Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ ЗАКОНУ РОЗПОДІЛУ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОЇ ПРАВДОПОДІБНОСТІ

Після вивчення глави 4 студент повинен:

знати

  • • ідею методу максимальної правдоподібності;
  • • поняття і математичний сенс функції правдоподібності;
  • • алгоритм застосування методу максимальної правдоподібності для обчислення оцінок параметрів закону розподілу;

вміти

  • • складати функцію правдоподібності для різних завдань обчислення оцінок параметрів законів розподілу;
  • • застосовувати алгоритм методу максимальної правдоподібності для вирішення конкретних завдань;

володіти

• апаратом методу максимальної правдоподібності.

Поняття функції правдоподібності й оцінка параметрів закону розподілу

Нехай маємо вибірку з п спостережень за випадковою змінною X, з відомим законом розподілу ймовірностей, функція щільності ймовірностей якого , де параметри функції щільності ймовірностей.

Завдання: знайти значення оцінок параметрів.

Одним з методів вирішення поставленого завдання є метод максимальної правдоподібності (ММП), який забезпечує отримання, принаймні, заможних оцінок.

В основі методу максимальної правдоподібності лежить поняття функції правдоподібності вибірки.

Функцією правдоподібності вибірки називається функція L , що залежить від параметрів закону розподілу як від аргументів, і елементів вибірки як від параметрів і певна рівністю:

(4.1)

Права частина рівності (4.1) виражає щільність ймовірності появи спільного події , або іншими словами, ймовірність появи вибірки

Функція правдоподібності (4.1) має такі властивості:

  • L - є випадковою змінною, так як її параметри - випадкові змінні;
  • • всі значення функції L невід'ємні, так як цей твір невід'ємних величин.

Ідея методу максимальної правдоподібності полягає в тому, щоб знайти такі значення параметрів ( ), які забезпечують отримання максимального значення функції правдоподібності.

Так як функція правдоподібності (4.1) відображає ймовірність появи в спостереженнях даної вибірки, его означає, що за рахунок шуканих параметрів забезпечується максимальна ймовірність появи в спостереженнях даної вибірки. Робиться припущення, що оцінки шуканих параметрів, які забезпечують найбільшу ймовірність вибірки, є найкращими серед усіх інших.

Дане твердження математично виглядає так:

(4.2)

або

(4.3)

де - вектор оцінки параметрів закону розподілу.

Послідовність дій при вирішенні поставленого завдання можна представити у вигляді наступного алгоритму.

Крок 1. За відомою функції щільності ймовірностей формується функція правдоподібності (4.1).

Крок 2. Мультиплікативна функція (4.1) реорганізується в аддитивную шляхом логарифмування обох її частин.

Підстава логарифма в загальному випадку може бути будь-яким. На практиці підставу логарифма вибирається з умови спрощення результату логарифмирование.

Крок 3. Оскільки функції L і InL досягають екстремуму в одній точці, значення шуканих оцінок параметрів знаходиться в результаті рішення системи рівнянь:

(4.4)

Проілюструємо процедуру ММП на прикладі оцінки параметрів нормального закону розподілу ймовірностей.

Приклад. Нехай ми маємо вибірку з і спостережень за змінної . Завдання оцінити параметри т і методом максимальної правдоподібності.

З урахуванням (3.4) функція правдоподібності набуває вигляду:

(4.5)

Логарифм функції (4.5) по натуральному основи має вигляд:

(4.6)

Формується система алгебраїчних рівнянь (4.1.4) шляхом диференціювання (4.6) по аргументам т і σ2 і прирівнювання їх нулю:

(4.7)

Рішення системи рівнянь (4.1.7) при має вигляд:

(4.8)

Перевіримо виконання умови незсуненості для отриманих (4.8) оцінок. Для цього необхідно обчислити значення математичних очікувань кожної з оцінок.

(4.9)

З (4.9) випливає, що оцінка параметра т нормально розподіленої випадкової змінної збігається з його теоретичним значенням при будь-яких значеннях обсягу вибірки і, тобто отримана оцінка несмещенная.

Можна показати, що:

(4.10)

Видно, що умова незсуненості для параметра досягається тільки при великих обсягах вибірки і. Отже, оцінка (4.8) другого параметра нормально розподіленої випадкової є асимптотично несмещенной.

Вище розглянуто питання оцінки параметрів законів розподілу, але завдання економетрики - навчитися обчислювати оцінки параметрів лінійної моделі. Розглянемо, як скористатися ММП для оцінки лінійної економетричної моделі.

Для спрощення викладок розглянемо окремий випадок лінійної моделі - рівняння парної регресії:

(4.11)

Так само припускаємо, що для розрахунку шуканих параметрів в нашому розпорядженні вибірка пар змінних ( ) обсягом п.

Нехай випадкове обурення і є нормально розподіленою випадковою змінною з параметрами т = 0, . З (4.11) випливає, що

Тоді функцію щільності ймовірностей нормального закону розподілу для випадкової змінної і набуває вигляду:

(4.12)

Невідомі параметри моделі (4.11) стали параметрами функції щільності ймовірностей (4.12). Функція правдоподібності (4.1) набуває вигляду:

(4.13)

Після логарифмування по натуральному основи отримаємо:

(4.14)

Прирівнявши нулю приватні похідні по а 1 і а 0 функції (4.14), отримаємо систему алгебраїчних рівнянь для обчислення значень оцінок шуканих параметрів:

(4.15)

Помноживши рівняння (4.15) на , і, зробивши нескладні перетворення, отримаємо систему алгебраїчних рівнянь для обчислення шуканих оцінок:

(4.16)

Вирішивши систему рівнянь (4.16) щодо невідомих параметрів і , отримаємо їх незсунені значення.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук