Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Поняття вибірки, оцінки та їх властивості

Математична статистика вирішує дві основні задачі. Перша - це оцінювання параметрів законів розподілу випадкових змінних і функцій цих параметрів. Друга - це проблеми перевірки різних статистичних гіпотез. Відзначимо, що методи вирішення першого завдання застосовуються при виконанні третього етапу побудови економетричної моделі.

Рішення задач математичної статистики базується па двох основних поняттях: вибірка можливих значень випадкової змінної і оцінка параметра закону розподілу.

Вибірка можливих значень випадкової змінної - це випадковий вектор, складений з результатів спостережень, кожне з яких суть незалежна випадкова величина.

Нехай результати спостережень за деякої випадкової змінної Y з законом розподілу Тоді вектор ', зібраний з результатів спостережень, являє собою вибірку з генеральної сукупності всіх можливих значень випадкової змінної Y.

Передбачається, що елементи вибірки задовольняють наступним вимогам:

• всі елементи вибірки суть незалежні випадкові величини;

• всі елементи вибірки підкоряються тим же законом розподілу, що і змінна Y.

Отже, для кожного елемента вибірки можна записати його функцію щільності ймовірностей:

Так як елементи вибірки є незалежними випадковими змінними, то для них справедлива теорема множення ймовірностей. Відповідно до цієї теореми, ймовірність появи вибірки дорівнює добутку ймовірностей появи в спостереженнях кожного її елемента:

(3.16)

Вираз (3.16) називається законом розподілу вибірки.

Завдання полягає в тому, щоб за даними випадкової вибірки обчислити значення оцінок параметрів, що входять в закон розподілу, тобто знайти функцію (правило обчислення), за допомогою якої за відомими значеннями вибірки можна обчислити значення оцінки параметрів:

Друге базове поняття - оцінка параметра закону розподілу.

Оцінкою параметра а називається наближене значення цього параметра, розрахований за результатами вибірки.

На відміну від параметра його оцінка є величиною випадковою. Очевидно, можна запропонувати кілька процедур, за допомогою яких можна за результатами спостережень обчислити значення оцінки параметра. Щоб зробити вибір процедур цілеспрямованим, сформульовані дві основні вимоги до якості оцінок.

Оцінка параметра а називається несмещенной, якщо її математичне сподівання збігається зі значенням параметра:

(3.17)

Якщо умова (3.17) не виконується, то таку оцінку називають зміщеною, а різниця називається зміщенням.

Ця умова дозволяє скоротити кількість допустимих процедур обчислення значень оцінок, хоча його недостатньо, щоб звести їх до єдиної.

Приклад . Розглянемо оцінку середнього значення. Візьмемо випадкову величину X з відомим законом розподілу і як наслідок з відомими значеннями і

Завдання - підібрати процедури оцінки середнього значення (математичного очікування) цієї змінної.

Нехай для простоти обчислень є вибірка спостережень за поведінкою змінної X , що складається з двох спостережень і

Для елементів вибірки повинні виконуватися умови:

• всі елементи вибірки незалежні випадкові величини;

• всі елементи вибірки мають однаковий закон розподілу, що співпадає з законом розподілу самої випадкової величини а, отже:

Відомо, що оцінку середнього значення проводять за формулою

(3.18)

Знайдемо альтернативні процедури, які дозволяють так само отримати незсунені оцінки середнього значення. Нехай така процедура виглядає так:

(3.19)

де і - довільні константи.

Математичне сподівання такої оцінки з урахуванням статистичних властивостей вибірки є

(3.20)

Звідси видно, що математичні очікування випадкової величини х, отримані за формулами (3.18) і (3.20), будуть збігатися за умови

(3.21)

Ми отримали нескінченну кількість процедур, які забезпечують незсунені оцінки середнього значення.

Для того щоб вибрати найкращу, серед усіх незміщених, процедуру оцінки використовують критерій мінімальності дисперсії оцінки.

Ефективною серед усіх незміщене оцінок параметра називається та оцінка, яка має мінімальну дисперсію.

Іншими словами, вибирається та процедура обчислення оцінки, яка дає мінімальний розкид значень оцінки.

Знайдемо, при яких значеннях і дисперсія вираження (3.19) буде мінімальною. Дисперсія з урахуванням незалежності і має вигляд

Для знаходження мінімуму функції W необхідно прирівняти її похідну по нулю і з отриманого рівняння знайти значення . З урахуванням, що за своєю властивістю вибірки дисперсії спостережень рівні, отримаємо:

Звідки отримуємо, що процедура (3.19) дає найкращу (несмещенную і ефективну) оцінку середнього значення

при

Далеко не завжди вдається підібрати процедуру, яка забезпечувала отримання незміщене і ефективних оцінок при кінцевому (невеликому) обсязі вибірки.

Розглянемо поняття асимптотично незміщене і асимптотично ефективних оцінок. Це оцінки, для яких властивості незсуненості і ефективності досягаються при необмеженому збільшенні обсягу вибірки. Однак і такі оцінки виходять не завжди. Нас будуть задовольняти оцінки, що володіють тільки властивістю незсуненості при великих вибірках. Такі оцінки називають заможними.

Уточнимо, що завдання побудови економетричної моделі полягає в знаходженні значень оцінок параметрів моделі, які відповідають як мінімум умові спроможності. На практиці часто використовуються дві процедури: метод максимальної правдоподібності (ММП) і метод найменших квадратів (МНК).

У табл. 3.1 наведені процедури обчислення за результатами спостережень незміщене і ефективних оцінок основних кількісних характеристик законів розподілу.

Таблиця 3.1

Обчислення основних кількісних характеристик законів розподілу

Найменування характеристики

теоретичне

значення

несмещенная оцінка

Математичне очікування

дисперсія

Коваріація між х і у

Опенька у вигляді певного числа називається в статистиці точкової. Поряд з точковою на практиці часто користуються інтервального оцінкою параметра.

Інтервального оцінкою параметра а називається числовий інтервал ( т - , т + ), який із заданою вірогідністю Рдов "накриває" невідоме значення параметра а.

Такий інтервал називається довірчим, а Рдов - довірчою ймовірністю. Розмір довірчого інтервалу істотно залежить від обсягу вибірки і рівня довірчої ймовірності. Розмір довірчого інтервалу зменшується зі збільшенням обсягу вибірки і скорочується зі зростанням довірчої ймовірності.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук