Навігація
Головна
 
Головна arrow Інформатика arrow Інформатика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ ДЛЯ ЧИСЛОВОЇ ІНФОРМАЦІЇ

Для представлення чисел вибирається система числення, яка характеризується алфавітом і структурою коду. Символи для зображення чисел складають цифровий алфавіт. У світі існує кілька цифрових алфавітів для різних систем числення:

двійковий - цифри 0 (нуль) і 1 (один);

восьмеричний - цифри 0 (нуль), 1 (один), 2 (два), 3 (три), 4 (чотири), 5 (п'ять), 6 (шість), 7 (сім);

десятковий - арабські цифри 0 (нуль), 1 (один), 2 (два), 3 (три), 4 (чотири), 5 (п'ять), 6 (шість), 7 (сім), 8 (вісім), 9 (дев'ять);

шістнадцятковий - арабські цифри (0-9) і букви А (число 10), В (число 11), С (число 12), D (число 13), Е (число 14), F (число 15);

римський - основні цифри I (1), X (10), С (100), М (1000) і допоміжні V (5), L (50), D (500), відповідні "половинному" значенням основних цифр.

Система числення може бути позиційною або непозиционной.

Позиційна система числення

Код числа має розрядну структуру, місце розташування цифри в розряді коду впливає на значення числа. Для позиційної системи числення вибирається підставу, цифровий алфавіт. Число може містити як цілу, так і дробову частину. Всі розряди коду числа пронумеровані відповідно до десяткової системі числення. Номери розрядів від 0 і вище відповідають цілій частині числа, номера розрядів менше 0 відповідають дробової частини числа (рис. 3.2).

Позиційна система числення

Мал. 3.2. Позиційна система числення

Значення числа в позиційній системі числення обчислюється за формулою

де - значення i-го розряду в коді числа;

- ваговий коефіцієнт i -го розряду коду числа.

Для кожної системи числення визначається безліч значень і .

Існує залежність щільності запису інформації (кількості символів, необхідних для зображення значення числа, - довжини коду числа) від основи системи числення. Для визначення оптимального підстави системи числення, яке мінімізує довжину коду числа, використовують наступну формулу:

Рішенням рівняння є значення X = 2,718281828, тобто з цілочисельних систем числення найбільшою щільністю запису інформації має троичная система числення. Найбільш поширені позиційні системи числення з основами 2, 8, 10 і 16. Аналогічно в вісімковій системі числення з основою 8 використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ваговий коефіцієнт розряду числа дорівнює 8 в n- го ступеня. Шістнадцяткова система числення з основою 16 використовує десять цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 і шість букв: А, В, С, D, Е, F; ваговий коефіцієнт розряду числа дорівнює 16 в n-го ступеня.

Максимальна ціле число, яке може бути представлено в т розрядах,

Мінімальна значуще, не рівне нулю, число, яке можна записати в s розрядах дробової частини,

Таким чином, можна записати всього різних чисел, де Р - основа системи числення.

Десяткова система числення. Традиційна десяткова система числення використовує десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а кожен розряд має ваговий коефіцієнт 10 в n-го ступеня. Це найбільш вживана в внемашинной сфері система числення.

Число 29,5625 можна уявити в розкладанні:

Двійкова система числення. У двійковій системі числення з основою 2 використовуються тільки цифри 0 і 1, а ваговий коефіцієнт розряду числа дорівнює 2 в n-го ступеня (п приймає позитивне, нульове або негативне ціле значення).

Відповідність чисел у десятковій і двійковій системах числення:

Для перекладу двійкових чисел в десяткову систему числення у Вас можуть запитати двійковечисло позиційно.

приклад

Двійкове число +11101,10012 представляється в такий спосіб:

Для зворотного перекладу десяткового числа в двійкову систему числення слід ділити вихідне число на основу двійкової системи числення (2). Залишок від ділення використовується як значення поточного розряду двійкового числа. Операція ділення і знаходження залишку відповідає обчисленню по модулю 2. Це перетворення застосовується багато разів, поки не буде отримано нульовий частка від ділення.

приклад

Переклад десяткового числа 29 в двійкове подання:

(29) mod 2 = 1, приватне відділення 14, 0-й розряд містить залишок

відділення 1;

(14) mod 2 * 0, частка від ділення 7, 1-й розряд містить залишок

відділення 0;

(7) mod 2 * 1, частка від ділення 3, 2-й розряд містить залишок

відділення 1;

(3) mod 2 * 1, частка від ділення 1, 3-й розряд містить залишок

відділення 1;

(1) mod 2 = 1, частка від ділення 0, 4-й розряд містить залишок

відділення 1.

Якщо частка від ділення дорівнює 0, то переклад цілої частини десяткового числа в двійкову систему числення закінчений. Таким чином, 2910 = 111012.

Для переведення дробової частини десяткового числа в двійкове подання здійснюється послідовне множення дробової частини десяткового числа на основу системи числення - число 2. Ціла частина результату множення відповідає черговому розряду дробової частини двійкового числа. Далі використовується отримана дробова частина результату для наступного множення на підставу системи числення - число 2. Операція множення виконується до досягнення необхідної точності результату або поки дрібна частина результату не буде дорівнює 0.

Переклад 0,562510 в двійкове подання:

  • 0,5625 ∙ 2 = 1,125, розряд двійкового числа з номером -1 дорівнює 1; відкидаємо ціле число і повторюємо множення;
  • 0,125 ∙ 2 = 0,25, розряд двійкового числа з номером -2 дорівнює 0;
  • 0,25 ∙ 2 = 0,5, розряд двійкового числа з номером -3 дорівнює 0;
  • 0,5 ∙ 2 = 1,0, розряд двійкового числа з номером -4 дорівнює 1.

Оскільки дрібна частина результату дорівнює 0, то переклад десяткового дробового числа в двійкове подання закінчений і 0,562510 = 0,10012.

У двійковій системі числення над числами можна виконувати арифметичні операції додавання, віднімання, множення і ділення.

Додавання чисел виконується згідно з такими правилами:

Віднімання чисел здійснюється за такими правилами:

При відніманні 1 з 0 слід враховувати, що:

■ якщо є старші розряди числа, запозичується 1 і виконується віднімання звичайним чином, наприклад 1002 - 0102 = = 0102;

■ якщо число не містить старших розрядів, віднімання замінюється складанням з від'ємником, представленим в інвертованому коді.

Множення чисел виконується стандартним порозрядним способом, при цьому:

Розподіл чисел здійснюється стандартним способом, наприклад розділити 10012 на 1102 (910 розділити на 610):

Формати подання двійкових чисел. Існують як цілі, так і дійсні числа (з плаваючою точкою). Для представлення цілих чисел в комп'ютері в двійковій системі числення використовуються прямий, зворотний і додатковий коди.

Прямий код передбачає, що знак числа кодується нулем для позитивних і одиницею для негативних чисел. Наприклад, для позитивного числа 710 прямий код дорівнює 0000111; для негативного числа - 710 прямий код дорівнює 1000111.

Зворотний код для позитивних чисел збігається з прямим кодом, а для негативних виходить з прямого коду інверсією значень всіх розрядів коду, крім знакового. Наприклад, для негативного числа - 710 зворотний код дорівнює 1111000. Зворотний тип коду дозволяє уніфікувати додавання і віднімання двійкових чисел. При додаванні чисел в зворотному коді кількість розрядів результату може перевищити стандартну довжину. В цьому випадку

відбувається циклічний перенос розряду переповнення (старшого розряду), його складання з молодшим розрядом коду, наприклад:

Додатковий код (доповнення до 2) для позитивних чисел збігається з прямим кодом, а для негативних виходить з зворотного коду складанням з 1. При використанні додаткового коду спрощується підсумовування, не виникає необхідності в циклічному перенесення з старшого розряду в молодший. Наприклад, число -710 в додатковому коді 1111001, результат складання 910 + (-710) = 0001001 + + 1111001 = 0000010 ( розряд переповнення відкидається).

Дійсне число з плаваючою точкою представляється в наступному форматі:

де М - мантиса;

N - основа системи числення;

Р - порядок (ціла ступінь).

У ЕОМ використовують нормалізоване подання числа з плаваючою точкою, мантиса знаходиться в діапазоні від 0,1 до 1 (тобто мантиса не перевищує 1), перша значуща цифра мантиси не дорівнює 0 для будь-якої системи числення, наприклад:

  • 12.345 = 0.0012345 -104 - ненормалізоване десяткове число;
  • 12.345 = 1234.5 ∙ 10 ~ 2 - ненормалізоване десяткове число;
  • 12.345 = 0.12345 ∙ 102 - нормалізоване десяткове число.

Мантиса представляється як ціле число, що містить тільки

значущі цифри (0 цілих і кома не зберігаються), наприклад, як число 12345. Для відновлення істинного значення числа використовується порядок.

Вісімкова система числення. У цій системі числення використовується набір цифр 0-7.

приклад

Виконання обчислень в вісімковій системі числення: 77728 + 5274 "= 152668, або 409010 + 274810 = 683810;

  • 77728 - 52748 = 24768, або 409010 - 274810 = 134210;
  • 77728 ∙ 52748 = 52676308, або 409 010 ∙ 2748,0 = 112932010.

Для перетворення чисел з вісімковій системи числення в двійкову достатньо записати кожну цифру числа в двійковому коді: 77728 = 1111111110102; 52748 = 1010101111002.

Арифметичні операції над числами, переведеними з вісімковій системи числення в двійкову, виконуються звичайним чином, а отриманий результат перетворюється в вісімкову систему числення шляхом перекладу тріад двійкового коду в цифри для вісімковій системи числення.

приклад

111 111 1110 102 + 101 010 1111 002 = 11 010 101 10 1102. Результат складання дорівнює 15266g.

Шістнадцяткова система числення. Для шестнадцатеричной системи числення використовується розширений алфавіт позначення цифр: цифри 0-9 і букви А (А16 = 1 010), В (В16 = 1110), С (С16 = 1210), D (D16 = 1310), Е (Е16 = 1410) , F (F16 = 1510).

приклад

Виконання обчислень в шістнадцятковій системі числення: FFA16 + АВС16 = 1АВ616, або 409 010 + 274 810 = 683 810;

FFA16 - АВС16 = 53Е16, або 409 010 -274 810 = 134 210;

FFA16 ∙ АВС16 = AB7F98) 6, або 409 010 ∙ 274810 = 112932010.

Числа в шістнадцятковій системі числення можна представити в іншій системі числення наступним способом:

■ для двійкової системи числення слід двійкове подання числа розбити на тетради двійкових розрядів, наприклад число FFA16 має вигляд 11111 1111 0102.

■ для вісімковій системи числення потрібно двійкове подання шістнадцятирічного числа розбити на тріади двійкових розрядів, наприклад число FFA16 має вигляд 111 111 1110 102 або 77728.

Непозиційних система числення

Для непозиционной системи числення відсутній строго певна структура

коду числа. Зазвичай для позначення чисел

вводяться спеціальні знаки, кількісне значення яких завжди однаково і не залежить від їх місця в запису числа. Прикладом такої системи є запис чисел римськими цифрами (табл. 3.1).

Таблиця 3.1 . Приклад непозиционной системи числення

римське

число

десяткове

число

римське

число

десяткове

число

римське

число

десяткове

число

римське

число

десяткове

ЧИСЛО

1

1

VIII

8

LXXXVIII

88

DXCIX

599

II

2

IX

9

XCIV

94

DCXCV

695

III

3

X

10

з

100

DCCCXLIX

849

IV

4

XVII

17

CXCIX

199

м

1000

V

5

XXXIII

33

CCCXCIX

399

MCMIX

1909

VI

6

XLVIII

48

CDXLI

441

MCMLXXXIV

1984

VII

7

LV

55

D

500

MCMXCIX

1999

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук