АКСОНОМЕТРИЧНІ ПРОЕКЦІЇ

При викладі справжнього курсу для наочного зображення розташованих в просторі щодо обраних площин проекцій точки, лінії, площини, багатогранників, перетинів конічної поверхні площинами використовувалися проекції, звані аксонометричними [1] або аксонометрією - см. Рис. 1.1 ... 1.8, 2.1, 2.2, 2.7, 2.9, 2.14, 2.17, 2.19, 3.2, 3.4, 4.10, 4.18, 5.3, 5.10, 6.3, 7.13, 9.7 та ін. Їх часто використовують для наочного зображення конструкцій приладів, машин на кресленні, особливо на початкових етапах конструювання.

Спосіб аксонометричного проектування полягає в тому, що дана фігура разом з осями прямокутних координат, до яких вона віднесена в просторі, паралельно проектується на деяку площину, прийняту за площину аксонометричних проекцій (цю площину називають також картинної площиною).

При паралельному проектуванні, якщо напрям проектування перпендикулярно аксонометрической площині проекцій, аксонометрическую проекцію називають прямокутної, якщо напрямок Проекція не перпендикулярно площині проекцій, аксонометрическую проекцію називають косокутній. Застосовувані в вітчизняної конструкторської документації аксонометричні проекції стандартизовані в ГОСТ 2.317-2011.

Розглянемо освіту аксонометрической проекції на прикладі зображення паралелепіпеда з квадратною основою (рис. 11.1) шляхом послідовного перетворення його ортогональних проекцій разом з осями. При повороті паралелепіпеда (а) з осями X і у навколо осі z по стрілці а на 45 ° отримуємо його зображення ( б) з поверненими осями X1 і у, і збереглася вертикальною віссю z. При повороті зображення на профільній проекції з осями z, X1 ", у," по стрілці Б на кут 30 ° отримуємо зображення ( в ) з осями Z, х2 ", у 2 ", розташованими під деякими кутами до картинної площини π (π ' "). Паралельна проекція (г) по стрілці В на площині чи є-

Мал. 11.1

ється аксонометрической проекцією паралелепіпеда з осями на площині π. Аксонометричну площину при цьому не позначають (нею є площину паперу).

Проекції осей координат х °, у 0 , ζ ° на площині аксонометричних проекцій називають аксонометричними осями (надалі індекс "0" буде опускатися).

При різному взаємне розташування осей координат в просторі і площині аксонометрической проекції і при різних напрямках проектування можна отримати безліч аксонометричних проекцій, що відрізняються один від одного напрямком аксонометрических осей і масштабів по ним. Це положення доведено теоремою К. Польці, яка стверджує: три відрізки довільної довжини, що лежать в одній площині і виходять з однієї точки під довільними кутами один до одного, представляють паралельну проекцію трьох рівних відрізків, відкладених на прямокутних осях координат від початку [2] .

Розглянемо напрямок аксонометрических осей і масштаби по ним для направлення проектування, перпендикулярного аксонометрической площині проекцій, тобто для прямокутної аксонометрической проекції.

Коефіцієнти спотворення. На рис. 11.2 зображена просторова система ортогональних координат Ox, Oy, Oz, поодинокі відрізки е на осях координат і їх проекція в напрямку s на деяку площину π, що є аксонометрической площиною проекцій. Проекції е х , е у , е. Відрізка е на відповідних аксонометричних осях Про 0 X 0 , O 0 Y 0 , O it Z 0 в загальному випадку не рівні відрізку е і не

Мал. 11.2

рівні між собою. Відрізки е х , е у , е z є одиницями виміру по аксонометричних осях - аксонометричними одиницями (аксонометричними масштабами).

відносини

називають коефіцієнтами спотворення по аксонометричних осях.

В окремому випадку положення картинної площини можна вибрати таким, що аксонометричні одиниці - відрізки е х , е у, ⅞ - будуть всі рівні між собою або дорівнюватиме між собою пара цих відрізків.

При аксонометрическую проекцію називають ізометричної; спотворення пове осях в ній однакові. У разі рівного розподілу аксонометрических одиниць по двох осях, зазвичай при , маємо діметріческая проекцію. Якщо , то проекцію називають тріметріческой.

Картинна площину дна рис. 11.3 зображена так, що вона перетинає всі три координатні осі в точках відповідно. Розглянемо прямокутну аксонометрію. В цьому випадку відрізок перпендикулярний площині π. Відрізки є аксонометричними проекціями відрізків O x , O y , O z і є катети прямокутних трикутників, гіпотенузи яких - відрізки . Позначимо кути між осями координат і їх проекціями на площині π через

Мал. 11.3

тоді

Ці відносини є коефіцієнтами спотворення, т. Е.

Відомо, що для відрізка сума квадратів напрямних косинусів дорівнює одиниці:

Звідси

або

тоді

або

т. е. сума квадратів коефіцієнтів спотворення дорівнює 2.

Ізометрична проекція. В ізометричної проекції всі коефіцієнти рівні між собою:

Мал. 11.4

Мал. 11.5

тоді

звідки

Отже, при побудові ізометричної проекції розміри предмета, що відкладаються по аксонометричних осях, множать на 0,82. Такий перерахунок розмірів незручний. Тому изометрическую проекцію для спрощення, як правило, виконують без зменшення розмірів (спотворення) по осях т. Е. Коефіцієнт спотворення приймають рівним 1. Отримуване при цьому зображення предмета в ізометричної проекції має дещо більші розміри, ніж в дійсності. Збільшення в цьому випадку становить 22% (виражається числом 1,22 = 1: 0,82).

Кожен відрізок, спрямований по осях х, у, z або паралельно їм, зберігає свою величину.

Розташування осей ізометричної проекції показано на рис. 11.4. На рис. 11.5 і 11.6 показані ортогональні (а) і ізометричні (б) проекції точки А і відрізка AB.

Шестигранна призма в ізометрії. Побудова шестигранної призми з даного кресленням в системі ортогональних проекцій (зліва на рис. 11.7) наведено на рис. 11.7. На ізометричної осі z відкладають висоту Я, проводять лінії, паралельні осях х та у. Відзначають на лінії, паралельної осі х, положення точок 7 і 4.

Для побудови точки 2 визначають координати цієї точки на кресленні - x 2 і у 2 і, відкладаючи ці координати на аксонометричному зображенні, будують точку 2. Таким же чином будують точки 3, 5 і 6.

Мал. 11.6

Мал. 11.7

Побудовані точки верхнього підстави з'єднують між собою, проводять ребро з точки 1 до перетину з віссю х, потім - ребра з точок 2, 3, 6. Ребра нижньої основи проводять паралельно ребрам верхнього. Побудова точки А, розташованої на бічній грані, за координатами х л (або у А ) і ζ Λ очевидно з рис. 11.7.

Діметріческая проекція. Коефіцієнти спотворення в діметріческой проекції вибирають наступними:

Мал. 11.8

тоді

З метою спрощення побудов, як і в ізометричних проекціях, коефіцієнт спотворення по осях х і z приймають рівним 1; по осі у коефіцієнт спотворення дорівнює 0,5. По осях х і г або паралельно їм все розміри відкладають в натуральну величину, по осі у - розміри зменшують вдвічі.

Збільшення в цьому випадку становить 6% (виражається числом 1,06 = 1: 0,94).

Розташування осей в діметріческой проекції показано на рис. 11.8. C достатньою для практичних цілей точністю осі х і у будують по тангенсам кутів:

Продовження осі у за центр Про є бісектрисою кута xOz , що також може бути використано для побудови осі у.

Аксонометріческіе зображення окружності. Кола в аксонометрии зображуються у вигляді еліпсів: їх зображення в аксонометрической проекції наведені на рис. 11.9, в діметріческой - на рис. 11.10, із зазначенням відповідних значень величин осей еліпсів для наведених коефіцієнтів спотворення, рівних 1.

Велика вісь еліпсів розташована під кутом 90 ° для еліпсів, що лежать:

в площині xOz до осі у,

в площині yOz до осі х,

в площині x Oy до осі z .

Мал. 11.9

При виконанні аксонометричного зображення від руки (як малюнка) побудова еліпсів як в ізометрії, так і в диметрії виконують по восьми точках. Наприклад, по точкам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 і 8 (див. Рис. 11.9). Точки /, 2,3 і 4 знаходять на відповідних аксонометричних осях, а точки 5, 6, 7 і "влаштують по величинам відповідних великої і малої осей еліпса.

При виконанні ж аксонометричного зображення креслярським інструментом побудова еліпсів в діметріческой проекції також виробляють по восьми точках, а еліпси в ізометричної проекції можна замінювати овалами і будувати їх в такий спосіб [3] . Побудова показано на рис. 11.9 на прикладі еліпса, що лежить в площині xOz. З точки 1, як з центру, роблять зарубку радіусом R = D на продовженні малої осі еліпса в точку O1 (будують також аналогічним чином і симетричну їй точку, яка на кресленні не показана). З точки O1, як з центру, проводять дугу CGC радіуса D, яка є однією з дуг, що складають контур еліпса. З точки O2, як з центру, проводять дугу радіуса O 2 Gjxo пе

Мал. 11.10

ресеченія з великою віссю еліпса в точках O3. Проводячи через точки O1, O3 пряму, знаходять в перетині з дугою CGC точку К , яка визначає O3Af - величину радіуса замикає дуги овалу. Точки К є також точками сполучення дуг, що складають овал.

Аксонометрія циліндра. Аксонометріческіе зображення циліндра визначаються аксонометричними зображеннями кіл його підстав. Побудова в ізометрії циліндра висотою H

Мал. 11.11

Мал. 11.12

по ортогональному кресленням (рис. 11.11, зліва) і точки C на його бічній поверхні показано на рис. 11.11, праворуч.

Приклад побудови в ізометричної проекції круглого фланця з чотирма циліндричними отворами і одним трикутним наведено на рис. 11.12. При побудові осей циліндричних отворів, а також ребер трикутного отвору використані їх координати, наприклад координати хь і у 0.

Аксонометричне зображення сфери і спосіб вписування сферичних поверхонь. У прямокутної аксонометрии поверхню

Мал. 11.13

Мал. 11.14

сфери проектується на аксонометрическую площину проекцій у вигляді кола. Це дозволяє використовувати сферу для побудови аксонометричних проекцій тих постатей, в які можуть бути вписані сферичні поверхні. Так, наприклад, аксонометрія поверхні обертання в цьому випадку може бути побудована як огинає сфер, вписаних в цю поверхню.

Побудова аксонометричних зображення деталей. Положення предмета в ізометричної і діметріческой проекціях вибирають в залежності від його форм і співвідношення розмірів. Так, деталі, що мають довгасту (подовжену) форму, виконують зазвичай в диметрії. При цьому найбільший розмір розташовують уздовж осей х

Мал. 11.15

або z, за якими розміри не зменшуються. У диметрії також переважно виконувати деталі, поверхні яких обмежені горизонтально проектується або фронтально проектує площинами, розташованими під кутом 45 ° до площин π1 і π2

відповідно, так як ці площині в ізометричної проекції зображуються у вигляді вертикальних прямих.

Внутрішні форми деталей в аксонометричних проекціях виявляють "вирізом" передньої частини деталі.

Раціональна послідовність побудови аксонометрической проекції за наявним ескізу або кресленням (наприклад, рис. 11.13) така:

  • 1) визначають вид аксонометрической проекції для зображення даного предмета (ізометрія або діаметром). Деталь, показану на рис. 11.13, доцільно зображати в діметріческой проекції (рис. 11.14). Вибирають достатнє місце для аксонометричного зображення і відзначають початок координат О;
  • 2) проводять аксонометричні осі під встановленими кутами (див. Рис. 11.4 і 11.8) з початку координат і будують (рис. 11.14, а) перетину предмета в площинах уOz і xOz- Координати точок перетинів, які виконуються в площинах у Oz і xOz, беруть відповідно на профільному і фронтальному розрізах креслення;
  • 3) будують (рис. 11.14 , 6) зображення верхньої частини деталі, видимих внутрішніх елементів, зовнішні бічні поверхні;
  • 4) добудовують бічні елементи кріплення (див. Рис. 11.14, в).

Приклад раціональної послідовності побудови ізометричної проекції деталі наведено на рис. 11.15, а-в.

  • [1] Аксонометрія від давньогрецького "аксон" - вісь, "Метро" - вимірюю.
  • [2] Доказ цієї теореми см. В кн .: Глазунов Є. А., Четверухин Η. Ф. Аксонометрія. M., 1953. С. 32-35; Глаголєв Н. А. Нарисна геометрія. M., 1953.
  • [3] Запропоновано Ю.Б. Івановим.
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >