Навігація
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВ'ЯЗКУ МІЖ ВИПАДКОВИМИ ЗМІННИМИ

Поряд з функцією регресії в економетрики також використовуються кількісні характеристики взаємозв'язку між двома випадковими величинами. До них відносяться ковариация і коефіцієнт кореляції.

Коваріація випадкових величин х і у називається математичне сподівання добутку відхилень цих величин від своїх математичних очікувань і обчислюється по правили:

(3.12)

де і - математичні очікування відповідно змінних X і у.

Коваріація - це константа, яка відображає ступінь залежності між двома випадковими величинами і позначаються як або

Для незалежних випадкових величин ковариация дорівнює нулю, якщо між змінними існує статистичний зв'язок, то відповідна ковариация відмінна від нуля. За знаком ковариации судять про характер зв'язку: односпрямована ( ) або різноспрямована ( ).

Зауважимо, що в разі, коли змінні х і у збігаються, визначення (3.12) перетворюється в визначення для дисперсії випадкової змінної:

Коваріація величина розмірна. Її розмірність - твір розмірностей змінних. Наявність розмірності у ковариации ускладнює її використання для оцінки ступеня залежності випадкових змінних.

Поряд з ковариацию для оцінки зв'язку між випадковими величинами використовується коефіцієнт кореляції.

Коефіцієнтом кореляції двох випадкових змінних називається відношення їх коваріації до твору стандартних помилок цих величин:

(3.13)

Коефіцієнт кореляції величина безрозмірна, область можливих значень якої є відрізок [+1; -1]. Для незалежних випадкових величин коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, якщо ж , це свідчить про наявність лінійної функціональної залежності між змінними.

За аналогією з випадковими змінними для випадкового вектора так само вводяться кількісні характеристики. Таких характеристик дві:

1) вектор очікуваних значень компонент

(3.14)

тут - випадковий вектор; - математичні очікування компонент випадкового вектора;

2) ковариационная матриця

(3.15)

Коваріаційна матриця одночасно містить як інформацію про ступінь невизначеності компонент випадкового вектора, так і інформацію про ступінь взаємозв'язку кожної пари компонент вектора.

В економіці поняття випадкового вектора та його характеристики, зокрема, знайшли застосування при аналізі операцій на фондовому ринку. Відомий американський економіст Гаррі Марковіц запропонував наступний підхід. Нехай на фондовому ринку обертаються n ризикових активів . Прибутковість кожного активу за певний період часу є випадкова величина. Вводиться вектор доходностей і відповідний йому вектор очікуваних доходностей . Вектор очікуваних доходностей Марковець запропонував розглядати як показник привабливості того чи іншого активу, а елементи головної діагоналі ковариационной матриці - як величину ризику для кожного активу. Діагональні елементи відображають величини зв'язку відповідних пар доходностей, що входять в вектор . Параметрична модель фондового ринку Марковіца отримала вид

Ця модель покладена в основу теорії оптимального портфеля цінних паперів [1] .

ВЛАСТИВОСТІ ОПЕРАЦІЙ ОБЧИСЛЕННЯ КІЛЬКІСНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИПАДКОВИХ ЗМІННИХ

Розглянемо основні властивості операцій обчислення кількісних характеристик випадкових змінних і випадкового вектора.

Операції обчислення математичного очікування:

1) якщо випадкова змінна х = с, де з - константа, то

2) якщо x і у - випадкові змінні, а і -довільний константи, то

3) якщо х і у незалежні випадкові змінні, то

Операції обчислення дисперсії:

1) якщо випадкова змінна х = с, де с - довільна константа, то

2) якщо x випадкова змінна, а з - довільна константа, то

3) якщо х випадкова змінна, а з - довільна константа, то

4) якщо х і y - випадкові змінні, а і - довільні константи, то

Зауваження. Якщо х і у суть незалежні випадкові змінні, то для них справедливо правило

У загальному випадку, якщо - випадковий вектор, а постійний вектор, то справедливо вираз

Операції обчислення ковариаций:

1) операція ковариации симетричні щодо аргументів:

2) якщо х і у - незалежні випадкові змінні, то

3) якщо х і у - випадкові змінні, а і - довільні константи, то

4) якщо х - випадкова змінна, а з - довільна константа, то

5) якщо х і у - випадкові змінні, а з - довільна константа, то

6) якщо х, у і z - випадкові змінні, то

  • [1] Markowits Н. Portfolio Selection // Journal of Finance, 1952. P. 7.
 
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук