ПРОГНОЗУВАННЯ ПО ЛІНІЙНОЇ МОДЕЛІ І ТЕСТУВАННЯ ЇЇ НА АДЕКВАТНІСТЬ

Після вивчення глави 8 студент повинен:

знати

• • процедуру обчислення оптимального прогнозу ендогенної змінної по лінійної моделі множинної регресії;
• • алгоритм тестування лінійної моделі множинної регресії на адекватність;
• • точковий та інтервальний підхід до прогнозування і перевірці адекватності лінійної моделі;

вміти

• • обчислювати прогнозні значення ендогенної змінної в точкової і інтервального формі;
• • обчислювати помилку прогнозу в кожній точці контрольної вибірки;
• • тестувати на адекватність лінійну модель множинної регресії в точкової і інтервального формі;
• • аналізувати результати побудови лінійної економетричної моделі;

володіти

• • математичним апаратом перевірки статистичних гіпотез;
• • методикою побудови та аналізу лінійних економетричних моделей;
• • навичками використання програмного забезпечення персональних комп'ютерів, зокрема, використання табличного процесора EXCEL.

Прогнозування за допомогою оціненої лінійної моделі множинної регресії

Перевірка адекватності тісно пов'язана з прогнозуванням за допомогою побудованої моделі. Тому почнемо її вивчення з розгляду питання отримання найкращого прогнозу за допомогою лінійної регресійної моделі.

У теоремі Гаусса - Маркова сформульовано правило отримання найкращого прогнозу по лінійної моделі в точці

(8.1)

Для отримання прогнозного значення ендогенної змінної в деякій точці досить в специфікації моделі замінити символічне позначення параметрів значеннями оцінок цих параметрів за допомогою МНК. Природно, що точка не належить вибірці спостережень. Немає ніякого практичного сенсу прогнозувати вже відоме з практики значення ендогенної змінної. Винятки становлять випадки перевірки статистичних гіпотез, статистики яких містять оцінки значень випадкових збурень (наприклад, статистика DW).

Зауваження. В (8.1) не вказане значення випадкового обурення, яке було присутнє в специфікації моделі.

Це пояснюється тим, що ми не можемо значення випадкового обурення ні спостерігати, ні прогнозувати. Випадкове обурення з'явилося в специфікації моделі з метою забезпечення однозначного зв'язку між ендогенної змінної і регресорів. По (8.1) обчислюється оцінка математичного очікування (середнього значення) ендогенної змінної, в якому відсутня випадкове обурення в силу першої передумови теореми Гаусса - Маркова.

Однак оцінка середнього значення є величина випадкова, яка обчислюється з деякою помилкою. Отже, значення, обчислене по (8.1) необхідно доповнити значенням оцінки стандартної помилки прогнозування.

Теорема Гаусса - Маркова дає відповідь на питання, як обчислюється помилка прогнозування:

(8.2)

де - стандартна похибка випадкових збурень; точка, в якій оцінюється прогнозне значення; X - матриця коефіцієнтів системи рівнянь спостережень.

Таким чином, за допомогою (8.1) і (8.2) ми можемо обчислити в цікавій для нас точці середнє значення ендогенної змінної і значення її стандартної помилки.

Такий спосіб прогнозування часто називають точковим.

На практиці частіше застосовують інтервальний метод прогнозування. Його ідея полягає в тому, щоб оцінити числовий інтервал, в якому із заданою довірчою ймовірністю можуть лежати реальні значення ендогенної змінної. Для обчислення меж цього інтервалу, який прийнято називати довірчим , скористаємося статистикою Стьюдента t для оцінки модуля різниці між прогнозним і реальним значенням ендогенної змінної. Умова перевірки статистичної гіпотези про рівність нулю різниці між прогнозним і реальним значеннями ендогенної змінної виглядає наступним чином:

(8.3)

де - прогнозне значення ендогенної змінної в цікавій для точці; у - очікуване значення ендогенної змінної в тій же точці; - значення стандартної помилки прогнозу в тій же точці; - критичне значення дробу Стьюдента при заданому значенні довірчої ймовірності (значущості) і відомому значенні

Вирішивши нерівність (8.3) щодо у , отримаємо:

(8.4)

З (8.4) видно, що очікуване значення ендогенної змінної в заданій точці з ймовірністю може прийняти будь-яке значення всередині інтервалу

(8.5)

Маючи кордону довірчого інтервалу, легко оцінити безліч можливих значень, які може прийняти ендогенна змінна з відомою довірчою ймовірністю. Перевага інтервального способу прогнозування полягає в його наочності, що і зробило його популярним серед фахівців.

Приклад . Побудуємо лінійну модель залежності обсягу внутрішнього національного продукту (у) від обсягу національного споживання (с) і обсягу інвестицій (/) і оцінити можливий обсяг ВНП, якщо обсяг споживання досягне рівня з = 14,5 млрд дол., А обсяг інвестицій / = 4 0 млрд дол.

Вихідні дані для побудови моделі наведені в табл. 8.1.

Таблиця 8.1

Дані для побудови моделі

Модель, оцінена за даними табл. 8.1, має вигляд:

(8.6)

Опустимо необхідний аналіз моделі і перейдемо до оцінки прогнозного значення ВНП при заданих значеннях обсягу споживання (з = 14,5) і обсягу інвестицій I = 4,0. Скориставшись результатом (8.6), обчислимо середнє значення ВНП в заданих умовах:

(8.7)

Додатково необхідно обчислити оцінку стандартної помилки в точці прогнозування. Щоб скористатися (8.2), необхідно сформувати матрицю X коефіцієнтів рівнянь спостережень.

Зауваження. Користуючись функцією "ЛИНЕЙН", табличного процесора EXCEL, нам не доводилося формувати матрицю X. Досить було привласнити змінної "Константа" значення один або нуль і функція "ЛИНЕЙН" сама виконувала необхідні перетворення. У разі використання процесора EXCEL, на етапі прогнозування та перевірки адекватності моделі створювати матрицю X доведеться самостійно.

В даному прикладі матриця X має вигляд;

(8.8)

Вектор набуде вигляду:

Зауваження . Одиниці в першому стовпці матриці X і одиниця в векторі з'явилися в зв'язку з тим, що в специфікації моделі присутня параметр . У випадках, коли параметр відсутній в специфікації моделі, в матриці X і векторі відсутні відповідно стовпець з одиниць і одиниця.

Значення константи q в (8.2) зручно обчислювати в два етапи. На першому етапі обчислити матрицю . Вона не залежить від точки прогнозування. Потім обчислити значення q для точки прогнозування при відомій матриці

Послідовність операцій при обчисленні оберненої матриці за допомогою процесора EXCEL.

• 1. На аркуші EXCEL виделяетсяобласть, в яку передбачається помістити матрицю
• 2. Набирається наступна командний рядок:

= МОБР (МУМПОЖ (ТРАНСП ([X]; [X])).

Після цього послідовно натискається комбінація клавіш Cntr + Shit + Enter. Виділена область буде заповнена числовими значеннями матриці

[X] - означає "виділити мишкою" область, займану матрицею X.

Зауваження . Нагадаємо, що матриця - квадратна, її розмірність дорівнює кількості стовпців в матриці X.

Для обчислення значення константи q досить навести курсор в вибраній комірці і набрати командний рядок:

У виділеної осередку з'явиться значення константи q.

Для даного прикладу маємо:

В результаті точковий прогноз має вигляд: .

Знайдемо межі довірчого інтервалу можливих значень ендогенної змінної для ( , ):

Отже, в даному прикладі очікуваний обсяг ВНП може прийняти будь-яке значення з інтервалу (23,74; 26,86).