Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

ОЦІНЮВАННЯ МОДЕЛЕЙ У ВИГЛЯДІ СИСТЕМ ОДНОЧАСНИХ РІВНЯНЬ

Після вивчення глави 11 студент повинен:

знати

проблеми, що виникають при оцінюванні моделей у вигляді систем одночасних рівнянь;

• зміст проблеми ідентифікації структурної форми поведінкових рівнянь в системі;

• зміст проблеми авторегресії в рівняннях системи;

• метод усунення проблеми ідентифікації рівнянь в структурній формі;

• правило рангу і правило порядку;

• визначення точно ідентифікованого рівняння моделі і сверхідентіфіціруемого рівняння;

• поняття інструментальної змінної і її призначення;

• непрямий, двохкроковий і трехшаговий методи оцінки рівнянь моделі в структурній формі;

вміти

• виявляти ідентифікуються і неідентифіковані рівняння в моделі;

• усувати проблему ідентифікації рівнянь моделі;

• застосовувати на практиці непрямий, двохкроковий і трехшаговий методи оцінки рівнянь;

володіти

• навичками застосування правила рангу і правила порядку для виявлення ідентифікованих і неіденгіфіціруемих рівнянь в моделі;

• прийомами побудови моделей у вигляді систем рівнянь.

Проблема ідентифікації в моделях у вигляді систем одночасних рівнянь

У гл. 2, розглядаючи питання специфікації моделі, ми відзначили, що моделі можуть бути представлені як у вигляді одного ізольованого рівняння, так і у вигляді системи одночасних рівнянь. За допомогою таких моделей вдається забезпечити системний підхід до опису поведінки складних економічних об'єктів.

Метод найменших квадратів при виконанні умов (передумов) теореми Гаусса - Маркова дозволяє обчислити незсунені і ефективні оцінки параметрів моделі у вигляді ізольованого рівняння множинної лінійної регресії. Ми переконалися в ефективності МНК при побудові як лінійних, так і цілого ряду нелінійних моделей.

При ідентифікації (розрахунку оцінок параметрів) моделей у вигляді систем одночасних рівнянь неминуче стикаються з двома проблемами: проблемою ідентифікації і проблемою авторегресії в структурній формі моделей.

Почнемо з проблеми ідентифікації рівнянь моделі. Суть проблеми наочно розглянути на прикладі елементарної моделі конкурентного ринку.

Для спрощення розуміння залишимо в моделі тільки її поведінкову частина. Структурна форма цієї моделі має вигляд:

(11.1)

Модель (11.1) містить чотири невідомих параметра: - це коефіцієнти перших двох поведінкових рівнянь моделі. Зауважимо, що в третьому рівнянні, тотожність, невідомих параметрів немає.

Оцінки перерахованих параметрів потрібно обчислити за результатами спостережень за змінними і

Модель (11.1) закрита, всі її поточні змінні ендогенних.

Реально для спостереження доступні тільки дві величини: рівноважна ціна p t і відповідні цією ціною рівні попиту і пропозиції, які відповідно до третього рівнянням моделі (11.1) рівні між собою.

У наведеній формі модель (11.1) виглядає наступним чином:

(11.2)

Тут - значення рівноважної ціни, а - значення одночасно рівнів попиту і пропозиції в умовах рівноваги. Сенс правих частин системи (11.2) - це параметри наведеної форми моделі. Їх значення можна отримати за допомогою МНК. В результаті система (11.2) будь-яку як завгодно великий вибірки спостережень завжди буде являти собою систему двох рівнянь з чотирма невідомими. Відомо, що така система не має одиничністю рішення. Більш того, саме система (11.2) має безліч рішень.

Графічно цю ситуацію можна проілюструвати наступним чином.

Графіки попиту і пропозиції утворюють на площині з координатами і відомий хрест Маршала, перетин якого відповідає рівноважної ціною (рис. 11.1).

На рис. 11.1 - значення рівноважної ціни, а відповідний їй рівень попиту і пропозиції.

Графік моделі конкурентного ринку

Мал. 11.1. Графік моделі конкурентного ринку

Спостереженню піддається тільки точка , відповідна стану рівноваги. Ми намагаємося через цю одну точку провести дві прямі. Очевидно, що однозначно це зробити неможливо. Для побудови прямої необхідно мати дві належні їй точки.

Здавалося, що з урахуванням випадкових збурень, які присутні в поведінкових рівняння моделі, з'явиться можливість вирішити цю проблему. Однак це не так. Облік випадкових збурень тільки перетворює точку Е 0 в "пляма", але ніяк не дозволяє ідентифікувати жодну з прямих.

Проблема специфікації рівняння моделі (або всієї моделі) в системі одночасних рівнянь полягає в неможливості за відомими значеннями оцінок параметрів наведеної форми моделі однозначно обчислити оцінки параметрів її структурної форми. Саме структурна форма моделі необхідна економістам для вирішення завдань оптимального управління об'єктом. Наведена форма моделі носить допоміжний характер.

Слід зауважити, що, по-перше, проблема ідентифікації рівнянь моделі не є обов'язковою особливістю систем одночасних рівнянь, але досить часто зустрічається, а, по-друге, не існує методів оцінки параметрів структурної форми моделі при наявності проблеми ідентифікації.

Вихід з цієї ситуації тільки один: необхідно штучно змінити специфікацію моделі таким чином, щоб всі її структурні параметри стали ідентифікованими.

Щоб зрозуміти суть підходу до вирішення проблеми ідентифікації проаналізуємо модель конкурентного ринку з урахуванням впливу наявного доходу на формування рівноваги між попитом і пропозицією. Згадаймо, така модель має специфікацію:

(11.3)

Тут - наявний дохід споживача. У специфікації (11.3) також опущені випадкові обурення для полегшення інтерпретації моделі.

Очевидно, що при різному наявному доході споживачі мають можливість придбати один і той же товар але різною ціною і різних кількостях. Нехай перший покупець з розташовуваним доходом придбав товар за ціною в кількості , а другий споживач з розташовуваним доходом х2> придбав товар за ціною в кількості . В результаті на графіку з'являються дві точки, які відповідають попиту при різних доходах споживачів (рис. 11.2). Це, в свою чергу, ініціює переміщення графіка попиту вздовж осі .

Графік моделі конкурентного ринку з урахуванням наявного доходу споживача

Мал. 11.2. Графік моделі конкурентного ринку з урахуванням наявного доходу споживача

Перший споживач з невеликим доходом придбав товар за нижчою ціною, що відповідає попиту і визначив положення точки на графіку попиту. Другий споживач з більш високим доходом дозволив собі придбати товар за вищою Ціпі, що дало можливість зафіксувати точку на графіку попиту. З огляду на, що графік рівня пропозиції в обох випадках залишався незмінним, виходить можливість однозначно його визначити, провівши пряму через точки і . Зауважимо, що ідентифікувати функцію пропозиції моделі (11.3) вдалося за спостереженнями за тими ж двома змінними: і , і додатково за змінної . Змінні і є поточними ендогенними змінними, а змінна x t екзогенна змінна.

Висновок. За результатами спостережень за трійкою змінних і вдалося ідентифікувати функцію пропозиції. Однак функція попиту залишилася як і раніше неідентифіковані!

Виходячи з цього прикладу, можна сформулювати правило перетворення специфікації рівнянь моделі з неідентифіковані виду до ідентифікованому. Для того щоб зробити модель пропозиції ідентифікованої була додана додаткова екзогенна (зумовлена) змінна в рівняння попиту. Звідси правило: щоб зробити ідентифікованим рівняння моделі, необхідно ввести додаткову зумовлену змінну в рівняння суміжне з неідентифіковані.

В якості таких змінних часто використовуються лагові ендогенні змінні. У розглянутому прикладі, щоб зробити рівняння попиту можуть бути ідентифіковані, можна додати в друге рівняння моделі лаговий значення рівноважної ціни. Тоді екзогенна змінна перетворює, знімає проблему ідентифікації для другого рівняння моделі, а лаговой змінна знімає цю проблему з першого рівняння. В результаті все рівняння моделі стають ідентифікованими:

(11.4)

Отже, методика усунення неідентифіковані рівнянь в моделі у вигляді системи лінійних одночасних рівнянь полягає в цілеспрямованому включенні в рівняння моделі зумовлених змінних. При цьому, додаткові змінні включаються в рівняння, суміжне з неідентифіковані.

Залишається питання: як визначити в системі лінійних одночасних рівнянь, які з них ідентифіковані, а які ні?

Без відповіді на це питання неможливо застосувати отримане правило. Для відповіді на це питання користуються двома теоремами. Одна з них (правило рангу) формулює необхідна і достатня умова ідентифікованих рівняння моделі, інша (правило порядку) - необхідна умова ідентифікованих.

Почнемо з формулювання необхідного і достатнього умови ідентифікованих рівнянь моделі.

Для того, щоб сформулювати відповідну теорему, згадаємо загальний вигляд структурної форми рівняння в системі лінійних одночасних рівнянь і дамо кілька додаткових визначень.

Загальний вигляд структурної форми рівняння моделі має вигляд:

(11.5)

Тут символами позначені поточні ендогенні змінні, символами зумовлені змінні. (При наявності в рівняннях моделі вільних коефіцієнтів то вважається, що зумовлена змінна .) Набір поточних ендогенних і зумовлених змінних описують в кожен момент часу стан досліджуваного об'єкта, а випадкові обурення відображають вплив на поточні ендогенні змінні не ідентифікованих факторів і індивідуальні особливості об'єкта. Відзначимо, що серед рівнянь моделі можуть бути тотожності, які не містять невідомих параметрів і, отже, для них не існує проблеми ідентифікації, а випадкове обурення в них дорівнює нулю.

Згадаймо (гл. 2), що в компактній формі модель у вигляді системи одночасних рівнянь можна записати у вигляді

(11.6)

де А - квадратна матриця розмірністю коефіцієнтів, що стоять в рівняннях (11.5) при поточних ендогенних змінних; В - прямокутна матриця розмірністю коефіцієнтів, що стоять в рівняннях (11.5) при визначених змінних; - вектор поточних ендогенних змінних; - вектор зумовлених змінних; - вектор випадкових збурень.

Введемо ще одне припущення: будемо вважати, що i-е поведінковий рівняння може бути дозволено щодо i-й поточної ендогенної змінної, при цьому

(11.7)

Рівність (11.7) називають умовою нормалізації. Відзначимо, що для поведінкових рівнянь ця умова, як правило, виконується автоматично. Якщо це не так, то для нормалізації i-го рівняння досить розділити обидві його частини на .

Додатково введемо ще кілька необхідних понять. Позначимо символом розширену матрицю системи одночасних рівнянь, яка визначається наступним чином:

(11.8)

Розширена матриця являє собою об'єднання матриць А і В. Вона містить G рядків і К + G стовпців.

Кожен рядок розширеної матриці можна представити у вигляді вектора

(11.9)

Обмеженнями на коефіцієнти ί-го рівняння моделі (11.6) називається система з однорідних алгебраїчних рівнянь:

(11.10)

яким апріорі задовольняє вектор .

На практиці матриця обмежень будується досить просто.

Приклад. Знайдемо обмеження на рівняння павутинної моделі конкурентного ринку.

(11.11)

У цій моделі три поточних ендогенних змінних ( ) і три зумовлених змінних ( ). Для першого рівняння моделі (11.11) компонентами вектора є: ,. . Отже, вектор має вигляд:

(11.12)

У відповідність вектору (11.12) можна поставити два лінійних обмеження у вигляді:

(11.13)

Легко переконатися, що умова (9.10) апріорі виконується:

Маючи вектор , обмеження до нього будувати дуже просто: потрібно в рядках на місці ненульових компонент поставити нулі, а на місці нульових компонент поставити одиницю. Кількість обмежень дорівнює кількості нульових компонент у векторі

Тепер можна сформулювати теорему, яка отримала назву "правило рангу".

Теорема - "Правило рангу": ie рівняння моделі у вигляді системи лінійних одночасних рівнянь ідентифікованих тоді і тільки тоді, коли справедливо рівність

(11.14)

де - ранг твору матриць і

Приклад. З'ясуємо, яке з поведінкових рівнянь моделі (11.3) є ідентифікованим, а який ні.

(11.3)

Розширена матриця цієї моделі має вигляд:

(11.15)

Обмеженнями для векторів поведінкових рівнянь моделі є:

(11.16)

(11.17)

Оцінимо Ідентифікованість першого рівняння моделі (11.3) за допомогою правила рангу.

Так як [1] , робимо висновок про неідентифіковані першого рівняння моделі (11.3).

Для другого рівняння отримаємо:

Для другого рівняння моделі (11.3) правило рангу виконується, отже, воно є ідентифікованим. В результаті отримали результат, який був отриманий раніше на інтуїтивному рівні.

Розглянемо ще одну теорему, яка виявляється корисною не тільки при виявленні неідентифіковані рівнянь моделі, але має також важливе самостійне значення при виборі методу оцінки параметрів структурної форми рівнянь моделі.

Ця теорема отримала назву "Правила порядку" і формулює необхідна умова ідентифікованих рівняння моделі.

Теорема "Правило порядку". Якщо ie рівняння моделі у вигляді системи лінійних рівнянь ідентифіковано, тоді справедливо нерівність

(11.18)

де К - загальна кількість визначених змінних в моделі; - кількість визначених змінних, що входять в ie рівняння моделі; - кількість поточних ендогенних змінних, що входять в ie рівняння моделі.

Нерівність (11.18) говорить про те, що в ідентифікованому рівнянні моделі кількість не входять в пана е рівняння зумовлених змінних, по крайней мере, на одиницю більше кількості поточних ендогенних змінних, що входять в це рівняння.

Нерівність (11.18) є необхідною умовою ідентифікованих моделі. Це означає, що якщо модель ідентифікується, то (11.18) виконується обов'язково. Зворотне не вірно: якщо (11.18) має місце, то це не означає, що рівняння слід вважати таким, що ідентифікується. Звідси і метод використання цієї теореми. Міркують від противного: якщо умова (11.18) не виконується, значить, відповідне рівняння моделі не дозволяє ідентифікувати вас.

Для ілюстрації правила порядку повернемося до моделі (11.3) і перевіримо умова (11.8) для кожного рівняння моделі. У моделі присутні три поточні ендогенні змінні G = 3, дві екзогенні (зумовлені) змінні. Спочатку уравненіемоделі включені дві поточні ендогенні змінні: і одна дві екзогенні змінні 1 і . Для першого рівняння відповідно отримаємо:

(11.19)

Правило порядку не справедливо, отже, перше рівняння неідентифіковані.

Для другого рівняння маємо: кількість поточних ендогенних змінних дві ) , кількість екзогенних (зумовлених) змінних одна "1", . Правило порядку виглядає так:

Правило порядку справедливо, отже, можна стверджувати, що друге рівняння моделі не є неідентифіковані. Зауважимо ще раз, що виконання умови (11.18) для другого рівняння моделі не є достатньою підставою для того, щоб вважати його таким, що ідентифікується.

Здавалося б досить мати тільки правило рангу. Однак правило порядку володіє додатковим властивістю. Спільно правило рангу, і правило порядку дозволяють ідентифікуються рівняння моделі віднести до однієї з груп: точно ідентифікувати вас рівняння або сверхідентіфіціру- емое рівняння. Якщо рівняння моделі точно ідентифікувати вас, то кількість параметрів в структурній формі моделі дорівнює кількості параметрів в його наведеною формою. В цьому випадку можливий однозначний перехід від наведеної форми моделі до структурної. Для сверхідентіфіціруемого рівняння кількість параметрів наведеної форми моделі перевершує кількість параметрів його структурної форми. В результаті для знаходження оцінок параметрів структурної форми моделі виходить система алгебраїчних рівнянь, в якій число невідомих менше числа рівнянь. Рішення такої системи можливо тільки в рідкісних окремих випадках. Ці обставини виявляються вирішальними при виборі методу оцінки параметрів структурної форми рівнянь моделі у вигляді систем одночасних рівнянь.

Для точно ідентифікованих рівнянь моделі виконуються наступні умови:

Для сверхідентіфіціруемих рівнянь має місце:

Виконання правила рангу забезпечує Ідентифікованість рівняння моделі, а за допомогою правила порядку відносять це рівняння до того чи іншого виду.

  • [1] Ранг матриці дорівнює максимальному розмірності ненульового визначника, який можна скласти з її рядків і стовпців.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук