри її граней. Зауважимо, що побудова будь-якої грані багатогранника може бути виконано шляхом розбиття її на трикутники. Довжина сторін трикутника в свою чергу може бути визначена будь-яким з відомих методів.

Розгортка поверхні піраміди. Побудова розгортки бічної поверхні піраміди можна проводити в такій послідовності:

Мал. 6.15

  • 1) визначити довжину ребер і сторін підстави піраміди;
  • 2) виконати креслення розгортки послідовним побудовою трикутників - граней піраміди.

Приклад побудови розгортки поверхні трикутної піраміди GABC наведено на рис. 6.14. Для зручності побудови бічні ребра піраміди продовжені до перетину з площиною л ,. Це дозволило визначити на горизонтальній проекції довжину відрізків / '22'3', 3'1 ' нового підстави піраміди. Довжина бічних ребер G- 1, G- 2, G-3 знайдена обертанням їх навколо вертикальної осі - відрізки G "l", G "2", G "3". На них знайдені відрізки G "А", G "В", G "С". За знайденими відрізках побудована розгортка бічної поверхні G 0 / 020J0 h і потім G a A 0 B a C 0. На відрізку А 0 С 0 побудована натуральна величина трикутника АВ () З 0 по сторонам А "В і і С і В а, знайденим способом прямокутного трикутника (див. рис. 2.8).

Побудова розгортки призматической поверхні можна робити декількома способами - нормального перетину, трикутників.

При способі нормального перетину побудова розгортки призматической поверхні доцільно виконувати в наступному порядку (рис. 6.15):

  • - перетнути призматичну поверхню допоміжної площиною, перпендикулярної її ребрах a _L 1-2 (ABCD - нормальне перетин);
  • - розгорнути побудовану ламану лінію (Д0 B ,, C 0 D 0 ) перетину допоміжної площини з призматичної поверхнею, визначивши довжину її відрізків (Адь B U C 0 , C 0 D 0);
  • - на перпендикулярах до розгорнутої лінії перетину (A 0 D 0 ) відкласти довжину відрізків ребер призматической поверхні (A a I 0 , A a Z i , В 0 3 0, ДЛ, C0J0, С 0 6о, D 0 7 0 , D 0 8 0 ) і з'єднати їх кінці відрізками прямих.

За способом трикутників розгортка призматичної поверхні полягає в наступному: чотирикутники (межі) розбивають діагоналями на трикутники; визначають довжини сторін трикутників; виконують креслення розгортки послідовним побудовою трикутників, на які розбиті межі.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >