КРИВІ ЛІНІЇ

Загальні відомості про криві лініях і їх проектуванні

Криву лінію можна розглядати як траєкторію руху точки на площині або в просторі, а також як сукупність точок, що задовольняють певному рівнянню. Крива лінія може бути результатом перетину між собою кривих поверхонь або кривої поверхні і площини.

Крива лінія визначається положенням складових її точок. Точки кривої визначаються їх координатами.

Криву лінію називають плоскою, якщо всі крапки лінії лежать в одній площині, і просторової, якщо точки не належать одній площині. Приклади плоских кривих ліній - окружність, еліпс, парабола, спіраль Архімеда; приклади просторових кривих - гвинтова лінія, лінія перетину бічних поверхонь прямих кругових циліндра і конуса, осі яких не перетинаються.

Один з варіантів побудови еліпса по великій (2R) і малої ( ) осях наведено на рис. 7.1. При побудові проводять окружності радіусами г і Ліз одного центру Оі довільний радіус ОА. З точок перетину 1 і 2 проводять прямі, паралельні осях еліпса, і в точці їх перетину відзначають точку М еліпса. Аналогічно будують необхідне число точок. Варіант побудови овалу, близького до еліпсу, наведено на рис. 11.9.

Побудова сполучень. Дотична з точки (А) до окружності (рис. 7.2).

На відрізку ОА як на діаметрі будують коло радіуса R = 0,5 [ОА. Точка 1 її перетину із заданою окружністю радіуса г-точка сполучення (0-1-А = 90 °). Через точки А і / проводять шукану дотичну.

Дотична до двох дуг (!!! Ліл рис. 7.3, зовнішнє торкання ). Проводять дугу ра-

Мал. 7.1

Мал. 7.2

Мал. 7.3

Мал. 7.4

Діус R - г з центру Про дуги більшого радіусу. Будують дотичну МО до цієї дузі, що проходить через центр дуги меншого радіуса . На продовженні променя OM відзначають точку дотику /. З центру O1 проводять пряму , через точки / і 2 - шукану дотичну.

Дотичні до двох дуг (Ліг, рис. 7.4, внутрішнє торкання ). З центру O1 дуги більшого радіусу проводять дугу радіуса R + р Будують дотичну до цієї дузі в точці М, що проходить через центр О (див. Рис. 7.2). Відзначають точку дотику 1 на дузі радіуса / ?, будують точку дотику 2 на дузі радіуса або . Проводять шукану дотичну.

Сполучення двох дуг увігнуте (рис. 7.5). Радіус з'єднання R; центр [1]

точки сполучення

Сполучення двох дуг опукле (рис. 7.6). Радіус з'єднання Л; центр

точки сполучення

Мал. 7.5

Сполучення окружності з прямою (рис. 7.7). Центр З дуги сполучення радіуса R будують в перетині дуги радіуса (г + R) і прямий, паралельної заданої прямої АВ на відстані [Л]. Точки 1 і 2 - точки сполучення.

Побудова овалів. Овал - це фігура, що складається з двох опорних кіл, внутрішньо пов'язаних дугами. Побудова овалу з опорними колами різних діаметрів (рис. 7.8) зводиться до побудови опуклого сполучення двох дуг (див. Рис. 7.6) двома дугами однакового радіуса з центрів С) і С2. Такий овал має одну вісь симетрії. Якщо опорні окружності однакового діаметра, то овал має дві осі симетрії.

Побудова овалу за двома заданими осях (рис. 7.9). Широко застосовується, наприклад, наступну побудову. На продовженні малої осі відзначають точку / ([0/1] = [О - /]) і на відрізку АС дугою радіуса С- 1 відзначають точку 2. Через середину 3 відрізка А - 2 проводять перпендикуляр і знаходять центри С, опорної окружності радіуса г і С 2 сопрягающей дуги R. Точка сполучення (4) = (arcг) п (С, С2). Центри З 3 і С 4 знаходять як симетричні. Зауважимо, що по двох осях може бути побудовано нескінченно велике число овалів.

Мал. 7.6

Мал. 7.7

Мал. 7.8

Мал. 7.9

Побудова спіралі Архімеда. Траєкторія точки, рівномірно пересувається по рівномірно обертається радіусу навколо нерухомого центру, представляє собою плоску криву, яка називається спіраллю Архімеда. Відстань між точками, що лежать на одному радіусі, називають кроком спіралі. На яку точка віддаляється від центру при повороті на 360 °. Спіраль Архімеда має дві гілки, одна з них утворюється при обертанні радіусу за годинниковою стрілкою, друга - проти годинникової. Побудова спіралі Архімеда при заданому кроці R показано на рис. 7.10. Окружність радіуса R і крок спіралі ділять на однакову кількість рівних частин (наприклад, на 12). Перетин концентричних дуг, проведених радіусами 01, 02, 03 , ... з променями 01, 011, 0111 , ..., визначає точки А ,, А г , А ), ... спіралі. Для побудови дотичної і нормалі до будь-якій точці використовують коло радіуса R h довжина якої дорівнює кроку Л спіралі. Дотична до кола радіуса R, є нормаллю до спіралі в точці їх перетину, наприклад нормаль MN в точці / 17 спіралі. Дотична А 1 в точці А 7 перпендикулярна нормалі MN.

Для побудови проекцій кривих ліній будують проекції ряду належать їй точок (рис. 7.11).

Просторова крива проектується у вигляді плоскої, плоска крива - також у вигляді плоскої або у вигляді прямої лінії, якщо крива знаходиться в проецирующей площині. Крива, що представляє собою прямокутну проекцію кривої деякого порядку, зберігає той же порядок або виявляється кривої нижчого порядку. Еліпс і окружність проектуються в еліпс (див. Рис. 7.13) або, в окремому випадку, в коло; проекція параболи - парабола, гіпер-

Мал. 7.10

Мал. 7.11

боли - гіпербола. Техніка побудови плоских кривих та їх проекцій детально розглянута в довідниках.

Дотична до кривої проектується в загальному випадку у вигляді дотичній до проекції цієї кривої. Наприклад, на рис. 7.11 дотична DC в точці 3 до кривої AB проектується на площину π у вигляді дотичній D tt C 0 в точці 3 ° до проекції A 0 B 0 кривої. проектує

Мал. 7.12

площина, що проходить через дотичну до проекції кривої, стосується кривої в просторі.

Довжина деякої ділянки кривої лінії визначається наближено, шляхом заміни кривої лінії ламаної, вписаної в цю криву, і вимірюванням довжини ланок цієї ламаної лінії (якщо довжину нераціонально визначити розрахунком). Для зменшення помилки відрізки ламаної беруть мало відрізняються по довжині від дуг кривої, хордами яких є ці відрізки. Приклад визначення довжини кривої ABC наведено на рис. 7.12; горизонтальна проекція - крива А'В'С '- розбита на малі частини і "розгорнута" в пряму на осі х так, що відрізки A 0 I 0 , 1 0 2 0 і т. д. відповідно рівні хордам А'Г,! '2' і т. д .; в точках A 0 , 1 0,20 і т. д. проведені перпендикуляри до осі х і на них відкладені аппликати точок кривої. Довжина збудованої лінії A l B i C l може бути наближено прийнята за довжину кривої АВС.

  • [1] Circ - умовний запис слів "коло" або "дуга окружності".
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >