ПЕРЕКЛАД ЧИСЕЛ З ОДНІЄЇ ПОЗИЦІЙНОЇ СИСТЕМИ В ІНШУ

При комп'ютерній обробці інформації (даних) виникає необхідність перекладу чисел з однієї позиційної системи в іншу. Це обумовлено тим, що в звичайному житті використовується десяткова система, для адресації - шістнадцяткова, а основна обробка даних ведеться в двійковій системі. На підставі виразу (2.1) для двох рівнозначних чисел позиційних систем з підставами і можна записати тотожність

(2.3)

де (2.4)

Завдання перекладу числа в число полягає у визначенні значень коефіцієнтів Ь. з урахуванням (2.4) за відомими значеннями коефіцієнтів а г

Розглянемо деякі методи переведення чисел з однієї системи числення в іншу.

Метод підбору. При реалізації цього методу всі дії виконуються за правилами -аріфметікі, тобто підставу <72 і шукані коефіцієнти b j записуються в системі числення з основою q v Використовується така послідовність дій:

  • • з умови визначаються максимальний ступінь k підстави і коефіцієнт ;
  • • з умови відшукується коефіцієнт ;
  • • з умови відшукується коефіцієнт і т. Д .;
  • • в отриманому співвідношенні

необхідно кожен коефіцієнт А; перевести в систему числення з основою q 2, тобто записати число у вигляді

Приклад 2.3. Переведемо десяткове число А 10 = 79,61 у п'ятирічну систему числення. При цьому підстава q 2 = 5 і коефіцієнт bj = 0,1, 2,3,4, тобто їх слід записувати в десяткових числах.

Виконаємо рекомендовану послідовність дій:

Крок 1. З умови 79,61 > Ь до -5 до визначаємо до = 2, Ь к = 3.

Крок 2. З умови 79,61 - 3 • 52 = 4,61> А, • 51 знаходимо А, = 0. Крок 3. З умови 79,61 -3- 52-0 • 5 '= 4,61> АЦ ■ 5 ° знаходимо Ь а = 4. Крок 4. З умови 79,61 - 3 • 52 - 0 • 5 '- 4 • 5 ° = 0,61> А, ■ 5й знаходимо А, = 3.

Крок 5. З умови 79,61 - 3 • 52 - 0 ■ 5 '- 2 • 5 ° - 3 • 5 +1 = 0,01> А 2 • 5-2 знаходимо А 2 = 0.

Крок 6. З умови 79,61 - 3 • 52 - 0 • 5 '- 2 • 5 ° - 3 • 5 "' - 0 • 5" 2 = 0,01> А з • 5 "3 знаходимо А, = 1 .

Отримуємо співвідношення 79,61 - 3 • 52 -2-5 ^ 2 5 ° - 3 ■ 5-1 - 0 ■ 5-2 - -1 • 5_3 = 0,002, що визначає абсолютну похибку обчислень. З цього співвідношення знаходимо значення числа А ш = 79,61 в пятеричной системі числення:

так як коефіцієнти в системах числення з основами 5 і 10 мають однакові значення.

Приклад 2.4. Переведемо десяткове число в систему числення з підстава

Крок 1. З умови знаходимо

Крок 2. З умови знаходимо А0 = 9.

Крок 3. З умови знаходимо

Співвідношення 201,875 - 12 • 16 '- 9 • 16 ° - 14 • 16 +1 = 0 свідчить про відсутність похибки обчислень. Після перекладу знайдених коефіцієнтів Ь х = 12, Ь 0 = 9, Ь_ х = 14 в систему числення з основою q 2 = 16 отримуємо A l6 = С9Е.

Для чисел у вигляді неправильного дробу (2.2) можна здійснити роздільний переклад цілої і дробової (правильної дробу) частин по викладеним нижче правилам.

Переклад цілих чисел розподілом на підставу q 2 нової системи числення. Для обгрунтування правила переведення цілого числа представимо A q шляхом угруповання членів полінома (2.3) в формі так званої схеми Горнера

(2.5)

У справедливості співвідношень (2.5) можна переконатися, якщо розкрити дужки. Па підставі (2.5) коефіцієнти визначаються в результаті виконання наступній послідовності дій:

• розділивши число А , представленого у формі схеми

Горнера, на підставу q. " Отримаємо цілу частину першого приватного і залишок Ь 0 , який є нульовим розрядом числа з підставою q 2;

• розділивши цілу частину першого приватного на підставу q v отримаємо цілу частину другого приватного і залишок b v представляє собою перший розряд числа з основою q T і т.д.

Таким чином, виконуючи послідовно (k + 1) раз операцію ділення по викладеному правилом, отримаємо значення всіх шуканих коефіцієнтів (г числа А ( ^.

Приклад 2.5. Скориставшись наведеними алгоритмом, переведемо ціле десяткове число Л10 = 79 у п'ятирічну систему числення.

Крок 1. Після поділу 79: 5 отримуємо цілу частину першого приватного 15 і залишок Ь () = 4.

Крок 2. Розділивши цілу частину першого приватного 15: 5, отримуємо цілу частину другого приватного 3 і залишок Ь х = 0.

Крок 3. Розділивши цілу частину другого приватного 3: 5, отримуємо цілу частину третього приватного 0 і залишок Ь 2 = 3.

Таким чином, еквівалентом десяткового числа А 10 = 79 в пятеричной системі числення є ціле число A. = (b., /; 0). = 3045.

Переклад правильних дробів множенням на підставу q 2 нової системи числення. Для обгрунтування правила перекладу правильної дробу представимо її шляхом угруповання членів полінома (2.3) в формі схеми Горнера:

(2.6)

На підставі (2.6) коефіцієнти bb 2, Ь_ у ... визначаються в результаті виконання наступній послідовності дій:

  • • помноживши правильну дріб А ^, представлену у формі схеми Горнера, на підставу q v отримаємо першу неправильну дріб i, ціла частина якої b | є першим шуканим коефіцієнтом;
  • • помноживши залишилася правильну дріб на підставу q 2, отримаємо другу неправильну дріб , ціла частина якої є другим шуканим коефіцієнтом, і т.д.

Таким чином, виконуючи послідовно / раз операцію множення на q 2 по викладеному правилом, отримаємо значення всіх шуканих коефіцієнтів Ь, правильної дробу

Приклад 2.6. Переведемо правильну дріб А 10 = 0,61 у п'ятирічну систему числення.

Крок 1. Після множення 0,61 х 5 = 3,05 отримуємо коефіцієнт Ь_ { = 3, який є цілою частиною неправильного дробу.

Крок 2. Помноживши решту неправильного дробу 0,05 х х 5 = 0,25, отримуємо Ь_ 2 = 0 як цілу частину неправильного дробу.

Крок 3. Помноживши решту неправильного дробу 0,25 х х 5 = 1,25, знаходимо 6_3 = 1.

Таким чином, еквівалентом десяткової правильної дробу А 10 = 0,61 в пятеричной системі числення є правильна дріб

Табличний метод перекладу цілих чисел. Суть табличного методу перекладу чисел з однієї системи в іншу полягає в наступному:

  • • складається таблиця всіх чисел однієї системи з відповідними еквівалентами з іншої системи;
  • • завдання перекладу полягає у виборі з таблиці еквівалента, що відповідає вихідному числу.

Завдання перекладу зводиться до того, що в вираз (2.3) для вихідної системи числення треба підставити еквіваленти з нової системи для всіх цифр і ступенів підстави і зробити відповідні дії (множення й додавання) за правилами ^ -аріфметікі. Отриманий результат цих дій буде зображувати число в новій системі числення.

Приклад 2.7. Переведемо десяткове число А 10 = 123 в двійкове число А 2

Складемо таблицю (табл. 2.3) ступенів підстави 10 десятковоїсистеми і їх довічних еквівалентів.

Таблиця 2.3

10 '

102

10 '

10 °

двійковий еквівалент

1100100

1010

1

Приклад 2.8. Переведемо двійковечисло А2 = 1010Д012 в десяткове число А 10.

Складемо таблицю (табл. 2.4) ступенів підстави 2 двійковій системи і їх десяткових еквівалентів.

Таблиця 2.4

2 '

23

22

2 '

2 °

2-1

2'2

2-3

десятковий еквівалент

8

4

2

1

0,5

0,25

0,125

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >