• методикою побудови та аналізу лінійних економетричних моделей;
• навичками використання програмного забезпечення персональних комп'ютерів, зокрема, використання табличного процесора EXCEL.
Прогнозування за допомогою оціненої лінійної моделі множинної регресії
Перевірка адекватності тісно пов'язана з прогнозуванням за допомогою побудованої моделі. Тому почнемо її вивчення з розгляду питання отримання найкращого прогнозу за допомогою лінійної регресійної моделі.
У теоремі Гаусса - Маркова сформульовано правило отримання найкращого прогнозу по лінійної моделі в точці
(8.1)
Для отримання прогнозного значення ендогенної змінної в деякій точці досить в специфікації моделі замінити символічне позначення параметрів значеннями оцінок цих параметрів за допомогою МНК. Природно, що точка не належить вибірці спостережень. Немає ніякого практичного сенсу прогнозувати вже відоме з практики значення ендогенної змінної. Винятки становлять випадки перевірки статистичних гіпотез, статистики яких містять оцінки значень випадкових збурень (наприклад, статистика DW).
Зауваження. В (8.1) не вказане значення випадкового обурення, яке було присутнє в специфікації моделі.
Це пояснюється тим, що ми не можемо значення випадкового обурення ні спостерігати, ні прогнозувати. Випадкове обурення з'явилося в специфікації моделі з метою забезпечення однозначного зв'язку між ендогенної змінної і регресорів. По (8.1) обчислюється оцінка математичного очікування (середнього значення) ендогенної змінної, в якому відсутня випадкове обурення в силу першої передумови теореми Гаусса - Маркова.
Однак оцінка середнього значення є величина випадкова, яка обчислюється з деякою помилкою. Отже, значення, обчислене по (8.1) необхідно доповнити значенням оцінки стандартної помилки прогнозування.
Теорема Гаусса - Маркова дає відповідь на питання, як обчислюється помилка прогнозування:
(8.2)
де - стандартна похибка випадкових збурень; точка, в якій оцінюється прогнозне значення; X - матриця коефіцієнтів системи рівнянь спостережень.
Таким чином, за допомогою (8.1) і (8.2) ми можемо обчислити в цікавій для нас точці середнє значення ендогенної змінної і значення її стандартної помилки.
Такий спосіб прогнозування часто називають точковим.
На практиці частіше застосовують інтервальний метод прогнозування. Його ідея полягає в тому, щоб оцінити числовий інтервал, в якому із заданою довірчою ймовірністю можуть лежати реальні значення ендогенної змінної. Для обчислення меж цього інтервалу, який прийнято називати довірчим , скористаємося статистикою Стьюдента t для оцінки модуля різниці між прогнозним і реальним значенням ендогенної змінної. Умова перевірки статистичної гіпотези про рівність нулю різниці між прогнозним і реальним значеннями ендогенної змінної виглядає наступним чином:
(8.3)
де - прогнозне значення ендогенної змінної в цікавій для точці; у - очікуване значення ендогенної змінної в тій же точці; - значення стандартної помилки прогнозу в тій же точці; - критичне значення дробу Стьюдента при заданому значенні довірчої ймовірності (значущості) і відомому значенні
Вирішивши нерівність (8.3) щодо у , отримаємо:
(8.4)
З (8.4) видно, що очікуване значення ендогенної змінної в заданій точці з ймовірністю може прийняти будь-яке значення всередині інтервалу
(8.5)
Маючи кордону довірчого інтервалу, легко оцінити безліч можливих значень, які може прийняти ендогенна змінна з відомою довірчою ймовірністю. Перевага інтервального способу прогнозування полягає в його наочності, що і зробило його популярним серед фахівців.
Приклад . Побудуємо лінійну модель залежності обсягу внутрішнього національного продукту (у) від обсягу національного споживання (с) і обсягу інвестицій (/) і оцінити можливий обсяг ВНП, якщо обсяг споживання досягне рівня з = 14,5 млрд дол., А обсяг інвестицій / = 4 0 млрд дол.
Вихідні дані для побудови моделі наведені в табл. 8.1.
Таблиця 8.1
Дані для побудови моделі
№ п / п
у , млрд дол.
c , млрд дол.
I, млрд дол.
1
14
8
1,65
2
16
9,5
1,8
3
18
11
2
4
20
12
2,1
5
23
13
2,2
6
23,5
14
2,4
7
25
15
2,65
8
26,5
16,5
2,85
9
28,5
17
3,2
10
30,5
18
3,55
Модель, оцінена за даними табл. 8.1, має вигляд:
(8.6)
Опустимо необхідний аналіз моделі і перейдемо до оцінки прогнозного значення ВНП при заданих значеннях обсягу споживання (з = 14,5) і обсягу інвестицій I = 4,0. Скориставшись результатом (8.6), обчислимо середнє значення ВНП в заданих умовах:
(8.7)
Додатково необхідно обчислити оцінку стандартної помилки в точці прогнозування. Щоб скористатися (8.2), необхідно сформувати матрицю X коефіцієнтів рівнянь спостережень.
Зауваження. Користуючись функцією "ЛИНЕЙН", табличного процесора EXCEL, нам не доводилося формувати матрицю X. Досить було привласнити змінної "Константа" значення один або нуль і функція "ЛИНЕЙН" сама виконувала необхідні перетворення. У разі використання процесора EXCEL, на етапі прогнозування та перевірки адекватності моделі створювати матрицю X доведеться самостійно.
В даному прикладі матриця X має вигляд;
(8.8)
Вектор набуде вигляду:
Зауваження . Одиниці в першому стовпці матриці X і одиниця в векторі з'явилися в зв'язку з тим, що в специфікації моделі присутня параметр . У випадках, коли параметр відсутній в специфікації моделі, в матриці X і векторі відсутні відповідно стовпець з одиниць і одиниця.
Значення константи q в (8.2) зручно обчислювати в два етапи. На першому етапі обчислити матрицю . Вона не залежить від точки прогнозування. Потім обчислити значення q для точки прогнозування при відомій матриці
Послідовність операцій при обчисленні оберненої матриці за допомогою процесора EXCEL.
1. На аркуші EXCEL виделяетсяобласть, в яку передбачається помістити матрицю
2. Набирається наступна командний рядок:
= МОБР (МУМПОЖ (ТРАНСП ([X]; [X])).
Після цього послідовно натискається комбінація клавіш Cntr + Shit + Enter. Виділена область буде заповнена числовими значеннями матриці
[X] - означає "виділити мишкою" область, займану матрицею X.
Зауваження . Нагадаємо, що матриця - квадратна, її розмірність дорівнює кількості стовпців в матриці X.
Для обчислення значення константи q досить навести курсор в вибраній комірці і набрати командний рядок:
У виділеної осередку з'явиться значення константи q.
Для даного прикладу маємо:
В результаті точковий прогноз має вигляд: .
Знайдемо межі довірчого інтервалу можливих значень ендогенної змінної для ( , ):
Отже, в даному прикладі очікуваний обсяг ВНП може прийняти будь-яке значення з інтервалу (23,74; 26,86).
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter