Навігація
Головна
 
Головна arrow Інформатика arrow Обчислювальні системи, мережі та телекомунікації. Моделювання мереж
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

ОСНОВИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Для успішного дослідження системи за допомогою моделювання недостатньо просто створити блок-схему системи, перетворити її в комп'ютерну програму і виконати один або кілька повторних прогонів для кожної із запропонованих змін. Таке дослідження вимагає завдання математичних параметрів моделі, що неможливо зробити без застосування теорії ймовірностей і статистики. Зокрема, теорія ймовірностей і статистика потрібні, щоб розуміти, як моделюється імовірнісна система, перевіряти достовірність імітаційної моделі, вибирати вхідні розподілу ймовірностей, генерувати випадкові вибірки з цих розподілів, виконувати статистичний аналіз вихідних даних моделювання і планувати імітаційні експерименти.

Випадкові величини та їх властивості

Експеримент - це процес, результат якого точно не відомий. Сукупність усіх можливих результатів експерименту називається простором вибірки і позначається S. Самі результати називаються елементами вибірки в просторі вибірки [6, 9, 16].

Випадкова величина - це функція (або правило), яка визначає дійсне число (будь-яке число більше і менше ) кожному елементу в просторі вибірки 5 [16, 17]. Випадкові величини позначають великими літерами X, Y, Z, а значення, які приймають випадкові величини, - малими літерами х, у, м

Функція розподілу ймовірностей (іноді іменована також інтегральною функцією розподілу ймовірностей) випадкової величини X визначається для кожного дійсного числа х наступним чином:

(2.1)

де - ймовірність, пов'язана з подією

Отже, - це ймовірність того, що після виконання експерименту випадкова величина X набуде значення, що не перевищує число х. Функція розподілу має такі властивості:

  • 1) для всіх значень х;
  • 2) є неубивающей функцією; т. е., якщо , тоді
  • 3) і (оскільки X приймає тільки кінцеві значення) [17,18].

Випадкова величина X вважається дискретної , якщо вона може набувати значень з рахункового безлічі, наприклад: (рахункове безліч - це безліч можливих значень змінної, взаємно однозначно відповідних безлічі позитивних цілих чисел; прикладом незліченної безлічі є речові числа між О і 1). Отже, випадкова величина, яка приймає тільки кінцеве число значень ,, є дискретною.

Імовірність, з якою дискретна випадкова величина X приймає значення , задається як

для (2.2)

і для неї має виконуватися рівність

(2.3)

Всі ймовірні характеристики величини X можуть бути обчислені за допомогою функції , що іменується ймовірнісної мірою дискретної випадкової величини X. Якщо , де а і b - дійсні числа, для яких >, то

(2.4)

де символ позначає "міститься в", а підсумовування означає складання всіх величин , для яких . Функція розподілу дискретної випадкової величини X

(2.5)

для всіх

Розглянемо випадкові величини, які можуть приймати тільки незліченно-нескінченне число різних значень (наприклад, все невід'ємні дійсні числа). Випадкова величина X вважається безперервною, якщо існує така неотрицательная функція , при якій для будь-якого безлічі дійсних чисел В (наприклад, В може включати всі речові числа між 1 і 2)

і (2.6)

Таким чином, загальна площа під функцією дорівнює 1. Якщо X- неотрицательная випадкова величина, що часто зустрічається при моделюванні, друга область інтегрування буде в межах від 0 до

Всі ймовірні характеристики величини X можуть (в принципі) обчислюватися за допомогою функції , яка називається щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини X.

Для дискретної випадкової величини X функція - це дійсна вірогідність, пов'язана зі значенням х. Однак функція НЕ є ймовірністю того, що неперервна випадкова величина X дорівнює х. Для будь-якого дійсного числа х

(2.7)

Так як ймовірність, пов'язана з кожним значенням х, дорівнює О, можна дати наступну інтерпретацію функції . Якщо х - це будь-яке число, а , тоді

(2.8)

що дорівнює площі під функцією між х і . Звідси випливає, що з більшою ймовірністю безперервна випадкова величина X потрапить в інтервал, де функція має велике значення, ніж в інтервал, де функція має невелике значення.

Функція розподілу неперервної випадкової величини X

(2.9)

для всіх

Таким чином, з деякими формальними нестрогими припущеннями , де - похідна від функції i. Крім того, якщо / = [ а , Ь, де а і Ь -будь-речові числа, для яких >, то

(2.10)

Остання рівність представляє застосування фундаментальної теореми обчислень, оскільки

При моделюванні зазвичай доводиться мати справу з п (п - натуральне число) випадковими величинами одночасно. Приймемо , т. Е. Скористаємося двома випадковими величинами X і У.

Якщо X і Y є дискретними випадковими величинами, тоді для всіх х, у, де називається спільної ймовірнісної мірою функції величин X і Y. При цьому величини X і Y будуть незалежними , якщо для всіх х, у, де функції

(2.11)

(2.12)

є безумовні імовірнісні заходи величин Х і Y .

Випадкові величини Х і Y називаються спільно безперервними, якщо для них існує неотрицательная функція f (x, у), іменована спільної функцією щільності розподілу ймовірностей величин Х і Y , певна для всіх множин дійсних чисел А і В такий спосіб:

(2.13)

В цьому випадку величини 1 і У є незалежними, якщо для всіх х, у, де функції

(2.14)

(2.15)

являють собою щільності безумовного розподілу ймовірностей відповідно величин Х і Y.

Іншими словами, випадкові величини Х і Y (як дискретні, так і неперервні) є незалежними, якщо відоме значення, яке може приймати одна величина, не позначається на розподілі іншої величини. Також, якщо величини X і Y не є незалежними, їх називають залежними.

Розглянемо ще раз випадок з п випадковими величинами . Зокрема, звернемося до деяких характеристиках окремої випадкової величини X j і деякими показниками залежності, яка може існувати між двома випадковими величинами і .

Середнє значення, або математичне очікування, випадкової величини (де ) позначається або і визначається як

(2.16)

Середні значення мають такі важливі властивості і позначають константу - дійсне число):

  • 1) ;
  • 2) , навіть якщо залежні.

Дисперсія випадкової величини позначається або Вона визначається як

(2.17)

Дисперсія є показником розсіювання випадкової величини по відношенню до її середньому значенню. Чим більше дисперсія, тим більше ймовірно, що випадкова величина буде приймати значення, далекі від середнього.

Дисперсія має такі властивості:

  • 1)
  • 2)
  • 3)

якщо значення X, є незалежними (або некоррелірованнимі).

Стандартне відхилення випадкової величини визначається як . Найбільш точне тлумачення стандартного відхилення може бути дано, коли має нормальний розподіл.

Показником лінійної залежності між випадковими величинами і (де ) є коваріація, яка позначається або і визначається як

(2.18)

Коваріації симетричні, т. Е. , І якщо , то

При випадкові величини і вважаються некоррелірованнимі. Легко довести, що якщо і є незалежними випадковими величинами, то . Однак зворотне твердження не є справедливим. Проте, якщо і є спільно нормально розподіленими випадковими величинами з , то вони є також і незалежними.

Наведемо два визначення, які допоможуть усвідомити значення коваріації. Якщо , то і вважаються позитивно корельованими величинами. Тоді має місце тенденція виникати спільно і , а також і . Таким чином, якщо одна з позитивно корелюється випадкових величин має велике значення, інша, швидше за все, теж буде мати велике значення.

Якщо Су <0, то Xj і Xj вважаються негативно корельованими величинами. В цьому випадку тенденцію виникати спільно мають Xj> ц, - і Xj <pj, а також X t < ц, - і Xj > ц; . Таким чином, якщо одна з негативно корелюється випадкових величин має велике значення, інша, швидше за все, буде мати маленьке значення.

Якщо Х, ХГ, ..., Х " представляють собою вихідні дані моделювання, часто потрібно знати не тільки середнє значення і дисперсію а?

при I = 1, 2 і, а й показник залежності між Xj і Xj при i * j.

Однак складність використання ковариации С, у ролі показника залежності між ІХ / І Xj полягає в тому, що вона не є безрозмірною величиною, що ускладнює її тлумачення. (Якщо Xj і Лу вимірюються, наприклад, в хвилинах, то ковариация С, у вимірюватиметься в хвилинах в квадраті.)

У зв'язку з цим в якості основного показника лінійної залежності між Су використовується кореляція ру, яка визначається за формулою

(2.19)

Кореляцію між Xj і Xj можна позначати і як Згідно зі (Ау, Xj). Так як знаменник у формулі має позитивне значення, природно, що кореляція ру матиме той же знак, що і ковариация Су. Більш того, -1 <<1 при всіх / і j. Якщо Ру має значення, близьке до +1, то А) і Xj - сильно позитивно корельовані величини. Якщо Ру близько до -1, то Xj і Xj - сильно негативно корельовані величини [6, 5,9, 16,17].

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук