Навігація
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Економетрика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

НЕПРЯМИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

Якщо модель задана в наведеній формі, тобто кожне з її рівнянь містить лише одну поточну ендогенну змінну, то для оцінки цих рівнянь можна використовувати метод найменших квадратів з урахуванням обмежень на випадкові обурення. Однак практичний інтерес представляють рівняння моделі в її структурній формі, так як саме вона відображає закономірності взаємодії змінних в економічному об'єкті. Таким чином, завдання оцінки параметрів структурної форми рівнянь моделі може бути зведена до задачі їх знаходження через значення параметрів наведеної форми рівнянь.

Одним з методів вирішення цього завдання є непрямий метод найменших квадратів. Він успішно застосовується в тих випадках, коли рівняння моделі точно ідентифікованих. Вище ми відзначали, що для точно ідентифікованих рівнянь завжди справедливо рівність між кількістю параметрів в структурній і наведеною формою, що дозволяє однозначно перейти від параметрів наведеної форми рівняння до параметрів його структурної форми. При цьому вважається, що, якщо оцінки параметрів наведеної форми рівнянь моделі заможні, то і параметри структурної форми рівнянь також будуть мати властивість спроможності. Саме це завдання вирішується за допомогою непрямого методу найменших квадратів. Але в цьому і його обмеженість: непрямий метод найменших квадратів застосовується лише для оцінки точно ідентифікованих рівнянь моделі. Непрямим метод названий тому, МНК безпосередньо нс застосовується до поведінкового рівняння в структурній формі, а опосередковано (опосередковано) через його застосування до наведеної формі рівняння.

Алгоритм застосування непрямого методу найменших квадратів полягає в наступному.

  • 1. Здійснюється перехід від структурної форми моделі до її наведеною формою:
  • 2. Обчислюються МНК-оцінки параметрів наведеної форми моделі (елементи матриці М).
  • 3. З відомих МНК-оцінок параметрів наведеної форми рівняння моделі проводиться розрахунок параметрів рівняння моделі в структурній формі.

Щоб отримати необхідні співвідношення для розрахунку оцінок параметрів структурної форми рівняння, необхідно звести воєдино сформульовані вище поняття. Відомо, що параметри наведеної і структурної форми моделі пов'язані співвідношенням (2.11):

(11.35)

Після множення (11.35) на матрицю А його можна записати у вигляді

(11.36)

Систему рівнянь (11.36) в матричному вигляді виглядає наступним чином:

(11.37)

де - транспонована матриця оцінок параметрів наведеної форми моделі; / - одинична матриця, а символом ":" позначено об'єднання двох матриць. Систему рівнянь (11.37) необхідно доповнити системою обмежень (11.10) і умовою нормалізації. В результаті виходить система алгебраїчних рівнянь для обчислення параметрів структурної форми / '- го рівняння моделі через відомі значення параметрів наведеної форми:

(11.38)

Можна довести, що, якщо пана е рівняння моделі точно ідентифікованої, система рівнянь (11.38) має єдине рішення і доставляє спроможні оцінки структурної форми рівняння.

Розглянемо алгоритм непрямого методу найменших квадратів па наступному прикладі.

Приклад [1] . Оцінимо модель споживання свинини на душу населення (в фунтах) в залежності від ціни на неї у 2 (дол / фунт), наявного доходу споживачів ДГ, (дол.) І ціни на її переробку (% від ціни).

Відомі такі закономірності.

  • 1. Обсяг споживання свинини залежить від її ціни і наявного доходу.
  • 2. Ціна на свинину росте з ростом її споживання і ціни на переробку.

Рішення.

Крок 1. З урахуванням сформульованих закономірностей специфікація моделі має вигляд:

(11.39)

В системі (11.39) дві поточні ендогенні змінні і три поточні екзогенні змінні ( ).

Крок 2. За допомогою правила рангу і правила порядку перевіряємо Ідентифікованість рівнянь моделі.

Розширена матриця коефіцієнтів моделі (11.39) і апріорні обмеження на її рівняння мають вигляд:

(11.40)

Для першого рівняння системи (11.39) отримаємо:

1. Правило рангу:

2. Правило порядку при :

Висновок: перше рівняння моделі (11.39) точно ідентифікувати вас.

Аналогічно перевіряємо друге рівняння моделі (11.39).

1. Правило рангу:

2. Правило порядку при також виконується точно.

Отже, обидва рівняння моделі (11.39) точно ідентифіковані і для отримання заможних оцінок параметрів їх структурної форми можна скористатися КМ НК.

Крок 3. Оцінка параметрів наведеної форми моделі (11.39).

Наведену форму моделі в загальному вигляді можна записати так:

(11.41)

Значення оцінок параметрів наведеної форми моделі (11.41) можна оцінити класичним МНК, застосувавши його до кожного з рівнянь.

Вибірка результатів спостережень за змінними об'єкта наведена в табл. 11.1.

Таблиця 11.1

Вибірка результатів спостережень за змінними

рік

Споживання, у 1

Ціна, у 2

Дохід, х 1

Переробка, х 2

1990

60,0

3,8

1300

60,0

тисячу дев'ятсот дев'яносто один

62,0

4,0

1300

56,0

одна тисяча дев'ятсот дев'яносто дві

62,0

4,2

1500

56,0

+1993

62,0

5,0

1600

63,0

1994

68,0

3,8

1800

50,0

1995

65,0

4,6

1900

55,0

1996

67,0

5,0

2000

65,0

1 997

69,0

5,6

2070

67,0

1998

70,0

5,7

2100

56,0

В результаті в наведеній формі модель приймає вигляд:

Крок 4. Складаємо систему рівнянь алгебри (11.38) для обчислення значень оцінок параметрів структурної форми моделі (11.39).

Для першого рівняння :

(11.42)

Умова нормалізації і обмеження на вектор

виконані. Тоді системи рівнянь (11.42) досить, щоб знайти значення оцінок структурних параметрів першого рівняння. Після перемноження і елементарного перетворення в координатної формі система рівнянь (11.42) набуває вигляду:

(11.43)

Рішення системи рівнянь (11.43) щодо невідомих значень оцінок структурних параметрів першого рівняння моделі (11.39):

(11.44)

Аналогічним чином обчислюються оцінки параметрів структурної форми другого рівняння необхідно тільки замінити вектор на вектор ∙ :

Система алгебраїчних рівнянь для обчислення структурних параметрів другого рівняння моделі (11.39) набуває вигляду:

Вирішення цієї системи відповідно:

(11.45)

Залишилося замінити в виразах (11.44) і (11.45) символи і на їх значення:

В результаті оцінена модель (11.39) отримує вигляд:

Її параметри мають властивість незсуненості.

Зауваження. Обчислені оцінки параметрів моделі (11.39) залишаються незміщеними і ефективними за умови, що для рівнянь приведеної форми виконуються всі передумови теореми Гаусса - Маркова. В цьому випадку параметри структурної форми моделі представляють собою лінійну комбінацію незміщене оцінок наведеної форми.

  • [1] Використано дані з книги: Бабешко Л. О. Основи економетричного моделювання. М .: КомКнига, 2007.
 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук